探析两道2018年高考题的题设条件

(盐城市伍佑中学,江苏 盐城 224041)

每年高考都会出现一些情景新颖、构思巧妙、设问独到的原创新题．研究这些考题的解答思路和技巧,探究问题的形成背景和条件,了解题目背后隐藏的原理或规律,对研究高考很有意义．本文探析两道2018年高考题的题设条件,管窥命题专家科学严谨的精巧构思．

图1

题1.(2018年江苏卷12A③)如图1所示,一定质量的理想气体在状态A时压强为2.0×105Pa,经历A→B→C→A的过程,整个过程中对外界放出61.4J热量.求该气体在A→B过程中对外界所做的功.

中学解答：本题考查热力学第一定律,解答思路是利用全过程的热传递情况和其中两个过程的做功情况,间接推算出另一个过程的做功情况．

由于B→C过程是等容变化,不做功,所以整个过程中,外界对气体做功W=WAB+WCA．又因C→A过程为等压变化,所以WCA=pA(VC—VA)=2.0×105×(2×10-3-1×10-3) J=2.0×102J．

根据热力学第一定律ΔU=Q+W,且整个A→B→C→A过程ΔU=0,得WAB=-(Q+WCA)=-(-61.4+200) J=-138.6J,即气体在A→B过程中对外界做功为138.6J．

疑问：有教师对题目中的已知条件“整个过程中对外界放出61.4J热量”感到不解,命题人为什么给出这样的一个数值?因为我们平常碰到类似问题,为了便于计算通常都取整数．

探析：物理中的许多习题,物理量可以任意取值,比如这样的问题.

质量为m的物体停放在光滑水平面上,用一水平拉力F作用于该物体,求该物体经时间t所发生的位移．

很明显,本题中的已知条件m、F、t可以任意取值,取值不同也不影响问题的解答,只是结果不同而已．因为这些物理量各自独立,没有关联,其中一个量(如，m)的取值不会影响另一个(如F),命题时为简单起见取整数值或特殊值无可厚非．

但是,有些物理量,由于受具体物理过程或特定物理规律的约束和限制,物理量之间相互关联．这时物理量就不能随便取值,否则将无法自洽．比如下面的问题.

质量为m=1×103kg的汽车从静止开始以恒定功率P=3×104W开始运动,已知运动过程所受阻力大小为f=1×103N不变,若汽车前进s=100m位移时速度变为v=20m/s,求此过程经历的时间．

实际上,汽车运动时遵循牛顿第二定律,即

上例说明物理量如果受特定运动状态或变化过程的约束,物理量之间存在数量的关联,则不能随意取值,即使其中的物理规律中学生并不知晓．至此,我们不难理解高考题1中热量的为何要取61.4J．

在高考题1中,A→B过程为等温变化,随着气体体积增大,压强变小,学生无法直接使用公式W=pAΔV求解.这也是前述中学解答中间接求解的原因．不过采用积分的方法,还是可以直接求出A→B过程对外做的功．将A→B过程的体积变化无限分割,则在发生微小变化的dV过程,可认为压强不变,则此微元过程对外做功dW=pdV,即

另据克拉珀龙方程pV=nRT得

加上原题A状态的p、V、T参量已知,代入上式得

所以A→B过程气体的p、V关系为

-ln(1×10-3)] J=138.6J,

与参考答案一致．可见,气体由于受到具体状态变化的约束,本题给定的“61.4J”热量其实是多余的但为了方便中学生解答原题“61.4J热量”的条件却又不能取其他值．命题专家显然早就考虑到了这一点,这也是值得我们中学教师反思和学习的地方．

题2.(2018年北京卷第8题)根据高中所学知识可知,做自由落体运动的小球,将落在正下方位置．但实际上,赤道上方200m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6cm处,这一现象可解释为,除重力外,由于地球自转,下落过程小球还受到一个水平向东的“力”,该“力”与竖直方向的速度大小成正比,现将小球从赤道地面竖直上抛,考虑对称性,上升过程该“力”水平向西,则小球

(A) 到最高点时,水平方向的加速度和速度均为0.

(B) 到最高点时,水平方向的加速度和速度均不为0.

(C) 落地点在抛出点东侧.

(D) 落地点在抛出点西侧.

