轨道Feshbach共振附近类碱土金属原子的杂质态问题*

石悦然 卢倬成 王璟琨 2）† 张威 2）‡

1）(中国人民大学物理学系,北京 100872）

2）(中国人民大学,光电功能材料与微纳器件北京市重点实验室,北京 100872）

近年来,碱土金属原子和类碱土金属原子体系的研究成为冷原子物理的研究热点之一.特别是最近在173Yb原子中发现的轨道Feshbach共振,使得研究有强相互作用的碱土金属和类碱土金属原子系统成为可能,极大扩展了此类原子体系的研究范围.本文介绍了173Yb费米气体在轨道Feshbach共振附近的杂质态问题.在此问题中,位于 态的杂质原子与处于基态的背景费米海相互作用,并在费米海表面产生分子态或极化子态.本文使用试探波函数的研究方法,首先对分子态和吸引极化子态进行介绍,并重点描述了分子态与吸引极化子态间的转变.其次归纳总结了排斥极化子态的相关性质,如有效质量、衰变率等.然后考虑双费米面情况,介绍在闭通道中引入另外一个费米面对系统产生的影响.最后简要介绍二维173Yb费米气体中的杂质态问题.

1 引 言

由于存在两个最外层价电子,碱土金属原子和类碱土金属原子拥有一些特殊性质,例如存在长寿命的原子激发态,以及可实现核自旋与电子自旋分离等,这使该类原子成为近年来的一个研究热点,并且已被广泛应用于精密测量[1−3]、量子信息和量子模拟[4−9]等领域的研究中.然而,由于类碱土金属原子的电子总自旋角动量为零,无法在此类原子体系中应用磁Feshbach共振技术.尽管已有实验利用光Feshbach共振技术来调控该类原子间相互作用,但这种手段会造成大量的原子损失[10−12].

最近,在173Yb原子中实现的轨道Feshbach共振(orbital Feshbach resonance,OFR),成功解决了上述难题,并极大扩展了在碱土金属和类碱土金属原子系统中进行量子模拟的研究范围[13−15].与碱金属中的磁Feshbach共振技术类似[16],OFR同样由开通道和闭通道间的共振散射引起,例如在173Yb原子中,开通道对应的是分别占据在态和态的两个原子,其中和态分别与电子轨道态和对应,和代表不同的核自旋态.闭通道则对应于分别占据态和态的两个原子.值得注意的是,由于电子总自旋角动量 J=0,核自旋和电子自旋不耦合,体系中的短程两体相互作用可以发生在轨道单态通道:或轨道三态通道:[7−9].因此,短程相互作用以开通道和闭通道为基时是非对角化的,并且可以将这两个通道以轨道间核自旋交换相互作用的形式耦合起来.此外,当存在磁场时,利用态和态间塞曼移动的不同,可以调节开通道和闭通道间的能量差[13,17,18].因此,当闭通道中的浅束缚态能量被调节至开通道两体散射阈值时,便会发生散射共振.2015 年,在理论研究中首次提出OFR方法[13],紧接着在173Yb原子中实验实现了该技术.之后对OFR的进一步研究表明:从普适性的角度来看,OFR是窄共振,而从磁场角度来看,OFR则是一个宽共振[19],后者决定了OFR在173Yb原子中易于实现.

OFR存在一个有趣的特点:两体相互作用势具有自旋交换属性,因此在多体领域的研究中吸引了许多科研工作者的兴趣[20−30].这其中,在 OFR附近的杂质态问题是一个很重要的研究方向.在碱金属原子体系中,磁Feshbach共振中的杂质态问题,也就是极化子问题,近年来已被广泛研究[31−42],这是由于:第一,可以利用简单的理论模型来对此多体系统进行精确描述;第二,利用对碱金属原子体系中杂质态问题的研究,可以模拟研究有强相互作用的量子混合系统中的相图,例如,利用极化子问题可以对巡游铁磁进行研究.在之前对杂质态问题的研究中,Landau[43]和 Pekar[44]提出,对电介质中传导电子的性质可以用极化子理论来解释.这个开创性的想法后来被Fröhlich等[45,46]和Feynman[47]进一步推导,他们将离子晶体和极性半导体看作由声子组成的背景粒子体系.其他还有一些著名的研究,例如在氦-4原子背景体系下,研究氦-3原子作为杂质粒子的杂质态问题[48],以及在金属中研究局域磁性杂质引起的Kondo效应[49].

