关于实变函数课程教学的探究

李海绸

【摘要】本文主要针对实变函数的课程内容特点，并结合笔者的亲身教学体验，从教学方法等方面，探讨如何更有效地“教好”和“学好”抽象而高难度的实变函数这门课程.

【关键词】实变函数；教学方法；教学效果

众所周知，在数学及其相关专业领域里，《实变函数》是一门数学专业的本科生的必修基础课程[1-5]，也是一门大家公认的难学的课程，甚至对某些经验不是非常丰富的教师来说还是一门难教的课程.因此，对此课程的教学方法等方面的讨论与研究已经引起很多数学专业教师的高度重视，例如文献[6-8].更严格地说，实变函数是数学专业本科教育阶段最重要的分析基础课之一，其主要需要掌握的内容包括集合论、测度论和勒贝格（Lebesgue）积分论.这些理论在分析数学中起着承上启下的作用，是数学分析的后继深化课程，也为学生进一步学习函数论、微分方程、泛函分析、概率论与随机过程、调和分析和分形几何等现代分析数学课程提供了必不可少的测度和积分论基础.因此，学好实变函数有着非常重要的意义.但是，实变函数的理论严密、内容抽象而应用广泛，这些特点导致了学生对这门课程的理解感到非常的困难，学习的兴趣也受到影响.因此，作为本课程的任课教师除了需要拥有扎实的专业知识，还应当认真研究这门课的教学方法，充分准备好，才能更好地让学生更有效地理解掌握实变函数的核心思想实质.

在本文中，针对实变函数严谨的逻辑性和概念的抽象性，以及定理证明的复杂性和应用性等特点，通过与学生多方面沟通，以及虚心向经验丰富的资深教授请教取经，并结合自身的教学经历和摸索，笔者跟读者分享个人的以下几点教学体会，旨在如何更好地提高学生的学习兴趣和信心，从而达到最佳的教学效果.

一、强调实变函数的重要性，加强与其他课程及现实生活的联系

如前言所述，我们都知道实变函数是一门非常重要的课程，在现代分析数学中起到承上启下的作用，那么具体体现在哪些方面？在具有严谨的逻辑性和抽象性的实变函数教学中，大家往往容易陷入一种孤立状态，很容易忽略与其他课程的联系，更别说与现实生活的联系.如果认为深奥的实变函数这门课程与我们实际生活无关，是看不见摸不着，仅仅是纯粹的逻辑思维的知识，那就大错特错了.其实，实变函数的很多概念定理看起来貌似离现实生活十万八千里，像是“帽子里跑出一只兔子”，然而实质并非如此，在学习和生活中，都可以找到很多与实变函数相关的生动例子.因此，加强与其他课程甚至与现实生活的联系，才能更好地让学生体会到实变函数的重要性，并感受到数学的无穷魅力.

首先，加强与其他课程的联系，告诉学生只有学好了实变函数中的基本概念定理，才能更好地学习后续的数学专业课程.针对不同数学专业的班级，我们可以选择强调不同的联系，例如，对数学与应用数学专业的学生讲，可以将实变函数与后续的实分析、调和分析等课程联系起来，学好了勒贝格积分，Egoroff定理和Lusin定理等，才更容易理解泛函分析和调和分析等.当然这些联系也是针对数学基础较好的学生进行的，或者提醒一下让有心的学生课后查找资料已达到更深入的了解.而对金融数学专业的学生，可以将实变函数与概率论、随机过程等课程联系起来，学了勒贝格测度论后，才能理解概率测度，概率论和随机分析中很多概念，都可以从实变函数的角度去理解从而掌握其内在的更深层次的本质意义.例如，概率论中的随机事件可以看成实变函数的测度中的可测子集等，随机变量可用实变函数中的可测函数表示等.

