聚焦高考题中以抽象函数为载体的常考题型

张桂华

(云南省红河州蒙自市第一高级中学 661199)

一、求定义域

A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)

解因为f(x)的定义域为[0,2]，所以对g(x)，0≤2x≤2但x≠1，故x∈[0,1)，选B.

评注抽象函数定义域的求法：(1)若已知y=f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b解出.(2)若已知y=f[g(x)] 的定义域[a,b]，则y=f(x)的定义域即为g(x)的值域.事实上只要紧抓住“地位相同论观点”，即等的取值范围一致，就是抓住了解题的大方向.

二、求值域

评注解答以抽象函数为载体的问题时，常常需要对某些变量进行合理的赋值，这也是把一般转化为特殊的必要手段.

三、求函数值

评注以抽象函数为载体的求值问题的常见形式是给出函数满足的特殊条件，然后指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值.解决这类问题时只能借助特殊的推理方法，比如不断赋值，逐级递推，夹逼思想等.

四、判断奇偶性

例5 (2008年重庆)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( ).

A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数

C．f(x)+1为奇函数 D．f(x)+1为偶函数

解令x=0，得f(0)=2f(0)+1，f(0)=-1，所以f(x-x)=f(x)+f(-x)+1=-1，f(x)+f(-x)+1+1=0,即f(x)+1=-[f(-x)+1]，所以f(x)+1为奇函数,选C.

例6 (2009年全国卷Ⅰ)函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( ).

A.f(x)是偶函数 B.f(x)为偶函数

C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数

解∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(-1,0)对称，函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数.∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇函数.故选D.

评注(1)奇偶性是函数最重要的性质，其定义域与图象均反映了数学的“对称美”，体现了数学知识的和谐性，它既是函数概念的拓展与深化，又为后续学习研究其他函数奠定了必要的基础，以抽象函数为载体来设计题目考查奇偶性，有利于促使学生对函数奇偶性的深化理解.对于抽象函数奇偶性的判断仍然要紧扣奇偶性的定义.(2)抽象函数的对称轴常根据给出的函数式子求出，常见有以下情形①若函数满足f(a+x)=f(a-x)，则该函数的图像关于直线x=a对称②若函数满足f(2a-x)=f(x)，则该函数的图象关于直线x=a对称.

五、求解析式

A.f(x)=3xB.f(x)=sinx

C.f(x)=log2xD.f(x)=tanx

评注有的以抽象函数为载体的题目，虽以隐而不露的抽象面目示人，但抽象特征的背后往往隐藏着某种形象具体的函数，可通过具体的函数的性质特征或变量替换、取特殊值、联立方程消元和等价转化、递推归纳等策略找出该函数的解析式.

六、 研究单调性

例8 (2009年山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则( ).

A.f(-25)

B.f(80)

C.f(11)

D.f(-25)

解因为f(x)满足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-8)=f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).又因为f(x)在R上是奇函数，则f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1).而由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1).又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)=0，所以-f(1)<0,即f(-25)

评注(1)对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，单调性是函数的重要性质之一，以抽象函数为载体而设计的考查单调性的题目既有利于促使学生深刻地理解函数单调性的本质，也有利甄别学生对函数单调性之内涵的掌握程度.

七、研究周期性

例9 (2018年全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，且f(1-x)=f(1+x)，所以f(1+x)=-f(x-1),∴f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),∴T=4.因而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2).因为f(3)=-f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∵f(2)=f(-2)=-f(2),∴f(2)=0,从而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2,选C.

评注(1)函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，解决这类问题时常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

(2)对于抽象函数问题，解题时，一般可以考虑周期性，若周期存在，则遵循“活用抽象式、巧妙作替代”的原则求出它的周期，然后结合题设中的其他条件，使问题得以解决.

(3)一般地，定义在R上的函数f(x)具有以下条件之一时，可以考虑探求其周期性：

①函数f(x)的图象有一条对称轴且f(x)具有奇偶性；②函数f(x)的图象有两条对称轴.