代数与几何齐飞——破解高考解析几何中的定值、定点问题

夏 锦

(浙江省余姚市第四中学 315400)

浙江省高考数学文理合卷之后，采取“放低起点，减缓坡度，增加层次”的命题策略，体现“育人与选拔兼顾，区分与导向兼顾”的命题策略，彰显“文科的韵味，理科的深度”的命题特色.而对于解析几何中定值与定点问题则是高考题中的宠儿之一，由于这类题型它在解题之前不知道定值与定点的结果，对学生而言解题有相当大的难度.解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，常用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值与定点，再转化为有方向有目标的一般性证明题，从而达到解决问题的方法.

一、定值问题

(1)求双曲线C的方程；

(2)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P(x0,y0)(x0,y0≠0)处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A,B，证明∠AOB的大小为定值.

二、定点或三线共点问题

分析要证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，只要求出该直线系，再证此直线系通过某定点.

三、存在型定值(或定点)

例3 (全国卷Ⅲ) 设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线，(Ⅰ)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论.

四、定曲线

(1)求椭圆C的方程；

由于A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上，将①，②分别代入C的方程x2+2y2=4,整理得

(x2+2y2-4)λ2-4(2x+y-2)λ+14=0③,

(x2+2y2-4)λ2+4(2x+y-2)λ+14=0④.

④-③得8(2x+y-2)λ=0.

∵λ≠0,∴2x+y-2=0,即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上.