其次，实变函数与现实生活也是密不可分的，例如，生活中计算钞票面额总值问题.都说勒贝格积分比黎曼积分更优，对此，Lebesgue自己曾经做过一个比喻，他说：假如我欠人家一笔钱，现在要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想.很显然，如果需要计算很多很多不同的钞票面额总值的话，当然是按照Lebesgue积分思想来计算更方便，这就是实变函数魅力所在.充分体现了数学来源于生活而又应用于生活的思想.通过介绍实变函数与其他課程及现实生活的联系，让学生大概了解和感受到实变函数的重要性和应用性，提高他们的学习兴趣和积极性，使他们从思想和行动上重视该课程的学习.

同时，实变函数的课程特点也对任课教师提出了更高的专业知识和教学方法的要求，需要做好充足的准备，才能在课堂上应变自如.

二、承认实变函数的深奥，寻找各种方法突破困难

实变函数的抽象性和逻辑的严谨性意味着这是一门不容易理解的课程，加上很多概念，如测度和积分等，都需要一个烦琐而复杂的建立过程，这就更让其被涂上了“难学”的色彩.面对如此抽象、对某些学生来说甚至是枯燥的课程，笔者建议任课教师不妨大大方方地承认这门课程的深奥，学习的难度很大，一开始就给学生打好预防针，让他们做好足够的心理准备，迎接挑战.但是，不能一味地夸大难度，以免打击自信心，还要告诉学生不用害怕，因为只要大家认真地跟着教师设计好的思维走加上自身的努力，一定可以啃下实变这块硬骨头的.在思想和精神上给予学生足够的正能量.当然，想达到良好的“教”与“学”的效果，光说不行，得寻找各种突破困难的方法，做好周详的教学计划，以下几点就是笔者针对不同的具体问题所悟出的某些方法.

（一）遵循由简入繁的学习规律，以通俗易懂的方式教学

都说实变函数难学，其实不全然，也许是方法不对头.不知道大家是否发现，其实对实变函数的学习只要遵循一个传统而经典的由简入繁的学习规律就会事半功倍.不管在教材上还是在课堂上，实变都遵循着这样的学习规律，先是引出概念的定义，然后就介绍并证明其性质，最后体现一些应用或与其他的概念之间的关系，一步一步完成一个知识点及其所衍生出来的知识的学习过程.例如，在学习可测论时，先由简单的开集和闭集的测度定义开始学习，然后再用开集和闭集的测度来定义一般集合的内外测度，最后再加以条件来定义一般集合的可测性及其测度；再例如，在学习可测函数的勒贝格积分定义时，先是从非负的简单函数的勒贝格积分的定义入手，然后再借用该定义及其性质来定义一般可测函数的勒贝格积分，并讨论其性质.等等，还有很多例子体现，在此不一一列举.另外，所谓通俗易懂的方式就是尽可能地避免烦琐复杂的概念引入或定理证明的过程，而通过教师的灵活处理化成自己的思维方式，并层次分明地表达出来，这样可能让学生更容易理解.

（二）通过对比讲解，有助于理解概念之间的联系

我们知道对比是一种很常见也很重要的一种教学手段，特别是在实变函数这门课程中，很多地方都需要用到对比法，才能更好地理解概念之间的联系与区别.这里存在外在和内在的对比.先说外在的联系，最明显的就是学生从大一开始接触学习的数学分析与现在的实变函数的对比.例如，数学分析中所用的Riemann积分与实变的Lebesgue积分的对比，还有数学分析中性质很好的连续函数与实变中的主要研究对象可测函数之间的对比关系，连续函数一定是可测函数，而反之不一定，不过可以通过Lusin定理来轻易转化.前面也有所提及，实变函数与学生的后续专业基础课程如泛函分析等有着联系与区别.退一步来说，现在的课时压缩得很紧，即使不能在课堂上讲述这些具体的联系与区别，至少可以提及一下，实变函数中哪些概念与泛函分析或概率论或调和分析的哪些概念有关联，让学生心中有点印象而引起重视.在课堂上除了简要阐述以上这些外在联系，对这门课程的学习与掌握，更重要的是理解好实变函数内在的联系，其实很多对比关系已经隐含在前面的外在关系中，例如，连续函数与可测函数，Riemann积分与Lebesgue积分，还有几个重要概念，如依测度收敛、基本一致收敛和几乎处处收敛之间的关系等等.

