学分制下微积分教学改革的探索

王锦玉 马庆华

(广东外语外贸大学 数学与统计学院， 广州 510420)

一、引言

微积分科学史作为认识和研究数学科学的一种综合性思维方法,近几个世纪以来,以其特有的潜能不断地发展,形成了系统的数学理论体系。揭示数学理论体系的形成和发展规律，对微积分科学史和现状探索总结,不但促进了数学研究的深入发展,而且能优化学生的知识结构,提高学生的科学素养,同时促进其它学科的发展。数学教育与教学的改革,在国内外都是一项极其重要的课题：近代微积分课程的教学内容、教学方法、教学体系等方面都出现过多种教学改革措施，然而在目前微积分教学中,在教科书方面往往只重视现成的科学理论及其逻辑叙述;在教学方面数学教师普遍存在着重知识的传授,忽视微积分的历史形成过程及思想方法的探析,以致课堂变得抽象枯燥单调,学生学习微积分的积极性不高,缺乏学习热情和动力。为了培养学生的数学思维能力，开发学生的智力潜能，激发学生的学习热情，应采用把微积分科学进化史、理论知识与思维方法相结合的方法,把微积分科学史融入课堂教学和教材建设中。

二、微积分创立的历史回顾

微积分的主要内容是微分学和积分学,是研究函数微分与积分性质与应用的一个数学分支，微积分的出现,促使初等数学向高等数学转变,是一个跨历史时代的标志。文艺复兴时期，几件事情深深地震撼了整个欧洲，一是文艺复兴的影响十分深刻和广泛；二是大量希腊古典作品的重现以及中国活版印刷术的传入，使知识的传播更加快速。此外中国发明的罗盘指南针和火药的引进，使得人们能远航探索了。火药从中国引进后，改变了原来的战争模式，防御工事的设计建造迫切需要研究抛射体的运动。由于农业、矿业、制造业以及各种贸易的相继发展，开始了一个新的经济时代。希腊知识和生活准则的复活带来了数学兴趣的复活，15世纪的欧洲普遍流传着希腊的著作，如当时已经被大众所熟悉了解的柏拉图著作，认为整个自然界是按照数学方式来设计的，并且这个设计被认为就是非常和谐优美的内部真理。而此时欧洲人则认为教会是建立在权威之上的,数学是所有人公认的唯一真理系统，数学知识是确定的，研究外部世界的主要目的是发现上帝给予它的理性秩序与和谐。这些都是上帝用数学语言向世界揭示的，所以人们把寻找真理的工作引向了数学。哲学家和科学家也从神学中得到启示，他们坚持这样一种观点——所有自然的现象不仅相互关联而且还按照一个通盘的计划运转。神学认为，上帝创造了宇宙和世界上的一切，上帝用数学方法设计了自然，上帝是最伟大的数学家，这激励了许多人去寻找自然的数学规律。从16世纪开始连续几个世纪，这个神学理论鼓舞了许多数学家的工作,所以文艺复兴时期的自然科学家也常被称为神学家，开普勒、伽利略、帕斯卡、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨等人都是科学家和神学家，因为他们相信上帝在宇宙的构建中把数学定律放在了他们身上。因此，他们坚持寻找自然现象背后的数学规律，而每一次自然规律的发现都被认为是为了证明上帝的智慧，而不是研究者的智慧。文艺复兴时期数学作出了重要贡献，几何透视法广泛应用于建筑、绘画等方面，这时期最突出的数学家是德国人正杜勒(Albrecht Durer),《圆规直尺测量法》就是他在几何方面的著作(吴贛昌，2008：3)。求出曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力是17世纪数学面临的四个核心问题，这是微积分产生的历史北景。实际上，在创立微积分之前的几百年,科学家是在对天文、航海等问题的探索研究中,从数学产生了一个基本概念叫函数，这个概念基本上处在当时所有的科学研究工作中的中心位置。当函数这个概念被采用后，很快就出现微积分，可以说,函数概念的采用是微积分发展中的又一重大创新。在17世纪，数十位数学家都在探索并围绕着解决上述提到的四个核心科学问题，事实上在牛顿和莱布尼兹在研究这些问题之前，微积分的大量基础预备知识已经积累形成,费马、艾萨克、巴罗、笛卡尔等人对曲线的切线及其周围的面积问题进行了研究，并取得了一些成果，但是他们都没有意识到它的重要性。在17世纪的前面70年，大部分的数学家对微积分的工作都沉没在一些无关紧要的细节里，作用甚微的繁琐的推理令这些数学家已经筋疲力尽,庆幸的是有几位清醒的大数学家意识到这个问题,知道解决问题的关键(张建梅，2011：81)，而对微积分贡献最大的其中两位科学家就是大名鼎鼎的牛顿和莱布尼兹。1665年牛顿初创了微积分，而莱布尼茨在1673—1676年间也发表了微积分的论著。因此，人们公认牛顿和莱布尼茨是各自独立地创建了微积分，牛顿-莱布尼茨公式成为了微积分基本定理。

