奇偶函数的对偶性质

梁宗明

(甘肃省兰州市兰化一中 730060)

奇、偶函数具有很多简洁、优美的性质，其中有一对朴素的对偶性质.但是这两个平凡而简单的性质却没有引起大家的足够重视，以至于解决一些相关问题时，找不到突破口，简单问题复杂化.如果能恰当利用这些性质可以很轻松地解决许多问题.下面就此类问题总结了几种常见的题型,仅供大家参考.

一、奇函数的性质

如果奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0.

简证因为f(x)是奇函数，所以有f(-x)=-f(x).

又x=0在定义域内，所以有f(0)=-f(0),移项后得f(0)=0.

二、偶函数的性质

如果可导的偶函数y=f(x)在x=0处有定义，则f′(0)=0.

简证偶函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(-x)=f(x)，两边关于x求导，则-f′(-x)=f′(x)，即-f′(0)=f′(0)，则f′(0)=0.

例1 (2014年湖南卷)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，则a=____.

常规解法因为函数f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数，所以有f(-x)=f(x)，即

ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax，

ln(e3x+1)-3x-ax=ln(e3x+1)+ax，