重视培养初中学生的类比推理能力

李卫华

【摘要】类比推理揭示的是A与B如同C与D的命题关系，在数学发现中发挥着重要的作用，是学生学习和认识数学的一个基本方式，也是数学学习中一种有效的认知策略.初中学生的类比推理能力需要在数学活动中形成和发展，因此，如何通过数学课堂教学来培养学生的类比推理能力已引起每位数学教师的重视.本文结合实例说明类比推理的实质，就初中学生的类比推理能力的培养做一些探讨.

【关键词】类比推理；初中学生；类比学习；类比教学模式

一、问题的提出

长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式，发展学生的演绎推理能力，忽视了合情推理的培养，学生学习数学的状况并没有得到多大的改善，教学效果不尽如人意.归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的三种重要形式.在初中数学学习过程中，类比推理往往不被学生重视，甚至也被教师忽视，许多学生和教师希望通过做大量的题目来掌握所学知识从而提高数学成绩，然而，数学问题浩如烟海，考试时很难遇到做过的原题，遇到了新题型或只是稍稍变换一下，就不知所措.如何在初中进行类比推理能力的培养，使学生能够学得轻松、有效，这是一个值得研究的现实问题.

二、类比推理及其重要性

（一）类比推理的内涵

类比推理就是根据一些对象在某些属性上相同或相似，从而推出它们在另一属性上也相同或相似.类比推理也称作类比法或类推法.类比推理用公式可以表示为：（1）A类对象具有属性a，b，c，d；（2）B类对象具有属性a′，b′，c′，其中a，b，c分别与a′，b′，c′相同或相似；（3）推出結论B类对象（指要研究的对象）可能具有d′属性，并且d′与d相同或相似.在类比推理的形式结构中，第一，A事物是我们熟悉的事物，B事物是我们希望说明或深入了解的事物，并且它们在一些属性上具有相似性；第二，已知A事物的前提与结论具有真实的因果联系，因此B事物也应有相关的因果联系.

（二）类比推理的重要性及其特点

1.初中数学教学中运用类比推理，能激发学生学习数学的兴趣，有利于解决新问题.首先，数学内部是互相联系的，且各部分之间存在着很多相似性；它与客观世界的许多事物存在着形式或本质上的相似.其次，人们认识新事物的过程本质上是一种“同化”过程，也就是新事物纳入原有概念框架之中加以消化和理解的过程，人们在解决问题时会引用存在于长时记忆中相似问题的策略.教学中，当呈现的新知识、新问题和原有知识、信息有相似之处时，学生总试图将新知识与类似熟悉知识比较，并用熟悉问题类比新问题，找到解决新问题的方法和构建新知识的框架.因此，重视培养初中学生类比推理能力是非常必要的.

2.初中数学教学中运用类比推理有其显著特点

① 类比是人们从已经掌握了的己知事物的属性，推测出另一正在被研究的事物的属性.由于类比推理是把新知识与原有知识及生活实践相比较，因此，它能使新知识与学生的旧知识及生活经验有机联系起来，体现知识整体性，降低学习新知难度，提高课堂教学效率.如，分式基本性质、分式乘除法的教学可通过分数基本性质、分数乘除法作为类比对象，引导学生进行同化思维，掌握新知，教与学的效率可得到明显提高.

② 前提与结论具有特殊性.类比是从一种己知事物的特殊属性推测另一事物的特殊属性，是从个别到个别或从特殊到特殊的推理方式，因此，我们这种推理方式的前提与结论之间必然有一种特殊的线索联系，当然在类比的过程中其类比指向也不是严格、唯一指定的.如，相似三角形判定定理、性质定理与全等三角形判定定理、性质定理的类比.相似三角形与全等三角形最重要的联系在于全等是相似的一种特殊情况，学生对相似三角形与全等三角形的联系比较明确后，能比较顺利地猜想出相似三角形的判定定理.

③ 或然性.由于类比推理产生于学习者个人的联系、猜想，因此，类比推理的条件与结论之间并不存在一种必然的逻辑关系，即类比推理出的结论未必是正确的.类比的结论的猜测性，不一定可靠，需要证明，但是有发现功能，原因是对象之间不仅具有相同性，而且具有差异性.由于类比推理结论的或然性，在教学中引导学生把或然性的结论转化为必然的结果这一过程，是学生主动求知、创新的一个过程.

三、类比推理的教学模式

（一）类比推理教学模式的理论依据

建构主义教学观认为：教学内容应与学生的经验世界和建构活动发生作用；学生从原有的知识经验中，组织起相应的建构原材料，自己去提出问题、选择方法和探索验证，并去进行表达、交流和修改，从而有效地建构新的认知结构；一个好的建构活动应建立在问题解决的原则上.

数学问题的解决通常是在通过类比、归纳等方法进行探测的基础上，获得有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的.类比推理的关键是寻找一个合适的类比对象，然后进行类比.类比是提出假说进行猜想的基础，是各种创造性思维形成的基本要素.通过类比我们可以发现研究对象的一些性质；如，把数与代数式进行类比，我们可以发现代数式的很多性质.如，把分式与分数进行类比，就可以发现分式的性质；把整数与整式进行类比，就可以发现整式的性质.

总而言之，可以说学生已有知识和经验为新知识、新概念的学习提供了必要的“认知基础”，而类比法则是通过将新概念、新知识与熟悉概念的类比，使学生能更好地去认识、了解新的概念，从而建立起适当的心理表征.这种将新旧知识进行类比是学生学习数学的一种基本过程，是学生学习数学，构建、扩充和完善数学认知结构的一种基本方法.

（二）类比推理的一般流程.