（三）灵活利用反例，有助于理解抽象概念和定理的证明

在数学中，所谓反例[9]，就是用以否定错误的命题来举的例子.在实变函数的教学中，反例是帮助学生对概念的理解和定理的证明的一个很重要的工具.我们知道，实变函数中很多概念是非常抽象的，这使得学生理解起来有些困难，难以把握其中的内涵.那么，在讲解概念或性质的时候，除了认真地详尽地讲解概念的严格定义外，还需要结合概念的内涵外延，举一些具体而简单易懂的正反方面的例子，帮助学生更好理解.例如，当讲到开集的性质之一“任意个开集的交集不一定是开集”的时候，我们可以找到一个反例来说明这一性质.

例1 设集合An=-1n，1n，n≥1，则每个集合An都是实数轴上的开集，但它们的交集∩∞n=1An={0}不是开集.

还有，在进行定理证明时偶尔也需要反例表明，例如，当讲到Riemann积分和Lebesgue积分的关系时，有一个定理是：“在有限区间上Riemann可积的函数必Lebesgue可积，而且积分值相等.”但是，如果这个定理的“有限区间”条件去掉，那么此定理不成立.如何证明呢？我们可以取一个反例来说明即可.

例2 函数f（x）=sinxx在无限区间（1，+∞）上的Riemann积分是收敛的，因此，是Riemann可积，但是它并不是绝对收敛的，所以不是Lebesgue可积的.

（四）分章梳理，善于总结，系统把握实变理论体系

实变函数主要包括三方面的内容，集合论、测度论和积分论，三者看起来分界分明，实则紧密相连而形成严密完整的知识体系.集合论为测度论提供了基础，而积分论是在测度论的基础上进行的，所以三者之间缺一不可，是一个不可分割的整体.实变函数中的每一章都是为下一章做准备，学习完各章节后，要对各章内容进行梳理，善于总结，搁浅细节，把握总体，由部分理解总体，又在整体中掌握部分，以达到系统地把握实变理论体系.

（五）挑选有代表性的习题，精心设计小测内容和习题课

通过多方面了解，很多学生反映，明明在课堂上听懂了，可是课后就是不会做习题，一遇到习题就蒙了，这确实是实变函数学习的一大难题.不可否认，实变函数中抽象的概念和复杂烦琐的证明对学习任务繁重的学生来说不容易，如果学生不能顺利完成基本的习题作业，那么长久下去必会打击他们的信心，将严重影响教学效果，所以课后巩固的情况（体现在作业和小测的完成情况上）就特别需要我们高度重视.我相信，世上无难事，只怕有心人.只要任课教师多花点心思挑选一些对应相应知识点的具有代表性的习题提供给学生练习，选题的原则是数量和难度都需要适中.另外，一个学期进行两次小测，配合两次精心设计的习题课.在习题讲解的课堂上，教师要注意培养学生使用严格准确的数学语言，加强数学逻辑思维的训练与培养，让学生在无形中养成良好的数学素养.

（六）因材施教，将获取不一样的效果

面对不同的数学专业的学生，我的实变函数教学经历告诉我，不能用单一的方法方式去对待，得“区别”对待.例如，我们学校有“数学与应用数学”和“金融数学”两个专业必修实变函数这门课程，所以我的学生来自两个与数学相关的不同专业.正常说来，一门课程应该一样的备课，一样的讲课，可是实践告诉我不能那样做，应该因材施教，才能得出想要的教学效果.因为不同专业的学生基础不一样，数学与应用数学专业的学生数学基础较好，对数学的思维逻辑接受能力较强些，可以传授更多的抽象的理论知识；而金融数学的学生偏向数学应用，数学理论功底稍弱一些，所以尽量避免一些对他们而言较为烦琐的概念引入过程，很多时候只需要开门见山地介绍概念的由来，然后接着讲解性质及其应用.个人深刻体会到，实践证明不同的专业对同一门课的需求也是不太相同的.

