改编教材资源凸显数学本质

洪运琴

摘 要：数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。作为新时期的教师要学会利用好教材的资源，理解其本质，并对资源进行适当的改编，以发挥其“再生”的作用。本文通过对浙教版九上教材中的一道习题的解答以及思考，借助习题改编的方法，通过将条件和结论互换、增加条件、减少条件、改变图形等一系列改编，进行横向的拓展和纵向延伸，使其散发新的活力，进一步凸显习题的数学本质.

关键词：教材资源 习题改编 数学本质

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）02-0-03

一、问题的提出

《数学课程标准（2011版）》指出：“数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。”同时又强调“在数学教学活动中，教师要把基本理念转化为自己的教学行为，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材……”。要深化落实新课程的标准，作为新时期的教师要学会利用好教材的资源，理解其本质，并对资源进行适当的改编，以凸显其数学本质。

初中数学中，研究线段之间的数量关系往往要借助全等三角形或相似三角形来进行，而全等三角形的构建往往是借助图形的变换而得来，其中包括旋转变换、平移变换、轴对称变换等等，本文就借教材中的一道习题通过适当的改编，凸显旋转变换在探究线段之间的关系，图形之间关系中的数学本质。

【原题呈现】（来自浙教版九上P75页作业题第5题）

如图，E是正方形ABCD的AD边上一点，延长BA至点F，使BF=DE，连结CE，CF.能通过旋转△DEC得到△FBC吗？请说明理由。

本题的意图是通过在正方形这一背景中能够发现三角形的旋转，并学会旋转的判定和说理，事实上这道题目学生在做的时候说理并不清晰，因为证明边相等角相等好入手，但是证明这是一个旋转变换是头一次，因此问题也比较多。具体解答过程如下：

解答：能.理由：由已知，BC=CD， BF=DE，∴Rt△FBC≌Rt△EDC.∴∠DCE=∠BCF.∴∠FCE=∠DCB，CF=CE.所以把△DEC绕点C按顺时方向旋转90°时，CE与CF重合，DC与BC重合，也就是得△FBC.

通过解答让学生明确三角形旋转变换的条件：一是有旋转中心，二是各部分按同一方向转动同一角度。但是如果这道题目就到这里为止，显然没有发挥出它应有的价值，特别是发挥旋转变换在解决三角形和四边形中线段之间关系中的作用，笔者根据有关习题改编的方法，通过通过将条件和结论互换、增加条件、减少条件、改变图形等一系列改编，进行横向的拓展和纵向延伸.

二、对该题的改编

1.结论和条件互换——用好旋转三角形的性质

【改编1】

如图1，将Rt△DEC旋转绕着点C顺时针旋转90度，得到 Rt△FBC，延长DE和FB交于点A，你能发现四边形ABCD是什么特殊的四边形？请说明理由.

解题分析：在图形没有改变的条件下，显然学生能够猜想到这是一个正方形，而且根据正方形的判定方法，显然只要先证明它是矩形再根据邻边相等，就可以得出。而这些结论的得出都需要利用好旋转变换的性质.（具体证明过程略）

改编意图：

这个改编主要是让学生理解当条件和结论互换之后，所用的知识就相应的会发生改变，原题主要是理解旋转的条件，而此题主要是用好旋转的性质，并将正方形的性质和判定也融入其中.

2.增加条件——抓准旋转的三角形

【改编2】

如图2，在正方形ABCD中，点E，G分别在边DA、BA上，且∠ECG=45°.

（1）将△CDE绕着点C顺时针旋转90°，得到△CBF，试分析BG与DE的和与EG有什么数量关系？

（2）如图3，若点E在AD的延长线上，G在BA的延长线上，∠ECG=45°，则BG、DE、EG三条线段还有原先的数量关系吗？如果有加以说明，如果没有，请写出新的数量关系.

解题分析：第（1）小题由∠ECG=45°可知△FCG≌△ECG，从而得到EG=FG，而FG=BG+BF=BG+ED，因此BG+ED=EG .

第（2）小题，只是点E的位置改变到AD的延长线上，仍可以将△CDE绕着点C顺时针旋转90°，得到△CBF，由∠ECG=45°可知△FCG≌△ECG，仍可得到EG=FG，而此时FG=BG-BF=BG-ED，即EG= BG-ED.