三、当前微积分课程特点和教学存在问题的分析

被聘任为大学教学督导的多位专家，不久前深入调查了解在校大学生学习微积分的状况：对于大部分学生,微积分是抽象枯燥难懂,符号抽象,公式繁多,原理定理难明。能否将教学内容具体化、细节化和生活化,能否将复杂抽象的数学问题进行分解,能否用简明易懂的方式来表达和说明,是必要和关键。

1.教师应善于结合学生熟悉的事和物,激发学生学习数学的兴趣，让学生克服对数学的排斥和陌生心理,建立他们学好数学的信心,让他们体会数学的魅力。必要时把数学分解具体化，教师在讲授微积分中利用导数求函数的最大值和最小值时,可以将这个数学问题生活化, 多让学生思考,能否将实际生活问题设计为数学模型,将生活质量、学习效果看作数学函数;学习方法、生活方式、时间的分配、与同学的相处关系看作一组可变的自变量;不同的学习方法、时间的分配方式的不同、生活方式的选择、与同学能否友好相处等,都会影响学生的生活质量,改变学生的幸福指数和学习效果。因此教师可以让学生通过调整好一组自变量的取值, 提高学生的生活质量,使得幸福感最强,学习效果最佳,即求自变量取某一组值时,使学习效果的函数取得最大值。

2.教师要充分调动学生利用数学来改变自己的生活模式,提高学习效果和生活质量。将数学模型应用到实际问题中,将抽象难懂的数学具体化、形象化,可以发挥学生的想象力,求数学中的函数的最大值和最小值,实际上是将生活质量、学习效果最优化,将不良情绪和不健康的习惯最小化的问题。同时,又将生活实际问题数学化、数量化，学习的方法、时间的使用、生活方式的选择都是变数,看作一组自变量,它们将影响生活质量、学习效果。如果有不良的生活习惯,不善于管理时间,必然会影响身体的健康和学习效果及生活质量。将数学应用于生活实际问题,不仅让学生认识到微积分的作用,而且将抽象的数学具体化,同时促进学生更多的思考,充分发挥其想象力,其实正是因为实际问题是数学化和数量化的，所以我们需将实际的具体问题数学化抽象化,这也提升了学生的抽象思维能力。每当讲完抽象定理证明后,教师可以将学到的数学知识应用到实际情景中，这样能让学生适当放松，反应积极踊跃，产生乐于参与的教学效果。在讲到求函数的极值问题时，可以让学生自己发挥应用，可能会有同学这么联想:应当建立一个函数为学习效率，时间的分配为自变量,让自变量取值合适，函数学习效率取得极大值;还有将数学的极值问题应用于如何处理同学的关系，让同学彼此的关系更加快乐和融洽;甚至将数学问题应用于选择哪种生活方式和生活习惯，才能使自己更加健康,从而提高生活质量和幸福指数等等。总之，学生从抽象枯燥的数学内容中，也能体会到生活需要自律，与同学相处需要包容,时间需要利用管理好等等。老师可以看到，那些在课堂上无精打采的学生变得精神起来，认真地听着课，并做笔记,拍照电子版教案等。

3.教师要主动了解学生需求，适应学生需求，主动调整教学方法。其实,很多时候,学生不听课、与教师不配合是有多种原因，如教师讲课的内容太抽象,学生无法听懂,不能帮助他们,或者他们不知道这些数学内容有什么作用,以至于他们失去兴趣。教师要深入了解学生真实情况,发现存在的问题,了解他们的需要，并了解学生对数学掌握到哪个程度。教师在摸索和观察中学习如何去教学,不断在教学过程中发现新问题,再学习如何去应变,调整教学方法。如果教师能调整改进,学生也必相应在前进,教师不断在完善中,学生必在成长中。中国有一句名言:名师出高徒。可以形象地说,教师走在前,学生跟在后,一前一后,互相促进,相互影响和制约，有优秀的教师就必然能培养出优秀的学生。由此可知,教师的工作不是普通的,是有压力和使命的；其实有压力才有动力,教师有使命感,才能帮助和影响学生。

