基于电大学员情况对微分教学的改进

陕西省安康职业技术学院 荆荣丽

伴随着社会文明的进步，广大劳动者对知识的要求愈来愈多、愈来愈全面，深度愈来愈强。当然，知识越深，难度就越大。比如对于理工生来说，高等数学就是一门基础课，而微积分则是高等数学教学的重点、难点。电大招入学员大多数知识层次低，数学基础知识较差，学习积极性弱，自觉性不强，自我约束能力不足，学习态度不端正，而且缺乏踏实努力、刻苦钻研的学习精神，在数学学习意识、学习方法、学习能力上比较欠缺，这就要求从事一线教学的老师们改变思想，转化理念，在教学设计上多动脑筋，多想办法，如利用比较法、找规律等手段，通过引导、启发、鼓励等方式调动学生的求知欲，从而激发学生的学习积极性。结合以上情况以及笔者自身的教学心得，提出一些教材编排上的设想和教学方法上的改进。

一、微分概念的分析

在高等数学教材中，微分概念一直被称之为“函数增量的线性主部” 。本人从事多年的微积分教学任务， 从严密性很强的数学理论体系来说，把微分理解为“增量的线性主部”是非常合理的选择，但考虑到电大学生的理解思维能力，接受到这样晦涩难懂、专业性强的定义，无疑增加了学生对微分概念的学习难度。但若避开数学严密抽象思维的特点，转用形象直观思维，形象化地给出微分定义，就可形成微分教学的新方案。无论是专升本教材还是现阶段的高起专教材，关于微分这一节的教学不外乎引例、导入概念（用增量的线性主部来定义微分） ，推出可导、可微的等价关系，再在数形结合的途径中讲述其几何意义，然后给出微分的运算法则、基本公式等，让学生能熟练计算微分，最后回归客观实际，讲明微分的应用。可以看出，这种教学模式中，微分的教学内容抽象，微分的教学环节又多，这既加重了学生的学业负担，又有悖于低基础学员教学的时效性原则。为改变以上状况，改革高职高专院校以及电大高数微分的教学方案，是我们必须探讨的一个问题。

一些学者强调从积分和微分的联系的角度讲授微积分。一般来说，微分是研究事物运动的瞬间改变量，积分是研究事物运动的区间改变量，如人的头发是无时无刻不在生长着，微分就是研究头发的瞬间生长量，积分则是研究头发在某一区间，例如一个月的生长量。微分和积分从运算角度考虑，可以这样说，减法产生微分，加法产生积分，微分和积分是对立的统一。它统一于积分运算。

目前学生擅长用微积分解题，但是概念理解不深，如果只强调计算而忽视概念的教学，将会妨碍微积分进一步深入教学，但教学时间有限，学生的概念理解与技能发展似乎成为一对矛盾。该如何有效地进行微积分概念教学？ 在接下来的小节里，将主要讨论微积分概念教学的措施。

二、微分的概念

微分（differential）最初带有 “差”的意思，所以，微分表示函数增量的近似值。如果误差是Δx的高阶无穷小，则称函数在该点是可微的。通过下面引例，详细指出微分的差的含义、线性近似、误差等，代替原来那种一带而过、蜻蜓点水、语言不详的表达方式。

例1 要给一个半径为r0的球表面涂上油漆，油漆的厚度为Δr。试计算这层油漆的体积。

用一次函数的增量近似代替三次函数的增量，足见微分在简化运算中的作用。数学内涵是一样的，实际背景则更丰富，在学生得出相关结论后再将其推广为一般的误差估计，这样易于学生接受。

例2 考察自由落体运动S(t)=gt2，位移的增量。

这是学生很熟悉的物理上的运动学公式，可以和位移公式S=v0t+gt2联系起来，这样学生自然就可以将公式中的A与速度v0即S'(t0)联系起来，Δt2与O(Δt)联系起来，从而得到ΔS≈dS=S'(t)Δt。

通过微分三角形，借助凹凸两种函数，详细解释微分的几何意义为函数在x点的切线的增量，微分概念蕴含着以直代曲、线性近似的思想。

三、微分计算

在微分计算这一教学环节中，首先讲解微分与导数的关系、微分的几何意义。在高中阶段，同学们已经学过导数，熟悉导数的基本公式和导数的运算法则。在讲微分时，联系导数与微分的关系，既体现了知识内容衔接相辅相成，同时也增加了学生对知识的熟悉度，不会产生对新知识的恐惧和畏难情绪，有利于学员更好地了解微分，方便计算以及后期对微分的应用。

1．利用导数计算微分

导数也叫微商，即函数的微分除以自变量的微分，所以，函数的微分自然就等于导数乘以自变量的微分。因此，微分公式如下：

微分的运算法则也可以由导数的运算法则得出，在这里就不再赘述。

2．一阶常微分方程

一阶常微分方程正常教学用时是4课时，在不降低大纲要求的前提下，及时调动学生自主学习，鼓励学生加强对比，提高其观察能力和实际学习效果，可以对教材进行一定的改变。

首先介绍一阶常微分方程的概念，然后列出以下常见类型及其特征：

（1）y'=f(x)型。其特征是：①左边是一阶导数y'；②右边是自变量的函数。这类方程是一阶常微分方程的最简单形式，方便易解，是解微分方程的基础，为后面讲解高阶微分方程降阶做好铺垫。

（2）y'=f(x)·g(x)型。如果方程能把y的一阶导数转化成x的函数与y的函数乘积的形式，也就是说把x和y分离开，我们把它叫“可分离变量的微分方程”。其特征是：①左边是一阶导数y'；②右边是自变量的函数与y的函数的乘积。

（3）型。如果方程能把y的一阶导数表示成的函数，我们就把它叫“齐次微分方程”。其特征是：①左边是一阶导数y'；②右边是自变量与y的商 的函数。

（4）y'=f(x)·y+g(x)型。如果方程能化成这种形式，我们就把它叫“一阶线性微分方程”。其特征是：①左边是一阶导数y'；②右边是线性关系，y'和y都是一次的；③f(x)，g(x)都是x的函数。

给出这几种常见形式，并列举出每种形式的特点，方便学员观察、比较、理解。同时，一边讲形式一边举例说明，这样给予启发、引导，让学员有更充足的时间观察、思考，掌握知识快捷，使得他们有更高的兴趣深入探索研究。

接着，给出笼统的例题，从混合形式中分辨出每个题目的形式，然后归类。让学员从混合状态下根据这四种形式的特点分辨出所属形式，方便后面“求解微分方程”的理解和掌握。

最后，通过与例题相似的练习提高学员对每种微分方程的分辨能力，然后再进行解法的讲解。这样安排教学，符合接受知识的自然规律，适合数学基础较差的学员模仿、套形式的学习方式。

四、改进教学的效果

笔者从事数学教育以来，既带有高职数学，也带有电大高等数学的面授课。通过教学实践表明，在相同的授课时间内，改变微分部分的教学方法后，更利于培养学生的数学思想方法以及应用数学思想方法的能力，让学生对微分思想有了更深刻的认识，更利于他们理解和掌握专业知识。今后要结合专业特点，适应高职课程改革的新形势，以满足专业需要为原则，以培养应用能力为主线，提高高等数学的教学质量。

总之，教学以传道授业为宗旨，目的是让学生学艺受用。甚至有学者认为，微分教学要改变教学顺序，先讲微分再讲导数，把颠倒的历史重新翻倒过来，这也符合客观事物运动变化的规律。先研究事物运动的瞬间改变量，再研究事物运动瞬间变化率，这是顺理成章、易学易懂的快事。但这样的变更太广，我们目前也只能拭目以待。