Toeplitz算子的双稳定性

胡朝龙，王绪迪，闵 涛

(西安理工大学理学院，陕西西安710054)

在算子理论中，建立代数方法去解决其中的问题是一种十分重要的手段[1]。结合代数学中的模理论，Douglas和Paulsen[2]首先引进了Hilbert模的概念，之后学者们利用这一新的概念解决了许多算子问题[3-7]。随后，人们将代数几何和复几何运用到算子理论中[8]。其中，关于一些算子的约化性问题更是取得了许多实质性的进展[9]。

我们知道，对算子约化子空间的研究是一个十分重要的课题，这与von Neumann代数有着密切联系。记H是Hilbert空间，T是H的有界线性算子，称闭子空间M⊆H是T的约化子空间，如果TM⊆M且T*M⊆M。而约化子空间往往不能直接得到，需要建立一些特殊的方法去解决。

近年来，受文献[10～12]的启发，人们发现某些算子作用在Hilbert空间上会产生相应的分次结构，并且这种分次结构会对解决该算子约化性问题非常的有用。

(1)

并且有：

(2)

通过这一现象，文献[10～11]于2015年成功地利用分次结构的概念解决了该算子的不可约性问题，即Mz+αw是不可约的当且仅当|α|≠1。并且同样证明了该结果在双圆盘Hardy空间H2(D2)上的有效性[12]。

1 预备知识

1.1 加权平方可和序列空间

设ω={ω0,ω1,…,ωn,…}是一个正数序列，f为形式幂级数：

(3)

定义范数：

(4)

此外，设δ={δ0,δ1,…,δn,…}是另一个正数序列，对形式幂级数：

(5)

设p(z)是一个形式幂级数，在H2(ω)上部分地定义一个算子为：

(Mpf)(z)=p(z)f(z)

(6)

其乘法是形式幂级数乘法。

定义3Mp被称为符号为p的乘法算子。

性质3对任意多项式p，Mp是H2(ω)上的稠定线性算子。

(7)

即Mp的共轭。

1.2 分次S-模

在介绍分次S-模之前，先引进一些简单记号和概念。

定义5设H是一个Hilbert空间，A和B是H上有界线性算子，A和B的换位子[A,B]是指：

[A,B]=AB-BA

(8)

现令

其换位子为：

(9)

通过计算可得：

Cznwm=(φ(n)-ψ(m))znwm

(10)

其中n,m∈+，且：

(11)

[f](n)=f(n)-f(n-1)

(12)

在继续引进定义之前，先介绍一些符号。设A是Hilbert空间H的一族有界线性算子，F是H的任意子集，记[F]是通过F所生成的闭子空间，定义AF为：

AF=[{Af:A∈A,f∈F}]

(13)

定义6令T是Hilbert空间H上的一个有界线性算子，对每个整数n∈，定义：

(14)

同时，如果F是H的一个子集，则通过F产生T的约化子空间就等同于[∨n∈SnF]。若彼此相互正交，则有且有对任意n,m∈，

由上述现象可定义分次S-模。

定义7取定T，称一个Hilbert空间H是分次S-模，如果有：

(15)

且

SnHm⊆Hn+m，n,m∈

(16)

其中Hn是H的闭子空间。

此后，当H称为分次S-模时，这意味着H有一个齐次分解(式(15))。现进一步假设

如下新的定义扩展了文献[13]中的稳定性概念。

定义8称分次S-模H是稳定的，如果对每个整数n≥n0和非负整数m，成立SmHn=Hn+m。称分次S-模H是反向稳定的，如果对每个整数n≤n1和非负整数m，还成立S-mHn=Hn-m。既稳定又反向稳定的分次S-模就被称为是双稳定的，此时称T是双稳定的。

定理1若分次S-模是不可约的，则H是双稳定的。

证明：

由文献[13]可得，若分次S-模是不可约的，H是稳定的。接下来只需证明若分次S-模是不可约的，H是反向稳定的。

取

则有：

(17)

且

(18)

(19)

于是H是反向稳定的。

证毕。

Hn=[{zkwl:k-l=n}]

(20)

2 定理的证明

先证明如下引理，这是关于判断Hilbert空间中两个具有相似结构的子空间相等性的结果。

引理1假设H是Hilbert空间，{f1,f2,…}是H的一组正交基。令：

H1=[f1+f2,f2+f3,…]

(21)

和

H2=[λ1f1+λ2f2,λ2f2+λ3f3,…]

(22)

其中λ1,λ2,…是复数。则有：

a) dim(H⊖H1)≤1；

d) 存在某个H使得对所有λi≠0且有H1≠H2；

e) 如果H≠H1，则H1=H2当且仅当0≠λ1=λ2=…；

f) 如果H≠H1，则H1+H2=H当且仅当H2≠H1且H2≠0。

证明：

0=〈f,fi+fi+1〉=ci‖fi‖+ci+1‖fi+1‖

(23)

可取d使得对任意整数i>0有d=|ci|‖fi‖。由于f∈H，有：

(24)

将d代入式(24)得：

(25)

对于c)，如果存在某个λi=0，则ei⊥H2，因此H≠H2。由此可以看出，如果所有λi≠0，则c)的结果是b)的一个推论。

对于d)，考虑：

K1=[e1+e2,e2+e3,…]

(26)

和

K2=[e1+2e2,2e2+3e3,…]

(27)

则由b)，有H=K1。由c)，有H≠K2。

0=〈g,λifi+λi+1fi+1〉=(-1)iλi+(-1)i+1λi+1

(28)

由于H1≠0，可得0≠λ1=λ2=…。

对于f)，若H≠H1，由H1+H2=H可得H2≠0，假设H1=H2，则有H=H1矛盾。此外，如果H1≠H2且H2≠0，由H1的余一维性质，可得H1+H2=H。

证毕。

开始证明定理2。

定理2的证明：

(29)

当n≥0，Hn=[{zn+kwk:k∈+}]，此时可证得S1Hn=Hn+1。

当n<0，Hn=[{zkwk-n:k∈+}]，令考虑有四种情况：

显然，对于S1Hn=Hn+1，以上四种情况包含了所有可能。

对于a)，S1Hn=Hn+1成立。

对于b)，由引理1 a)可知：

(30)

(31)

因此S1Hn=Hn+1成立。

令Hn+1=[{zkwk-n-1:k∈+}]，对于c)，由：

(32)

和

(33)

并通过引理1 e)，可得到一系列等式：

φ(k+1)-ψ(k-n)=φ(k)-ψ(k-n-1)

(34)

其中k∈+。记Δ为相同的值，则Δ≠0且φ(k)=Δ+ψ(k-n-1)，k∈+。注意，Δ=0即d)。

又因为：

(35)

可得：

(36)

其中：

(37)

对于d)，Δ=0，此时重新记式(36)为：

(38)

令

则：

f(k)=f(0)+s(k)

(39)

其中：

(40)

然而，f(k)≥f(0)，得：

(41)

3 结 语

由此可知，对于一般的H2(ω,δ)空间，要从双稳定性达到不可约性，还需要关于单生成元的结果，后续将就这个问题继续进行讨论

最近，关于分数阶算子的模型有很多新进展[14-15]，这些模型和研究的典型问题将为分次模理论的研究提供一些新的思路。