四、从微积分发展史得到的启发

在讲授微积分课程时,不能单纯讲授从定理到定理的理论过程,不然,好像微积分这门学科已经是完美无缺,不需完善的一个完整体系。实际上微积分的发展是科学家们长期努力的结果，汇集了不同的学科并一点点地积累起来。从17世纪当时实际应用的需要,微积分土壤的产生，到微积分基本方法的诞生，到微积分理论的形成，经过了几个世纪的时间。众多的数学家进行了探索和研究，其中杰出代表是两位数学大师：牛顿和莱布尼兹，他们在总结了前人成果的基础上，建立了微积分。大师们的研究成果并非是天衣无缝的完美，从理论上它还是不够严谨周密，直到19世纪柯西把极限作为工具才建立微积分理论严谨性。到了20世纪60年代初，鲁滨孙在前人的基础上创立了非标准分析,使微积分理论更加严格完善(王元明，2003：61)。从微积分发展过程中可以看到,任何科学研究理论都是阶段性的成果,在课堂教学中介绍微积分的发展史,有助于学生获得正确的理念，认识到在数学上取得的每一个成就，只是数学学科一个新的开始，总是有待修正、扩展和创造，需要不断再发展，没有止境。让学生清楚了解现阶段微积分学科已解决的问题、尚未解决的问题以及还处在需要完善发展的问题,鼓励学生探寻科学疑难问题的勇气,坚定学生追求真理的信念,培养学生发现问题和解决问题的能力,形成独立思考的习惯和科研的兴趣,并愿意主动投身于科学探索的研究工作中。

五、学分制下需用新思路进行微积分教材改革

现有的微积分教材大部分受传统教材编写方法的影响,在各个章节的内容安排编写上,几乎都是一样的格式，注重基本定义、基本定理以及对定律定理的证明,再加例题或解析论证,最后是习题。编写教材在形式上基本大同小异,方法上是千篇一律,教材里面的微积分内容枯燥无味,让学生敬而远之，难以激发学生学习数学微积分的兴趣。在这种情况学生下，学生掌握微积分学科史的知识也少得惊人,只知道定理的结论和证明,并不了解这些数学理论是在什么背景下产生,这些结果有什么意义，更不知道这个理论出现之前所经历的曲折的艰难历程。

所以微积分教材的改革应当把本学科的历史背景引入教材内容中,用一个非同寻常的独特眼光,按照激发学生的学习热情、启发学生学习动力的要求去编写教材。不仅告诉学生定理的结论和证明,也要告知学生这个科学结论是怎样的过程变化而来,让学生知道在形成科学理论所经历的挫折艰辛、科学发现的喜悦、科学家在此过程中的感受、科学理论争议中思维方法的摩擦火花的出现等等。阅读教材就要让学生亲临其境,回顾历史，体验过程,让学生从课本教材中获取知识,激发求知欲。编写教材的目标方向是让学生明白微积分学科的科学理论经历了怎样的胚胎发育经历,重在激发学生从已知领域迈向未知领域,善于探索,大胆质疑，积极追求科学创新,让学者对科学研究产生兴趣,让他们有热情和毅力去寻求最佳的学习方法,养成良好的学习习惯。

总之,微积分教材的改革急需把科学发展史理论引入教材建设中，运用新的理念进行教材的编写。在新教材中,不仅只是编写科学理论的结论,也需要将科学理论从萌芽到形成的变化,在科学理论形成过程中解决问题的经历、成功的欢欣、蒙受患难的壮烈、论争中碰撞的思想火花，都应编写入教材中。学生通过学习这样编写的微积分教材,才能有自己的情感体验来掌握数学知识,保持继往开来,乐于探索未知。让学生了解微积分发展历程,这不仅有助于掌握理论本身,更有助于启发学者向往探索未知的科学领域,积极开拓,独特思索,主动查究和实践……有这样的教材,才能让学生不只是了解一些抽象的理论,而且能认识和掌握科学理论的方法；才能让微积分教材不再是简单数学知识的复印本,而是一本科学数学知识的“复活书”。