中学解答：本题的关键是要利用好原题所给的水平“力”的条件,结合牛顿定律和运动的分解进行作答．题中小球的运动可分解为竖直和水平方向,由题目所给水平“力”的信息可知,小球上升时水平“力”向西、下落时向东,乍一看小球上升过程西偏,下落过程东偏,结果好像应落回原处．实际上,小球向上减速运动时,向西的水平“力”虽逐渐减小,但由于水平“力”的持续作用,向西的水平速度不断增加,因此当小球到达最高点时,水平加速度虽减为0但水平速度却达到最大,故(A)、(B)均错．下落过程水平“力”虽也向东,但因小球在最高点已具有最大向西的速度,所以接下来小球将向西做减速运动．并根据对称性可知,直到小球落至地面时向西的速度方减为0．所以整个过程小球水平方向都在向西运动,落点位于抛出点的西侧．故(C)错,(D)正确,本题选(D)．

需要注意的是,小球上抛后从最高点开始下落的运动与小球单纯从最高点由静止下落的运动是有区别的:前者在最高点存在水平速度而后者却没有．虽然它们下落过程所受水平力和水平加速度的方向都向东,但因水平初速不同,由力和运动的关系可确定,一个是从最高点开始向西减速,另一个是从最高点开始向东加速．所以本题中的小球被上抛后,上升过程西偏,之后下落的过程继续西偏．原题中所提及的落体偏东现象,特指物体从高空无初速下落的情况,并不具有普遍意义．解题时切不可套用现成结论,而应根据最基本的力和运动的关系分析．

疑问：大多数学生以及部分教师不清楚原题中所给定的水平“力”究竟是什么力?从哪来?为何与竖直方向的速度大小成正比?

图2 落体偏东的定性解释

探析：本题取材于理论力学中典型的“落体偏东”问题,并进一步拓展到“上抛偏西”．就“落体偏东”而言,由于地球存在自转,所谓小球在高空无初速下落,只是相对于地面(转动参考系)而言．如图2所示,在赤道上A点正上方高200m处的P点无初速下落的小球,由于随地球自转,在静止(实验室)参考系中看,仍具有初速vP,小球下落过程将因vP存在而产生水平方向的漂移．并因v=ωr,vP大于地面上A点自转的线速度vA,所以小球落地时在水平方向漂移的距离,大于地面上A点因自转而发生的距离,由此产生落体偏东的现象．

然而,地面(转动系)上的人认为,小球刚下落时并不存在水平初速,但却落在A点东侧,所以他会觉得小球下落过程除重力外还受到向东的水平力作用．当然,这个力并非真实存在的力,因为我们找不到该力的施力物体．实际上,由于物体具有惯性,在转动系中会产生偏离原来运动方向的倾向,我们把该倾向归结为一个外加力的作用,这时的惯性力称之为科里奥利力,其本质是物体具有惯性的结果．就像在水平加速行驶的火车里,桌上的鸡蛋向后滚,乘客觉得鸡蛋受到一个向后的作用力一样．

根据理论力学知识,在平面匀速转动参考系中,质点的运动方程为

图3 科氏力与速度方向的关系

如图3所示,小球从赤道A点正上方的B处无初速下落,在转动系中考察小球所受科氏力方向．因地球自转ω矢量垂直纸面向里,根据右手定则在图3中标出了C、D两点的速度v与科氏力F的方向,因此“落体偏东”．同理,若将小球从地面上M点竖直上抛,图3中标出了M、N、O、P、Q各点的速度v与科氏力F方向,即上升过程科氏力向西,这说明原题的题设条件“考虑对称性,上升过程该水平‘力’向西”与真实情况相符,小球水平方向加速西偏;最高点由于有速度,亦存在向下的科氏力;继续下落过程科氏力向东,小球水平方向减速西偏,因此“上抛偏西”．

要说明的是,原题中的水平“力”,严格讲只是科氏力的水平分量,因科氏力F与物体相对转动系的速度v垂直,从图3亦可看出相对速度v并非竖直而是有一点点倾斜．不过,原题给出的该“力”与竖直速度大小成正比是完全正确的,因为科氏力

以上探究,笔者深感命题专家的设计精巧,问题的情境原始真实,科学准确,而非闭门造车;问题的内涵丰富高远,涉及大、中学多个知识点,但命题人通过巧妙地给定合理且简化的题设条件,用中学知识亦能解决;同时题干中的背景内容又潜移默化地拓宽了中学生的视野．

本题的严格计算较复杂,这里仅简单估算赤道上空高200m无初速下落的小球的东偏结果．由于地球自转ω=7.27×10-5rad/s很小,离心力mω2r以及科氏力的竖直分量2mv平ω相对重力mg均可忽略,即小球竖直方向仍可看成自由落体运动．科氏力的水平分量2mv竖ω=2mωgt使物体发生微小的东偏．据牛顿第二定律,水平方向有

解得

将ω=7.27×10-5rad/s，g=9.8m/s2，h=200m代入,得s=6.008×10-2m,与原题所给的偏东约6cm的结果完全吻合．

反思：通过以上两道题题设条件的探析可以看出,高考题所给条件或信息,既要满足学生利用中学阶段的知识能够顺利解答,又要符合问题本身所遵循的深层次的物理规律．这两道考题为中学阶段如何创新命题提供了很好的示范．作为中学物理教师,在研究高考题时,不但要知其然更要知其所以然,给学生一碗水自己就应有一桶水,只有这样,才能满足不同学生的需求,才能培养出具有质疑精神和创新意识的高素质人才．