引申1：在图2中，若已知BG=3，DE=2，根据△AEG为直角三角形你可以求出正方形的边长吗？（设边长为x，由题意得（x-3）2+（x-2）2=25，解得x=6）

引申2：若已知正方形的边长为6，设BG=x，DE=y，当点G在线段BA上运动时（不包括点B、A），试求出y关于x的函数解析式及x的取值范围。（由（1-y）2+（1-x）2=（x+y）2，化简得）

【改编3】

如图4，在正方形ABCD中，点E，G分别在边DA、BA上，且∠ECG=45°。

连接BD，交CG、CE于M、N。

求证：BM2+ND2=MN2

解题分析：要证BM2+ND2=MN2，可将三条线段通过旋转变换转化到同一个Rt△中，依此可将△CDN绕点C顺时针旋转90°，得△CDN′，如图5，由∠CDN=∠CBM=45°可知△BMN′為Rt△，只要再证明MN=MN′即可，而由∠ECG=45°及旋转变换可得∠MC N′=45°可得△MCN≌△MCN′，故MN=MN′，原命题得证.

引申3：在图4中，若已知BM=4，DN=3，你能求出正方形的边长吗？（边长为 ）

引申4：在图4中，你能发现有哪些全等三角形和相似三角形？请一一写出.（略）

改编意图：

改编3通过增加条件∠ECG=45°，使得整个图形立即复杂了，但是其中的旋转变换并没有改变，只是增加一对全等三角形出来，从而发现三条线段之间的关系。目的是将旋转变换和图形的全等进一步的结合，并且化静为动，能够在运动后还能找到全等.

改编4在改编3的基础上并没有增加条件，只是连结了BD 这一条对角线，而求证的三边关系却和勾股定理是一样的，因此需要构造直角三角形来解决.

引申1、2在改编3的基础上进一步将方程思想和函数思想引入此题，实现了“数”与“形”的结合.引申3、4则在改编4的基础上让学生自己去利用结论进行计算，同时通过对全等三角形和相似三角形的寻找从总体上把握全图.

3.减少条件——构造旋转三角形

若把图1中的正方形部分隐藏掉.将原本三角形的旋转变成了一条线段的旋转，这样虽然从图形上看是简单了，但对于线段之间数量关系的发现却增加了很大的难度，因此在解题中可以通过旋转将原图形补全来解.

【改编4】

如图6，在四边形ABCD中，AB=AD，BC+CD=10，∠A=∠C= 90°，求四边形ABCD的面积.

【改编4】

如图7，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，AC=1，∠ACD=60°，求四边形ABCD的面积.

解题分析：引申3可以过点A作BC及CD所在的直线的垂线，垂足为E、F（如图8），由AB=AD，∠A=∠C= 90°可以证明△ABE≌△ADF，因此四边形的面积转化为正方形AECF的面积，再根据BC+CD=10，可得正方形的边长为5，面积为25.

引申4可以延长CD至B′使得DB′=BC连结AB′（如图9），显然△ABC≌△ADB，所以AC=AB′，由∠ACD=60°可得△A B′C为等边三角形，从而把四边形ABCD的面积转化为△A B′C的面积，由AC=1，可以求出△A B′C的面积为 .

改编意图：

这两个改编题，条件中只有一对线段相等，粗略一看好像不具备旋转图形的条件，但是可以通过添加辅助线的方法构造直角三角形的旋转将原先不规则的图形面积转化为规则图形的面积。一方面体现了旋转变换的在改变线段位置的作用，另一方面将研究的内容扩充到面积的计算.同样这两该改编题可以进一步引申和拓展，你可以发现图6中你能发现BC、CD、AD之间的数量关系吗？（2AD2=BC2+DC2 ）在图7中你能发现AC、BC、CD之间的关系吗？（AC=BC+CD ）

4.改变图形——重构旋转三角形

通过改编5已经发现，旋转不一定要在正方形中进行，正三角形中也经常可以借助旋转来解决，进一步可以探究出只要符合一定的条件均可以借助旋转来分析线段之间的数量及位置关系.

【改编6】

如图10，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长.

解法分析：此题的解法较多，但不管什么办法都是借助三角形的旋转将两条已知线段和所要求的线段长放在一个直角三角形中利用勾股定理来进行计算，求得CD=4.现将几种利用旋转的解法图形呈现如下（具体解题过程略）：

【改编7】

（1）如图11，点M、N分别是等腰直角三角形ABD的边BD上的点，∠MAN=45°，则MN、BM、DN满足MN2=BM2+DN2，请证明这个等量关系；

（2）如图12在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点D、E分别为BC边上的两点.∠DAE=30°则BD、DE、EC应满足的等量关系是 ；

（3）在△ABC中，AB=AC，当∠BAC=α，（0°<α<90°），点D、E分别为BC边上的两点.且∠DAE=0.5α时，BD、DE、EC应满足的等量关系是 .