超冷原子中杂质系统的成功实现,进一步引起了人们对该问题的研究兴趣.在超冷原子体系中,可以利用混合体系来实现杂质系统,其中数量较少的粒子为杂质粒子,而数量较多的粒子组成背景粒子,系统的性质与背景粒子的量子属性密切相关.实验中,背景粒子为玻色子[50−53]和费米子[31−33]的系统均已实现.在玻色系统中的杂质态问题可以看作是对 Fröhlich极化子的模拟[54−56].系统中杂质粒子动态性质的改变由其与玻色激发相互作用决定,在玻色凝聚中的激发为Bogoliubov粒子,而在热玻色气体中的激发为单粒子.当背景粒子为低温费米气体时,产生的费米极化子是Landau准粒子基本概念的典型再现.在冷原子系统中,可以在强相互作用区域内,用一个十分简单的理论模型来精确描述极化子的性质,这为增进对强关联系统的认识和理解提供了便利.进一步研究发现,在冷原子中,对只存在一个杂质粒子的系统进行研究,就能够得到有强相互作用的极化气体的精确信息.在这样的背景下,科研工作者在冷原子系统中针对杂质态问题进行了一系列的研究,例如:在有两种不同自旋轨道耦合的二维费米气体中研究杂质态问题[57];在玻色极化子系统中研究Efimov态[58];在有拓扑p波超流的一维准周期费米系统中研究极化子态[59];研究非零温和杂质粒子数密度为有限值对吸引极化子性质的影响[60]等.这些理论和实验研究揭示了强极化条件下多体系统中的物理性质.在有OFR的系统中,科研工作者们自然希望通过类似的研究得到此系统中的少体和多体性质.

本文结构如下:第2节首先对所关注的体系进行介绍;第3节和第4节分别介绍分子态和吸引极化子态在整个共振区域的性质;第5节介绍吸引极化子态到分子态的转变;第6节归纳总结排斥极化子态的相关性质;第7节在体系中引入另一个费米面,进而介绍双费米面情况下体系的性质;第8节简要介绍二维系统中分子态和极化子态的性质;最后对上述内容进行总结.

2 体系简介

图1 类碱土金属原子中的 OFR 能级图.杂质原子处于态,费米海处于 态.通过相互作用,杂质原子和费米海中原子会被散射到闭通道的两个态上. 和 是两个能级的塞曼移动Fig.1.Level diagram of an OFR.An impurity atom in thestate is immersed in a Fermi gas of alkaline-earth-like atoms in the state. and are the Zeeman shifts of the and manifolds,respectively.

3 分子态的研究

然后给出与试探波函数(4）对应的薛定谔方程:

其中的系数定义为:

通过将本征能量的解代入系数方程中,可以求得试探波函数方程(4）式中的系数.图2(c)描述了浅束缚态中波函数的分布情况.其中,闭通道部分随的增大而变大,并且在较大时成为波函数的主要部分,而波函数中的开通道部分呈现出与闭通道部分相反的变化趋势.此现象可解释为,当为一个较大的正值时,开通道在闭通道之上有很大的失谐,如图1所示,这导致开通道的部分可以被忽略.

图 2 (a),(b)分 子 态 的 能 量 随 和 的 变 化;(c)分 子 态 的 波 函 数 分 布 情 况;(d) 接 近 阈 值 能 量 的 分 子 态,在时的有效质量.引自参考文献[23]Fig.2.(a),(b)The eigenenergy in the molecular state varies with and ;(c)the wave functions'distribution in the open and closed channels;(d)the effective mass for the molecular state whose energy is closed to the threshold energy when .Reproduced from Ref.[23].

4 吸引极化子态的研究

极化子态的试探波函数可写为

其中,第一项对应于一个裸的杂质粒子态和未受扰动的费米海;第二项表示在开通道中,费米海表面存在一对粒子-空穴激发;第三项代表在费米海表面,杂质粒子与费米海中粒子相互作用并被散射到闭通道中的情况.

利用与上一节中计算分子态相同的方法,可以得到极化子态的本征能量方程为

通过求解(11）式和对应的系数方程,可以得到极化子态的相关性质.与分子态相似,在极化子态中,也存在两个低于阈值的能量解:一个解接近阈值能量,另一个解满足.其中,前者为浅吸引极化子态,后者为深吸引极化子态.本节关注浅吸引极化子态的性质.

