量子气体中的输运行为*

张世忠

(香港大学物理系,理论和计算物理中心,香港)

输运测量是了解物质性质的一个重要手段.本文简单介绍最近在量子气体中实现的输运实验及其主要结论,包括在类似于介观物理器件中的Landauer输运和强相互作用费米气体中的自旋输运行为.我们着重讨论自旋动力学的特殊性以及其由于全同粒子相互作用所导致的特殊自旋扩散流的形式.

1 引 言

最近几年来,输运行为成为量子气体研究中的一个主要方向.这些研究主要集中在以下几个方面.首先是一般集体运动中的弛豫行为,比如说在谐振子势中呼吸模式的衰变和体积黏度的关系[1].这类实验关心的是体系的集体激发,测量的物理量一般是在势阱中密度平均之后的结果,因此其物理解释需要比较多的模拟.其次是类似于传统固体物理实验中的输运,比如说在磁势阱或者光晶格中电导以及自旋扩散的研究[2−9].量子气体的一个突出优点是它具有比较高的可控性和可调制性.实验中可以较容易地改变体系的相互作用,维度等等.尤其重要的是,利用光学控制,人们可以在比体系本征时间尺度更短的时间内调节体系的参数,从而为研究骤变现象提供了一个很好的平台.

2 量子气体的特殊性

相比于传统的凝聚态(包括电子气,液氦等),量子气体这种比较新的多体量子系统具有其特有的性质,从而也导致了一些特有的现象和问题[10−12].

在量子气体的研究中,我们一般关心的是处在电子构型基态上的碱金属原子,比如钠(Na)或者钾(K).这些原子之间的相互作用是由一个长程的范德瓦耳斯吸引势和一个强烈的短程排斥势所构成,如图 1.C6是范德瓦耳斯常数.对于这样的两体相互作用而言,我们可以定义一个特征长度,范德瓦耳斯长度r0,其大小可以通过平衡两体动能和相互作用能的大小来得到[9,10]

图1 原子之间的范德瓦耳斯吸引势和短程排斥势Fig.1.van der Waals attractive potential and short-range repulsive potential between atoms.

表1 冷原子物理研究中的三个不同区域Table1. Three different regimes in the study of cold atom physics.

在光晶格中,相邻格点之间的距离dL提供了一个新的长度尺度[16].对于现有的实验而言,一般.另外,单个光晶格可以近似为一个简谐振子势,其中.V0是光场势的幅度,是反冲能量.k 是光晶格相干激光的波矢.实验上可以通过控制V0的大小来控制单个光晶格势束缚的强弱.我们可以定义谐振子长度.一般而言,其对应的能量尺度给出光晶格中能带之间能隙的大小.如果,我们可以忽略激发能带的贡献.

在考虑非平衡态输运的时候,一个比较重要的问题是如何处理和描述粒子之间的相互作用.在平衡态,我们所关心的物理量不随时间变化,多体波函数在空间的分布以及关联也不随时间变化.在这种情况下,复杂的相互作用势可以由低能散射的几个参数来描述.具体而言,对于s-波散射的问题,两体相互作用可以写成[9,17]

3 量子气体中的输运实验

本文着重讨论类似于固体物理中的输运实验.我们大概可以将这类输运实验分成两类.一类实验关注类似于介观量子结构的特殊势场构型的输运行为.另一类实验注重于测量束缚在谐振子势场或者盒子势中的量子气体的输运系数.首先简单介绍前一类实验(详细介绍可参考文献[2]),之后再讨论后一类实验.

