偏心误差对新型行星齿轮传动系统均载特性的影响

2019-03-24朱增宝程龙超

安徽理工大学学报（自然科学版） 2019年6期

朱增宝,徐瑞,刘春,程龙超

(安徽理工大学机械工程学院，安徽淮南 232001)

微小型行星传动广泛应用于机器人传动系统与其它微型精密机械中，微小型行星传动主要存在传动精度低、承载性能差、载荷分配不均的问题，使得行星传动的优势在微小型精密机械传动中得不到全面的体现。鉴于此，提出微小型行星轮双排并联多模数传动系统，该系统由分流级与汇流级行星轮系组合构成的复合行星轮系，将原有分流级、汇流级单排平面均布的行星轮转变成双排空间均布；成倍增加啮合轮齿，啮合齿轮进行误差补偿，提高传动精度；针对微小型行星传动系统中太阳轮轮齿齿数较少，承载能力差的问题，采用多模数设计方法，增大有关太阳轮的压力角，有效地增大太阳轮的承载性能[1]。

误差直接影响齿轮传动系统载荷分配的均匀性。考虑制造误差与安装误差，文献[2-3]分析行星轮系的均载特性，提出了使用动态均载系数衡量行星传动系统的均载性能，并对该行星系统均载性能进行试验验证；文献[4]针对齿廓形误差和偏心误差对行星轮系的均载特性做了详尽的分析；文献[5-8]采用实验的方法分析了行星架与齿轮的制造误差对行星传动系统的静态均载特性的影响；文献[9-10]用平面有限元接触模型和三维GASM模型研究行星架与齿轮安装误差对系统均载特性的影响；文献[11]用静力学的方法，研究了传动系统的均载性能；文献[12]分析了误差对封闭行星齿轮传动系统的动态特性的影响；文献[13-14]研究了误差对复合行星轮系的均载影响，并建立虚拟样机进行仿真分析；文献[15]通过建立非线性扭转耦合动力学模型，分析了误差及误差相位对单个或多个构件的动态均载特性的影响；文献[16]从齿轮副动态啮合力着手，研究了齿轮偏心误差对行星传动系统的均载特性分析。文献[17]研究了行星齿轮的制造误差、动力学特性。文献[18]通过动力学方法研究了均载系数与载荷的关系，得出均载系数与齿轮传动中零件的误差直接相关。尽管国内外学者专家做了大量有关行星传动轮系均载特性的研究，但在建立传动系统力学模型时大都采用集中质量法，将齿轮简化为一个质量点，齿轮间的啮合作用则用刚度和阻尼代替，基于集中参数法研究得出结果与试验结果差距较大，这种研究方法对于研究齿轮传动系统均载特性的合理性有待商榷。本文考虑了偏心误差对齿轮弹性形变的影响，参考前苏联的行星齿轮传动设计方面的权威设计文献《行星齿轮传动手册》[19]212-228中的弹性力学分析法，推导出偏心误差对微小型行星轮双排并联多模数传动系统的载荷分配系数公式，对该行星传动系统的均载性能作出分析。研究工作对微小型行星传动系统各关键部件的加工制造精度等级的选择提供了理论依据。

1 传动系统模型

微小型行星轮双排并联多模数行星传动系统原理图如图1所示，由太阳轮Zs、行星架H、固定内齿圈Zr、分流级左侧行星轮Zpli、分流级右侧行星轮Zpri(i=1，2，3)、汇流级左侧行星轮Zmlj、汇流级右侧行星轮Zmrj(j=1，2，3)、输出内齿圈Ze和输出轴L组成。

输入转矩Ma经输入轴传递至太阳轮Zs，再分流给分流级左侧行星轮Zpli与分流级右侧行星轮Zpri，左右两侧行星轮在空间均布，行星架H负责支撑分流级与汇流级的行星轮，分流级行星轮经花键轴将转矩传递至汇流级左侧行星轮Zmlj与汇流级右侧行星轮Zmrj，由汇流级行星轮与输出内齿圈Ze啮合，将转矩汇流由输出轴L输出。

图1 微小型行星轮双排并联多模数行星传动原理图

该传动系统太阳轮尺寸较小，齿数少，承载较大，采用传统设计方案设计的太阳轮易损坏，因此太阳轮与分流级行星轮的啮合方案采用多模数方法设计，令太阳轮、分流级行星轮模数为ms、mpi，压力角为αs、αpi，若满足mscosαs=mpicosαpi，则太阳轮与分流级行星轮便可正确啮合，通过改变参数使得压力角接近28°，该压力角下的承载能力是压力角为20°标准齿轮的2.5倍，以此增强太阳轮的承载能力[1]215-244。

