“设而不求”纵横谈——对高中数学中“设而不求”解题思想探究和感悟

李 伟

(辽宁省鞍山市第三中学 114000)

文献[1]针对运用“设而不求”的解题思想解决解析几何问题做了很全面的论述，使读者感受到了该思想在解题中的强大威力和不可取代的作用.事实上除解析几何单元外，“设而不求”解题思想在高中数学其它章节同样有所应用，它的作用是能帮助我们解决了看似不可解的数学问题，达到了意想不到的效果，因此，其在其它单元解题中同样具有强大威力和不可取代的作用.另外，近几年高考试题对此的考查也有所体现，而且从新课标考查数学科素养统领高考命题的角度来判断，在其它高中数学单元“设而不求”的解题思想将会有逐步受到重视的倾向，可见对其进行进一步探究和挖掘是有必要的.

下面分别按高中各单元内容列举几个例子(不包含解析几何单元)，试图通过这些实例对“设而不求”解题思想在各单元解题中如何运用、题型特点、解题思考给予说明.

一、函数性质运用中的“设而不求”

A.a

C.c

由此得f(2)=f(π-2) ，f(3)=f(π-3).

分析从本题已知条件的结构上来看，通过解出a、b、c的值来判断大小是不可能的，所以，转而思考利用函数性质解题.从上述解题过程来看，利用偶函数性质转化自变量的数值范围，再借助函数单调性达到问题的解决.

A.-2 B.-1 C.1 D.2

略解注意到函数如下性质：1.函数f(x)的图象关于点(1，1)对称的充要条件是f(x)=2-f(2-x).2.函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则其对称区间上最值相反.

分析本题同样是不可直接求出最大小值的问题，所以，思考如何借助函数性质解决.从解题过程看，本题主要是利用函数图象关于点对称的性质解决的.从考纲和教材角度看，简单的点对称、直线对称问题是高考和教材所要求的，所以，对这方面相关知识的积累与运用是必须要掌握的.

纵观高中数学中涉及的函数性质，大致划分为：奇偶性、对称性、单调性、周期性等，这些性质都是高考要求的，而且也是可以和“设而不求”进行整合组题的，所以，平时学习时，多注意函数性质的积累和挖掘，加之“设而不求”技巧的运用，对提高解题水平是大有帮助的.

二、函数与方程问题中的“设而不求”

A.lg12 B.2lg12 C.3lg12 D.4lg12

分析函数与方程是高中数学重点知识，也是高考热点.在众多的函数与方程的题型中，不通过求方程根的手段解决问题是重要的、也是有一定难度的问题，本题就是其中之一.就其解法，其解题基本思考是数形结合，利用数形结合确定根的分布状况，从而实现问题的解决.

三、存在性问题中的“设而不求”

四、导数应用中的“设而不求”

又由已知得x∈(-，x1)时f(x)为增函数，x∈(x1，x2)时f(x)为减函数，x∈(x2，+)时f(x)为增函数，所以x2为(x1，x2)上的极小值点，所以

分析本题的解决并不是解出极值点，再进行数值计算得到的，而是借助于导数在求极值、求单调区间、判断函数单调性方面的应用，借助极值对式子进行放缩变换而得到的.

五、平面向量中的“设而不求”

分析问题的解决并不是求x、y的值，而是借助平面向量基本定理和三点共线的结论等式③，采取代入的办法建立起x、y的关系式，达到求值的目的.

六、三角函数中的“设而不求”

从解题过程看，由条件找到函数对称轴，再利用正弦函数在对称轴处函数值的特征得到问题的解决.

七、数列中的“设而不求”

例8 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=54，则a2+a4+a9的值为( ).

A. 9 B.18 C.24 D. 54

略解设等差数列的首项为a1, 公差为d，则9a1+36d=54，所以a1+4d=6.又a2+a4+a9=3a1+12d=3(a1+4d)=18，因此答案选B.

分析从等差数列的结构来看，求等差数列中的项一般需要知道首项和公差.显然由已知条件可以看出要分别求出首项和公差是不可能的，另从运用等差数列等距性角度看，也可直接使用.所以，从这个意义上讲，本题是一道解法比较独特的问题，独特在将已知和求解式均转化为a1+4d，也就是整体解题，而不是解出数列的首项和公差.

事实上，关于“设而不求”解题技巧在高中数学各章节(包括立体几何、空间向量)的运用还有很多例子，限于篇幅就不过多赘述.

作为“设而不求”解题技巧运用的小结，笔者感觉一是解题时如何想到运用“设而不求”解题技巧；二是如何入手使用“设而不求”解题技巧进行求解.对于第一个问题我的回复是看似不可用正常方法推理解决的问题.对于第二个问题我的回复是在敢于设未知量的前提下，注意函数性质、数形结合、整体解题、公式代入等思想方法的综合运用.