3.1 类似于介观物理器件的输运实验[2]

在这类实验中,玻色子或费米子被束缚在一个各向异性的谐振子势中.谐振子势的频率满足如下条件:.沿着 y 方向,一束蓝失谐的激光将原子团沿着x方向分成三部分:两侧未经扰动的原子和中间的准二维区域.一般而言,原子团在x方向的大小约为300微米,而准二维区域在x方向的大小约为50—60微米.沿着垂直于准二维区域的z方向上,谐振子频率可以达到3.9kHz.注意到准二维束缚区域的大小比起原子气体的所有特征长度都大.在这个范围内,束缚势导致的空间运动量子效果可以忽略,体系处于多通道区域.在进行类似电导输运实验的测量中,可以调节两侧原子的相对数目()来产生两侧化学势差:

同样在多通道区域,实验上可以通过再加上一个高斯激光束来调节在二维区域内的原子密度.由于在有吸引相互作用的费米系统中存在超流,这类调控显得更为重要.在保持温度不变的情况下,如果二维区域的原子密度比较低,体系处于正常态,实验上发现依旧满足指数形式衰减;当密度变大到使得体系处于超流状态时候,的长时行为不再满足指数衰减形式,反而呈现出残余震荡的迹象.另外的短时指数衰减行为被解释成由于涡旋的产生所导致的超流衰变,但是这还有待于进一步的研究.

在多通道实验设置的基础上,加上另一蓝失谐的激光系统,可以在原先二维区域制造出一个更窄的区域(量子点接触),大概5.5微米沿着x方向;沿着垂直方向的束缚非常强,有效的谐振子频率最高可达KHz,尺度大约 1.5 微米.在这种情况下,我们需要计入径向的量子化的后果.由于输运处于单个或少数几个通道的区域.通过改变的大小,实验上可以调节有效通道的数目.对于无相互作用或者弱相互作用费米系统,弹道输运给出量子化的电导G=n/h,n是费米面下的通道数目,h是普朗克常数.这在实验上被验证了.

对于强相互作用的费米系统而言,单通道下的输运表现出更有趣的性质.在超流态,实验上观察到约瑟夫森动力学过程以及多次安德烈夫反射导致的正常粒子流.在靠近超流温度的正常态以及较高温下,实验上测量到的电导随着的改变仍然表现出量子化的结构,但是量子化的值不再是之前的 n/h 的形式,而是,是一个依赖于温度以及相互作用的常数(不一定是整数).一类的理论解释认为这是在强相互作用下超流温度附近的涨落效应导致的[18,19];另一类解释认为在量子点接触处的强束缚导致原子密度较高,从而该处处于超流态.因为两边的量子气体仍旧在正常态,所以边界处的安德烈夫反射导致电导加强[20].

3.2 量子气体中的自旋扩散实验

下面着重讨论第二类输运实验.解释这类实验的一个复杂之处在于实验中的原子是被束缚在谐振子势中,所以一般情况下输运行为和谐振子势中的动力学过程是耦合在一起的.区分内秉的输运行为和谐振子势中的集体行为通常不是那么容易.在下面的讨论中,假设实验上的这些麻烦可以被适当的处理,而只讨论由于强相互作用而导致的内秉的输运行为.作为一个例子,我们将讨论强相互作用的费米系统中的自旋扩散行为[7−9].关于强相互作用费米子体系粘滞系数的行为请参见文献[21,22].

我们首先讨论二元流体中的扩散.假设体系中有两种原子,这两种原子的总质量分别为M1和M2,密度分别为和,速度分别为和.如果,扩散现象就会发生.设想一体积元,其质心运动速度为.对于单纯扩散行为,在质心系中两种原子的流密度可以写成.然而,宏观的观察告诉我们,扩散流密度的大小和密度的梯度成正比关系:

我们注意到对于纵向自旋流而言,它在自旋空间的方向和自旋密度是一致的,而在空间的方向则由自旋密度大小的梯度来决定.对横向的自旋扩散而言,事情就比较复杂了.我们首先注意到在自旋空间,横向自旋流和自旋密度方向是垂直的.这决定了在自旋空间,它可能的方向是或者

.具体计算发现[23],其中是一个新的参数(Leggett-Rice参数).最初上面的方程是在研究简并费米液体氦-3中推导出来的.其后的研究发现,这样的自旋流不仅仅描述简并费米液体里面的自旋输运,同时也描述了非简并量子气体中的自旋扩散行为(全同自旋旋转效应[24]).在后面一种情况下,它描述了由于全同粒子交换不变性所导致的自旋进动.具体物理可以由图2中描述的两体散射看出来[25].