2 偏心误差等效弹性形变公式推导

中心轮(太阳轮Zs和输出内齿圈Ze)同行星轮啮合时的弹性形变主要取决于齿轮的偏心误差、安装误差、齿频误差[19]193-211。限于篇幅，本文仅研究偏心误差对分流级与汇流级载荷分配系数的影响，安装误差、齿频误差的影响暂不考虑。

分流级偏心误差主要有，太阳轮的偏心误差Es、分流级行星轮的偏心误差Epi和行星架偏心误差EH。偏心误差影响各级啮合副齿轮轮齿的弹性形变，啮合线方向的弹性形变影响轮齿间载荷，啮合方向的偏心误差等效啮合线方向的弹性形变[19]212-228，分流级外啮合副的弹性形变Δi是偏心误差在该啮合副啮合线方向的投影叠加，由下式表示

Δi=es+epi+eH

(1)

式中：es、epi和eH为分别太阳轮Zs、分流级左右排行星轮和行星架H的偏心误差在分流级外啮合线方向的投影。

图2为分流级外啮合副偏心误差与啮合方向的角度关系，以极坐标的方式表达了齿轮偏心误差的数值与方向。Es、Epi和EH分别表示太阳轮、分流级行星轮和行星架偏离原有旋转中心的偏移量。

图2中βs、βpi和βH分别为太阳轮、分流级行星轮和行星架的初始相位；αsp为实际啮合角；φi为第i(i=1，2，…，n)个分流级行星轮的位置角。

图2 分流级偏心误差投影到啮合线上

将太阳轮的偏心误差Es、分流行星轮的偏心误差Epi、行星架偏心误差EH在外啮合线方向投影得到

(2)

汇流级内啮合副轮齿的弹性形变Δj处理方式与分流级相同，由下式表示

(3)

图3为汇流级偏心误差与内啮合线方向的角度关系，以极坐标的方式表达了齿轮偏心误差的数值与方向。

图3中βe、βmj分别为输出内齿圈、汇流级行星轮的初始相位；αem为实际啮合角；φj为第j(j=1，2，…，m)个汇流级行星轮的位置角。

图3 汇流级偏心误差投影到啮合线上

因此将汇流级偏心误差在内啮合线方向投影得到

(4)

3 载荷分配系数公式推导

令Ωi表示第i(i=1，2，…，n)个分流级行星轮的载荷分配系数，Ωj表示第j(j=1，2，…，m)个汇流级行星轮的载荷分配系数，其表示如(5)式

(5)

式(5)中：Pn、Pm分别为分流级、汇流级行星轮啮合时平均法向作用力，其表示如(6)式

(6)

式(6)中：Ms、Me表示太阳轮Zs、输出内齿圈Ze处转矩；(dw)s、(dw)e表示太阳轮Zs、输出内齿圈Ze节圆直径；n、m为分流级、汇流级行星轮个数。

式(5)中Pni、Pmj分别为分流级第i个行星轮、汇流级第j个行星轮啮合时法向作用力，其表示如下式

(7)

式(7)中：PΔi、PΔj分别为分流级、汇流级啮合副轮齿弹性形变引起的法向作用力。

在传动系统中，忽略齿轮轮缘柔度的影响，分流级啮合副轮齿弹性变形Δi与法向作用力之间的关系为[19]212-228

(8)

(9)

式(8)、式(9)中，(bw)s、(bw)r分别为太阳轮Zs、固定内齿圈Zr的啮合齿宽；(Ct∑)s、(Ct∑)r分别为太阳轮Zs、固定内齿圈Zr的啮合轮齿比刚度；Cr∏为分流级行星轮轴承径向刚度。

汇流级行星轮同输出内齿圈弹性变形Δj与法向作用力之间的关系与分流级类似

(10)

(11)

式(10)、式(11)中：(bw)e为输出内齿圈Ze啮合齿宽；(Ct∑)e为输出内齿圈Ze啮合轮齿比刚度；CrX为汇流级行星轮轴承径向刚度。

将式(2)带入式(1)，式(4)带入式(3)得到分流级与汇流级的弹性形变Δi、Δj；再将得到的弹性形变Δi、Δj分别带入式(8)与式(10)，计算出弹性形变引起的分流级、汇流级齿轮啮合时的法向载荷PΔi、PΔj，将式(6)计算出的结果与PΔi、PΔj共同带入式(7)，再通过式(5)得到Ωi、Ωj为