在图(3）中,描绘了吸引极化子态能量、波函数分布以及质心动量时有效质量的变化情况.从图中可以发现,在 BCS 极限下,即是一个较大负值时,波函数主要是由裸粒子态部分组成,而在 BEC 极限下,闭通道部分为主要组成部分.开通道部分在共振点处,与闭通道部分相当,但随着的增大会降低.

5 吸引极化子态到分子态的转变

前面两节分别介绍了分子态和吸引极化子态的性质.将计算得到的两个态的能量放在同一张图中,如图 4(a)和图 4(b)所示,可以清晰地看到,存在吸引极化子态到分子态的转变,且转变点的基态为质心动量为零的吸引极化子态.另一方面,当时,系统基态变为质心动量为零的分子态.图4(c)中,描绘了转变点随粒子数密度的变化情况.从图中可以发现,随粒子数密度的增大而变大,这清楚表明,系统在共振点附近表现出的性质不具有普适性,体现出窄共振的特点.

6 排斥极化子态的研究

图3 (a),(b)吸引极化子态的能量随 和 的变化;(c)吸引极化子态的波函数分布情况;(d)吸引极化子态在 时的有效质量,图中发散点为 ,对应于 .图中参数与图2中一致.引自参考文献[23]Fig.3.(a),(b)The eigenenergy in the attractive polaron state varies with and ;(c)the wave functions'distribution in the open and closed channels;(d)the effective mass for the attractive polaron state when .Parameters here are the same as those in Fig.2.Reproduced from Ref.[23].

图4 (a),(b)分子态 (黑色实线) 和吸引极化子态 (蓝色虚线) 的本征能量随 和 的变化,吸引极化子态到分子态的转变发生在 和 处;(c)转变点 (黑色实线)和对应的转变能量 (红色实线)随粒子数密度的变化.引自参考文献[23]Fig.4.(a),(b)The eigenenergy of the molecule(black solid)and polaron(blue dashed)states vary with and .The transition point is around and ;(c)the transition point (black solid)and the corresponding energy (red solid)vary with particle density.Reproduced from Ref.[23].

7 双费米面情况下系统性质的研究

本节将介绍双费米面情况下系统的性质.此时体系如图7所示,处于激发态的杂质粒子与处于和态的费米海相互作用.同样利用轨道单态和三态作基,系统相互作用哈密顿量可以写为

图7 双费米面情况下,类碱土金属原子的 OFR 能级图.杂质原子处于 态,费米海处于 态和 态.通过相互作用,杂质原子和费米海中原子会被散射到闭通道的两个态上. 和 是两个能级的塞曼移动Fig.7.Level diagram of an OFR,which has two fermi seas.An impurity atom in the state is immersed in a Fermi gas of alkaline-earth-like atoms in the andstates. and are the Zeeman shifts of the andmanifolds,respectively.

然后,利用研究单费米面体系相同的方法,可以得到双费米面系统的相关性质.

7.1 分子态与吸引极化子态

图8 质心动量为零, ((a)), ((b)), ((c)) 时,分子态和吸引极化子态的本征能量随 的变化;(d)吸引极化子态到分子态的转变点随 的变化,其中,黑色实线为计算得到的转变点,红色点划线为费米能级 .引自参考文献[30]Fig.8.The eigen energies of molecule and attractive polaron states vary with when and(a) ,(b) ,(c);(d)the transition point varies with ,where the black solid line represents and the red dashed-dotted line is the Fermi level .Reproduced from Ref.[30].

接下来介绍分子态和吸引极化子态波函数分布受外加费米面的影响.比较图9中和的情况可以发现,除了存在能量移动,波函数的整体结构都十分类似.从图中可以看出,在分子态和吸引极化子态中,在小于零的区域,开通道部分为波函数的主要组成,但在大于零的区域,闭通道部分占据主导.另外也可以发现,在吸引极化子态中,当开通道失谐较大时,裸杂质态部分消失.这些发现与前几节讨论的单费米面情况相似.