学习都有一定的过程与方法，类比推理也不例外，在数学学习过程中，我们在使用类比推理时，通常从表层相似关系出发，重整走向逻辑相似关系，最终实现对多个认识的深化，通常要经过如下几个相互联系的过程.

首先，确立相似的类比问题.根据所要解决的目标问题的性质、特征和规律等信息，寻找一个与之相似的类比问题.这个问题必须是学生熟悉的知识、实践过的经验等，它是掌握新知识的基础.如，学习特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质，我们可以以平行四边形的性质为类比问题.这个过程先可由教师引导启发，但随着学生对类比推理这一思维方式的熟悉和知识、生活经验的积累，他们能自觉而恰当地找到特殊平行四边形的类比问题.

其次，观察比较，建立与类比问题的联系.如果说类比是通向发现的阶梯，那么细心的观察与比较则是基础，而抓住两个问题的相似性与联系则是类比顺利进行的关键所在.特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）与平行四边形的最重要联系在于矩形、菱形、正方形是平行四边形的一种特殊情况，通过对边、角、对角线的特殊性的类比，学生基本上能理解这一点.

再次，运用类比推理，猜想結论.把握了类比问题与目标问题的联系后，可用类比推理的一般形式，引导学生得出结论，其实质是类比问题的信息向目标问题的最直接的迁移.学习矩形、菱形、正方形的性质，可先复习平行四边形性质，在此基础上引导学生猜想矩形、菱形、正方形的性质.由于学生对特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）与平行四边形的联系比较明确，都能比较顺利地猜想出矩形、菱形、正方形的性质.这个结论是学生通过自己比较思考发现的，留给他们的印象比直接由教师给予要深得多，且不知不觉中培养了学生创新思维能力.学生为了证明自己猜想的正确性，会充分调动思维中的积极因素，学习效果是十分理想的.

最后，探索“或然”，掌握新知.由于类比推理结论具有或然性，因此，在得出猜想后要及时引导学生用已有知识来解释自己的结论.这样既培养了思维的创造性、灵活性，又培养了思维的严密性、原则性，同时巩固了新知识.在得出矩形、菱形、正方形的性质猜想后，让学生用已学过的知识去证明是十分必要的.当然，学生的有些猜想的解释，可能会超出书本或他们现有知识水平，这正说明了创新思维培养的成功，需要教师合理引导和鼓励.

四、类比推理的培养途径

类比是人们从已经掌握了的事物属性出发，推理正在被研究中的事物的属性，并做出某种判断的推理方法.在数学中，类比是发展概念、推导性质定理、运算的重要手段，也是探索问题、解题的一种重要方法.按照类比对象的视角不同，类比常分为以下三种类型.

（一）概念——性质类比型

概念——性质类比型，即数学概念的相似得出与概念相关联的性质的相似.如果概念相似程度大，则与此相联系的性质相似程度也大.在推导性质教学中，“分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变”就是由“分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的数，分数的值不变”类比得来.“梯形的中位线性质定理”就是由“三角形中位线定理”类比得来.在教学时，可引导学生类比三角形中位线性质定理得出，再通过试验验证它正确的可能性，最后师生共同证明.

（二）要素、结构——功能类比型

根据系统论的知识可知，决定一个系统的功能不仅靠要素，更重要的是结构.要素结构的相似可推出功能结论的相似.另外，数学同构理论也告诉我们，两个数学系统如果是同构的，其性质、功能都有很大相似性.在讲有关运算解法教学时，“分式的加减乘除运算”可由小学的“分数的加减乘除运算”类比得出运算法则.在讲“一元一次不等式的解法”时，可通过“一元一次方程的解法”得出其解法步骤.

（三）要素、结构——方法类比型

由类比问题与目标问题构成要素结构相同，得出具有相同或相似解决方法.对解题而言，它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现方法.许多数学题的解题思路的产生都是一个类比推理的过程，从条件要达到结论的彼岸，如何选择入口？如何实现过渡？其表现为善于根据问题的特征（结构、属性等），联想某一熟悉的问题，依据它们在某些方面相似或相同之处，去推断解题的方法或思路.

转化类比就是将原命题转化类比为比原命题简单的问题，以便提供解决思路和方法，最终获得原命题的解决方案.比如，可先将多元问题转化类比为少元问题，高次问题转化类比为低次问题，普遍问题转化类比为特殊问题，未知问题转化类比为已知问题等.

五、结 论

类比推理是数学中非常重要的推理方法，它对提高学生分析问题、解决问题的能力很有帮助.这是因为类比推理不像归纳推理那样局限于同类事物，也不像演绎推理那样受到一般原理的严格制约.它可以跨越各类事物的界限，进行不同事物的类比，既可以比较事物的非本质属性（如形式和研究方法），又可以比较事物的本质属性.从数学问题的发现或提出新命题的过程来看，一般是从具体问题或素材出发，经过类比、联想、观察、实验、归纳等不同的途径，形成命题并加以确认.因此，在数学学习中常常运用类比推理，抓住其发生过程、内涵、结构、性质等方面的相似性来解决问题.在数学发现中，类比推理也是一种被普遍应用的方法，这种学习方法对以后继续学习数学、提高数学的学习能力、探索数学的奥妙、提高数学兴趣是十分必要的.

【参考文献】

[1]夏奎岗.数学教学中类此推理的应用与创新思维的培养[J].浙江教学研究，2001（6）：24-25.

[2]格林.科学学习心理学[M].海口：海南出版社，2000.

[3]R·M·加涅.教学设计原理[M].皮连生，等译.上海：华东师范大学出版，1999.

[4]丁祖元.中学教学初中数学课堂教学中应当渗透一点合情推理[J].江苏教育，2013（22）：55-57.