落体偏东在惯性系中的分析

王洒 王玲 汪志云

(湖北文理学院物理与电子工程学院 湖北 襄阳 441053)

在大学物理教学中，落体偏东是一个耐人寻味的问题，在这个问题上很多学生百思不得其解．理论力学教材中，关于落体偏东计算公式的推导多采用转动坐标系求解，从而得到如下微分方程组(1).然而，对这个问题用非惯性系并以科里奥利力来解释落体的偏东实在是没有必要．无论是从转动坐标系本身涉及的复杂计算，还是从整个过程对落体偏东本质的阐释来看，这种方法其实都并没有起到促进教学的效果．

本文将采用静止坐标系来分析落体偏东的本质，并在惯性坐标系中推导落体偏东计算公式．

1 落体偏东问题在转动坐标系中的表述

转动坐标系中落体的运动微分方程为[1]

(1)

式中，ω为地球自转的角速度，λ为地面上的纬度，h为落体距地面的高度.代入初始条件

(2)

由于ω=7.3×10-5rad/s，略去数值较小的含ω2项积分得到

(3)

上式即为一般理论力学教材中关于落体偏东数值的计算式.

2 惯性坐标系中的落体偏东问题

我们知道，初始高度为h0(h0≪R，R为地球半径)的自由落体都有

(4)

以地球球心为原点，建立如图1所示惯性坐标系O-xyz[2].

图1 惯性系中的落体

由图1中几何关系不难看出，落体到地轴的距离r也是时间的函数[3]

(5)

由于地球对落体引力为有心力，且地轴穿过地心，则对地轴l动量矩守恒[4]

(6)

则有

(7)

由于h0-h≪h+R，故有

(8)

(9)

则落体较地表多转过的角度为

而此过程中地表也以地轴为轴转动，忽略落体下落后在纬度方向的位移(这个值极小)，落体任意时刻的偏东微分数值为[5]

ds=(h+R)cosλdθ′=ω0gt2cosλdt

落体落地时有

代入得到整个过程中的偏东值

(10)

这与转动坐标系中的结果是相符的．

3 结论

在转动坐标系和惯性系中应用不同的分析方法最终得到相同的结果，然而比较两种方法不难发现两种方法的特点，在惯性系中的分析明显具有简单直观的思路，使学生在思维层面上更易于接受．

在惯性系中分析落体偏东问题更为直观：地球和落体之间为有心力的作用，就可以借助动量矩守恒来分析，以转动角代替直接的偏东位移，这一点在教学中是值得借鉴的．因为落体偏东的本质是落体高度下降后角速度增大(动量矩守恒)的结果，这就意味着任意时刻将比地面转过更大的角度，如果学生看清了这一点，落体偏东就成为一种直观的必然，而不会产生由科里奥利力和转动坐标系的分析了带来的神秘感．

不仅如此，也可以让不具备转动坐标系相关知识的高中生接触和了解，降低了接受的难度．

参考文献

1 周衍柏.理论力学.北京：高等教育出版社,2012.189～191

2 程绪和.关于落体偏东问题的讨论.安庆师范学院学报，1982(1):59～61

3 梁昆淼.落体偏东的初等解说. 大学物理，1984(2):1～2

4 阎凤丽.在地心参照系中对地球赤道上落体偏东的计算.大学物理，1994(1)：26～27

5 刘嘉斌.在惯性系中分析落体偏东现象.工程物理，1998(5):17