（七）灵活采取多种方法，精心打造不为考试而进行的精彩课堂

如何打造一个不为考试而进行的精彩课堂呢？先说不为考试而进行，或许有些读者会困惑，作为应试教育时代的大学生哪能轻易“逃离”考试呢？其实，笔者的意思是，努力打造一个暂且让学生忘记考试而自由轻松地畅游在知识的海洋的课堂，让学生的思维紧密跟着教师的引导而施展开来.如果可以的话，告诉学生，教师对学生的基本要求是不迟到、不缺课、按时完成作业和小测，关键是学习态度端正，那将不用太担心期末考试不通过，因为付出总会有收獲.

我们可以有很多方法来活跃可能会沉闷的实变函数课堂，让大家在轻松愉悦的环境中学习.例如，在笔者的课堂上，学生可以畅所欲言，发表自己对实变函数中的某些概念性质的个人见解，对错都没关系，教师都可以帮着把关，或者引导学生学会自己查找资料来验证自己的想法.在课堂上，教师以启发和提问的方式多次重复应用前面教过的知识来理解正在学习的知识，不断地刺激学生的大脑来更好地巩固已学过的知识.知道为什么大家都觉得实变难学吗？有一个原因是少用而生疏，所以如果在课堂上采取知识不断轮回应用方式，学生将慢慢地熟悉了整个知识体系.当教师感觉到部分学生觉得知识难以接受或精力疲惫想打瞌睡的时候，可以挑选一些经典的最好是幽默的能够让人印象深刻的名人数学家的故事，跟学生分享，笔者的实践证明此方法很容易活跃课堂.经历了一堂与深奥知识较量的实变课后，在课间时，我们不妨来一首动听悠扬悦耳的歌曲（师生都可以推荐的好歌曲）放松紧绷的大脑，让学生放松十分钟对下节课的顺利进行很重要.教师尽量把学生当成朋友来对待，形成一种相互尊重相互信任的良好师生关系，这些知识之外的东西也是提高教学效果的重要因素.最后，有一个大胆的尝试，对部分优秀的本科生，用培养硕士生的方式来培养，可以挑选出几个数学好的学生且自愿报名来给大家上一次实变课，现在有些本科生是很优秀的，相信他们有足够的能力去做好一堂课的教师.这样做的好处是，让学生真正地参与到教学过程中来，我们都知道，听课和上课有很大的区别，让他们去体验去感受要上好一堂课需要做哪些充足的准备，不仅培养了他们自学数学的能力，还可以训练语言表达等综合能力，从而提升学生的综合素质.更重要的是，我们的实变课堂将变成一个充满活力的精彩课堂.

以上就是笔者从实变函数教学经历中感悟出来的一些青涩体会感受，虽然不够成熟，而且远远不够全面，但是希望可以帮助到某些读者.本人将继续丰富和完善实变函数的教学方法，以达到最佳的教学效果，打造一位教师欣慰，学生喜欢而且又可以学到更多知识的精彩的实变函数课堂.

【参考文献】

[1]江泽坚，吴智泉.实变函数论：第2版[M].北京：高等教育出版社，1994.

[2]夏道行，等.实变函数论与泛函分析：第2版[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]周民强.实变函数[M].北京：北京大学出版社，2001.

[4]邓东皋，常心怡.实变函数简明教程：第2版[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]胡适耕.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2000.

[6]徐西安.改进实变函数教学的一些方法[J].山东教育学院学报，2006（4）：103.

[7]朱月萍.讲授《实变函数论》课程的思考[J].南通大学学报（教育科学版），2006（4）：99-100.

[8]苏先锋，等.关于实变函数教学中的一些注记[J].淮北师范大学学报（自然科学版），2014（1）：78-80.

[9]刘向华.反例在教学中的作用[J].数学理论与应用，2001（4）：82-85.