7.2 排斥极化子态

接下来讨论双费米面体系中排斥极化子态的各项性质.图10描绘了在等于不同值时排斥极化子态的准粒子残余、有效质量和衰变率随的变化情况.从图10(a)中的准粒子残余和图10(b)中的有效质量曲线可以发现,随着的不断增大,排斥极化子态的准粒子残余和有效质量均趋于一个定值,这意味着随着的不断增大,排斥极化子态将变为一个满足和的裸杂质粒子态,且杂质粒子与费米海相互作用极弱.此外也发现,在单费米面,即时出现的非解析行为,将随着闭通道中费米面的出现而变得模糊并最终消失.在单费米面时已经介绍过,这种非解析行为的出现由类似共振行为引起.当失谐满足能量-动量守恒时,一个通道中的原子会被共振散射到另外一个通道中.当闭通道为空,即时,这种共振现象最为显著.当闭通道中存在另外一个费米面时,这种非解析行为会发生移动,以此来抵消闭通道中引入费米面后带来的能量移动.同时由于存在相互作用,费米面以下的态不再被完全禁戒,最终导致非解析行为变得模糊,进而消失.图10(c)描绘了在等于不同值时衰变率随的变化情况.从图中可以看出,对于等于不同值的情况,除了另一个费米面所带来的能量移动,衰变率的整体变化行为都十分相似,且与单费米面时性质定性相同.

图9 (a),(c)分子态的波函数分布情况;(b),(d)吸引极化子态的波函数分布,此时质心动量为零.(a) 和 (b) 中, ,(c) 和(d) 中, .引自参考文献 [30]Fig.9.The fractions of wave functions for molecule((a),(c))and attractive polaron states((b),(d))with zero center-of-mass momentum.The parameter in this figure is for(a)and(b), for(c)and(d).Reproduced from Ref.[30].

图10 (a),(b)在 等于不同值时,排斥极化子态的准粒子残余和有效质量随 的变化情况.图 (a) 中的插图描绘了吸引极化子态的准粒子残余随 的变化情况.图中,当 时出现的非解析行为发生在 处;(c)排斥极化子态的衰变率在 等于不同值时随 的变化情况.引自参考文献[30]Fig.10.(a),(b)The quasiparticle residue and the effective mass vary with for different values of .The obvious kink structure when appears near .The inset of(a)is the residues for attractive polarons;(c)the decay rates vary with for different values of .Reproduced from Ref.[30].

8 二维系统中杂质态问题的研究

本节将介绍二维173Yb费米气体中的杂质态问题.实验上,一般通过在-平面添加频率较弱的简谐束缚势阱,同时在轴方向施加强束缚来实现二维体系[67].为了与实验研究有可比性,在二维系统杂质态问题的计算中,设定轴方向的束缚频率满足,其他参数与前面讨论的三维体系相同.利用与研究三维系统相同的方法,可以得到二维173Yb费米气体中分子态和极化子态的性质,以及外加费米面对体系的影响.

图11 (a)-(c)二维系统中,质心动量为零, ((a)), ((b)), ((c))时,分子态和吸引极化子态的本征能量随的变化;(d)吸引极化子态到分子态的转变点随 的变化,其中黑色实线为计算得到的转变点,红色虚线为费米能级 Fig.11.The eigen energies of molecule and attractive polaron states vary with when in a two-dimensional system and(a),(b) ,(c) ;(d)the transition point varies with ,where the black solid line represents and the red dashed line is the Fermi level .

图12 二维系统中 等于不同值时排斥极化子态的衰变 率 随 的 变 化 情 况Fig.12.The decay rates of the repulsive polaron state in a a two-dimentional system vary with for different values of .

9 结 论

本文介绍了利用试探波函数的方法来研究由类碱土金属原子173Yb组成的费米气体在轨道Feshbach共振附近的杂质态问题.

对比质心动量为零时的分子态和吸引极化子态的本征能量可以发现,随着的变化,系统中存在由吸引极化子态到分子态的转变.当小于转变点时,系统的基态为吸引极化子态,而当大于时,系统基态变为分子态.同时研究发现,会随着系统粒子数密度的增大而变大.这一普适性的缺失说明OFR是一个窄共振.

然后讨论了排斥极化子态的性质.排斥极化子的本征能量高于阈值能量,且伴随着的变化,排斥极化子态会与其他态发生耦合.在排斥极化子态的准粒子残余和有效质量中均存在明显的非解析行为,这可以定性解释为由类似于共振散射行为引起.同时,研究发现当开通道与闭通道近简并时,排斥极化子态的衰变率最小.

最后讨论了二维173Yb费米气体中的杂质态问题.通过对比发现,二维体系中分子态和极化子态的性质与三维系统类似,例如存在吸引极化子态到分子态的转变,排斥极化子态的衰变率在两个通道简并时存在最小值点,以及引入另一个费米面会引起能量移动等.但与三维系统不同的是,二维系统中费米面附近的涨落较大,会产生更为显著的多体效应.