图2 全同自旋旋转效应Fig.2.Identical spin rotation effect.

散射过程中,单个自旋会绕着总自旋s作进动.假设在散射过程中,改变,改变.那么.但自旋流因此改变了,

相应的微分散射截面可以写成

对于一般的扩散过程,玻尔兹曼方程给出如下形式的扩散系数

在上式中,v是平均速度.因为上面的讨论对纵向和横向自旋扩散都适用,所以我们先不区分和,而统一写成 D.在实际推导中,平均速度的定义并不是非常明确,而且上式中的系数也不是很确定的系数.但是扩散系数的量纲以及其随温度和相互作用的变化是可以由上面的表达式确定下来[26].考虑在简并温度之上,,粒子的平均速度,对于弱相互√作用体系因为自由程不依赖于温度,所以;在强相互作用下,,所以.在低温下,我们需要计入由于费米面的存在而导致的散射相空间变小,另外我们也不能使用高温时的粒子观念,而应该计入相互作用对粒子的重整化效果(朗道准粒子).最终的结果是;这样的温度依赖在低温朗道液体理论里是非常常见的.常数C在弱相互作用的时候还是和成正比;在强相互作用下,,它就是一个常数.从上面的分析可以看出,D随温度的变化是非线性的.高温以及低温D都是比较大.在温度的时候达到最小值.其大小可以由量纲分析得到

有的时候,大家认为由于海森伯不确定原理,D会有一个最小值:,因为自由程不能小于德布罗意波长.但是这类论证依赖于扩散系数的动力学表达式,而在自由程和德布罗意波长相当的时候,针对粒子或者准粒子的玻尔兹曼方程不一定成立,所以不是很有说服力.实验上的确发现在散射共振附近,扩散系数达到一个最小值,见表2.我们注意到二维纵向自旋扩散还没有被测量,另外实验给出的二维横向自旋扩散也存在相互矛盾,这还有待进一步实验研究.

表2强相互作用费米系统的自旋扩散系数Table2. Spin diffusion constants for strongly interacting Fermi gases.

如果需要更加精确地计算扩散系数和Leggett-Rice参数的大小,我们需要考虑碰撞积分的详细形式.从动力学理论我们可以得到的表达式[27,28]

需要指出的是,在散射共振附近的强相互作用费米子体系中,虽然以上计算和实验大概吻合,但是不代表这些动力学计算已经抓住了本质的物理.这主要有以下原因.第一,对于描述体系的自旋动力学的方程而言,它的形式在很大程度上已经由对称以及守恒律决定了,不依赖于动力方程的推导过程.第二,玻尔兹曼方程的出发点是体系有比较好的准粒子,但这对于处在共振附近的正常费米体系来说还是一个没有完全解决的问题.利用全像原理 (holographic principle),我们可以对一些无正常准粒子的体系进行一些初步可控的输运计算[29].

4 结 论

作为总结,我们想提一下最近在光晶格中的原子输运和自旋输运实验[3−5].这一类实验的主要目的在于模拟Fermi-Hubbard模型在低温乃至零温下的性质.这些冷原子模拟实验中的温度还没有达到超交换相互作用的尺度,因此输运行为可以认为是相对高温下Fermi-Hubbard模型的行为.一个比较值得关注的发现是在低参杂时出现类似于高温超导中电导和温度的线性关系[4],另一个是在高参杂的时候电导在强相互作用下的饱和行为[3].在冷原子体系,这方面的探索现在才刚刚开始,我们期待之后更多的实验和理论发现.