(12)

取Ωi最大值为分流级均载系数以Ωn表示，取Ωj最大值为汇流级均载系数以Ωm表示。则该行星传动系统均载系数为

(13)

4 均载特性分析

本文针对某机器人用微小型行星轮双排并联多模数齿轮变速器进行分析研究，变速器主要参数有：输入转速1 215r/min；输出转速15r/min；输入功率0.84kW；输入转矩Ms=5 100 N·mm；分流级行星轮个数n=6，太阳轮Zs=18，模数ms=0.90mm，压力角αs=20°，啮合齿宽(bw)s=79mm，分流级行星轮Zpli=Zpri=81，模数mpi=0.95mm，压力角αpi=27.5°，固定内齿圈Zr=180，模数mr=0.90mm，压力角αr=20°，(bw)r=81mm；汇流级行星轮个数m=6，Zmlj=Zmrj=63，输出内齿圈Ze与行星轮模数mmj=me=0.90mm，压力角αmj=αe=20°，齿数Ze=162，输出内齿圈Ze啮合齿宽(bw)e=60mm；各齿轮的轮齿比刚度为14 000 N·mm2；分流级行星轮轴承径向刚度Cr∏=500 000N/mm，汇流级行星轮轴承径向刚度CrX=550 000N/mm。各齿轮与行星架的偏心误差与初始相位如表1～表2所示。

表1 系统偏心误差 μm

表2 系统偏心误差初始相位 (°)

(1) 偏心误差对系统均载系数的影响

为研究偏心误差对该传动系统的行星轮均载特性的影响，通过式(12)计算出分流级与汇流级行星轮的载荷分配系数，得到各级载荷分配系数随啮合时间变化的曲线如图4和图5所示。

图4 分流级载荷分配系数

图5 汇流级载荷分配系数

分流级均载曲线波动较大，汇流级均载曲线较为平稳，分流级均载系数为1.050 6，汇流级均载系数为1.028 3，汇流级均载性能优于分流级。汇流级处于动力输出端，转矩远大于输入端，汇流级的载荷远比分流级载荷大，载荷越大越均载[19]212-228，所以汇流级载荷分配更均匀。

(2)单个偏心误差对分流级均载系数的影响

分析单个误差对分流级载荷分配的影响，假设研究单个误差的影响，同级其余两个偏心误差不变，得到分流级均载系数与偏心误差Es、Epi、EH变化关系如图6～图8所示。

偏心误差Es/μm图6 偏心误差Es对分流级均载系数影响

偏心误差Epi/μm图7 偏心误差Epi对分流级均载系数影响

偏心误差EH/μm图8 偏心误差EH对分流级均载系数影响

由图6～图8可见，偏心误差越大，均载系数越大，原因是偏心误差越大引起的弹性形变越大，载荷分配越不均匀[20]；对比图6、图7、图8可见，行星架偏心误差EH对分流级行星轮载荷分配有显著的影响，因为行星架的偏心误差，会导致安装在行星架上的行星轮位置产生偏移，行星轮本身存在偏心误差加上行星架偏心误差产生的位移，导致轮齿的弹性形变更大，载荷分配更不均匀；对比图6、图7、图8可见，行星轮偏心误差的变化对均载系数的影响最小，由于双排行星轮的行星轮个数增加一倍，啮合齿数极具增大情况下的误差补偿效果很好，平衡了载荷，所以行星轮偏心误差的变化对分流级均载性能影响最小。

(3) 单个偏心误差对汇流级均载系数的影响

汇流级行星轮均载性能分析方法同分流级，汇流级行星轮均载系数随偏心误差Ee、Emj、EH变化关系如图9～图11所示。

偏心误差Ee/μm图9 偏心误差Ee对汇流级均载系数影响

偏心误差Emj/μm图10 偏心误差Emj对分流级均载系数影响

偏心误差EH/μm图11 偏心误差EH对分流级均载系数影响

由图9～图11可见，汇流级偏心误差对该级均载性能影响较分流级小，验证了之前提出的汇流级均载性能优于分流级的结论；行星架偏心误差EH对汇流级均载性能影响较其它误差大，与分流级相同，其原因是行星架作为连接分流级与汇流级的重要部件，其偏心误差直接导致两级行星轮啮合位置发生偏移，导致啮合副轮齿弹性形变变大，均载效果变差；汇流行星轮偏心误差对汇流级均载性能影响效果同分流级，较同级其它两个误差的影响是最小的。