六、学分制下需用新方法进行微积分教学改革

微积分的教学改革要培养学生对微积分学科的新方法、新观点有鉴别能力,要使微积分教学结合现有的数学学科理论,结合微积分的思想体系和发展历史,揭示微积分学科和发展变化的规律。数学理论中的定义、定理、推论,在它们成立过程中都要经历讨论、验证、论证和实践,而在实际的教学过程中,通常只注重现有的理论及其逻辑论证,甚少提及数学理论形成过程及其尚未形成系统理论的真实现状。为补救目前教学存在的这种缺点,如果能在微积分教学过程中，结合数学大纲的知识内容,运用数学学科史论,对涉及尚在萌芽形成过程的教学内容就进行科学分析引导,必能更有效地建立学生在数学科学研究中所需要的创造力和鉴别力。微积分教学改革需要培养能运用科学方法解决问题的创造性人才的能力,微积分教学必须既要结合当前发现的重大理论成果,也需结合微积分科学思想在数学家头脑中的个体发现过程,寻找杰出数学家在重要发现中所采用的创新性思维方法和研究方法。在现代微积分教学过程中,往往只探讨数学理论知识本身,未能顾及启发学生探求创新知识的方法,未来的微积分教学需要打破这种教学方法的局限性,把数学科学知识和生产数学科学知识的方法融合起来,使数学教学为学生提供创新性的科学研究方法,让学生获得创新性思想。

微积分教学改革需要培养出适合当今科学技术腾飞发展的社会需要的创新性人才。在如今这个知识不断更新的年代,一个教师如不及时补充更新知识,很快就跟不上时代步伐。因此，教师不仅需要不断更新知识，也需要具备多种能力,包括自学能力、创新能力、适用和应变能力,当然,更需要有使用各种新科学技术的能力。教师必须乐观、积极、主动、热情、热爱教学，数学教师也不例外。微积分教学改革既要吸收传统中优良的教学模式来培养人才,也要采用适合时代的教学方法，总之微积分教学改革需要因材施教：学生的个性爱好、天赋才能表现都不同,微积分教学不能用单一的方法，评价学生的方式也不能一个样。正如许多的科学家在他们少年时期一样,他们的天赋及背景都不同,但最终他们各自潜在的才华、能力都能充分地挖掘发挥出来，成功的途径似乎都相似,他们都被伯乐鼓励赏识。教师不是简单做教科书的“复印机”和科学知识的“传声机”,更不是宣判学生的学科成绩高低的“法官”；教师应该是传授专业知识的灵魂工程师,也是善于鼓励引导、赏识发现人才的伯乐。

七、学分制下须有新理念引导学生自主学习

微积分发展中的转折点是引入变量，从常量的研究转向变量的研究,有了变量，运动进入数学，有了变量,辩证法进入数学，然后产生了微分学和积分学,形成了微积分。由此可知学习微积分与学习初等数学的方法有本质的区别, 要学好该门课程，必须让学生建立理解好变量的辩证思维，使学生能够从静态思维方式转变为不断变化的思维方式，认识到学习功能关系的重要性，对极限的概念和方法有一个初步的认识，并且对静止与运动、量变与质变以及有限与无限等辩证关系有初步的了解；掌握极限概念和极限运算方法；使学生掌握一元微积分的基本知识、基本理论，培养基本解题运算能力；学会利用微元方法解决实际问题；激发和培养学生的空间想象力，锻炼数学空间思维。学生应系统地掌握好一元函数微积分、空间解析几何和向量代数的基本知识，掌握必要的基础理论和常用的计算方法，让学生最初接受到的是用数学方法解决几何和物理等实际问题的能力训练。同时，通过适当的作业和课后练习训练，逐步提高抽象思维和逻辑推理能力，为后续专业课程的学习奠定良好的数学基础,通过微积分的学习，使学生对数学概念的抽象性、逻辑的严密性、结果的确定性、应用的广泛性有了更深的了解和认识。同时要注意到微积分课是理论性较强的学科，由于教学时数有限，本课程的理论推证不可能太多，因此，课后学生必须通过做适量的练习，加深对概念和定理的理解，熟悉各种公式的应用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。独立思考,适当练习,善于梳理总结归纳,是学好微积分课程的重要手段。