解法分析：

第（1）题，跟改编3一样证明，第（2）题要将△ABD绕点A旋转60°至△ACF，连结EF，再证明△ADE≌△AFE，将BD、DE、EC放在一个三角形中，只是这时不是直角三角形，而是一个钝角三角形，此时可以通过作垂线段建立三者之间的关系得到DE2=EF2= EG2+FG2=EC2+BD×

CE+BD2 .

而第（3）题，更加一般化，同（2）可得DE2=EF2= EG2+FG2=EC2+

2BD×CEcosα+BD2.

【改编8】

如图13，在△ABC中，∠BAC=900，AB

解题分析：由于BP、PQ、CQ三者不在同一个直角三角形中，因此需要想办法通过图形的变换将三条线段转化到同一个三角形中，结合条件M为BC的中点，∠ C+∠B=90°，可以延长QM至Q′使得MQ′=MQ，连结BQ′和PQ′（如图14），相当于将△CQM绕点M旋转180°至△BQ′M，再证明PQ= PQ′，就将原先的三条线段转化到Rt△BPQ′中，从而得出BP2+CQ2 =PQ2.

改编意图：

除了正方形外，正三角形、等腰直角三角形中由于已知多条边相等和多个角相等，经常会用旋转变换进行线段之间的转化，同时有时条件中有中点时也可以构造旋转实现线段位置的转化，重建几条线段之间的关系.也就是说只要题目条件中出现几条边相等和几个角相等那么就可以考虑利用旋转变换来进行线段的移动使得几条不在一个三角形中的線段放到同一个三角形中，或者是几条不在一条直线上的线段放到一条直线上来，简单的说就是化“分散”为“集中”，化“折线”为“线段”。只要明确了这个目的，旋转的作用就得到充分的体现.至此关于此题的改编暂告一个段落。当然此题的进一步改编还有很多.先将有关的改编的主要图形及关系呈现如下：

三、对改编题教学思考

1.转化和化归是初中几何中的重要思想方法，一般来说三条线段之间的关系主要有和差关系（a+b=c）及平方关系（a2+b2=c2），不论哪种关系的获得都需把三条线段转化至一个特殊三角形或一对全等三角形中。在整个转化过程中，需要发挥图形变换的作用，这个包括平移、轴对称、旋转、相似等变换，在本文中还仅仅是巧妙的运用旋转变换来找到线段之间的数量关系。虽然通过了对原题的七次改编，如交换问题的结论和条件，增加、减少条件，变换问题条件等，但问题的本质仍然是没有变----通过旋转变换将三条线段变换到一个或一对特殊三角形中去.这样的改编训练，使学生更容易找到问题的本质，而不是迷恋于事物的表象，同时能让学生越来越全面地去看待问题。这将会培养学生的几何直观以及推理能力，这也是课程标准注重发展的两大核心能力。

2.通过本题的改编，告诉老师在实践教学中，要学会“借题发挥”，充分利用教材现有的资源进行挖掘改编，发挥教材资源的“再生”作用，这是教师发挥自己创造力提高教学活动质量的一个重要方面。教材的资源学生熟悉，也更贴近学生的实际，从教材出发进行引申和挖掘可以提高学生的学习兴趣，从而引导学生要重视对教材的再认识和再构建。另一方面也能让学生学会读题，通过联想书本中常用图形去寻找解题的策略，体会方法中的差异和联系，以达到“触类旁通”的教学效果。

3.老师在平常上课的时候，一定要让学生在解完一道书本习题之后去进行进一步的思考和改编。因为初步解析题目，只是让信息线性的输入了大脑，这时候还只是为进一步的网络化、结构化和丰富联系准备了基本的素材。事实上，真正能体现学习者主动创造性的是：将历时性的线性材料组织为一个共时性的立体结构。如果说，探索活动的思维过程常常带有自发的、实验尝试性特征的话，那么继续进行解题编题的思维活动就带有较多自觉的、理论提炼性的特征了.谁也无法教会我们解所有的题目，重要的是，通过有限道题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智。

参考文献

[1]罗增儒.成题改编-增加解题的层次 [J].《中等数学》，2005年第6期

[2]陈燕云. 初中数学课本例题、习题改编的思考与实践 [J].《中学数学教学参考》，2015年第z3期

[3]祝立新.重视一题多解 培养发散思维[J].《中学數学教与学》，2015年第3期

[4]《数学课程标准》 [M].北京师范大学出版社.2011年