借助几何直观理解问题 构建直观模型解决问题*——浅谈学生直观想象素养的培养

☉江 苏 省 太 湖 高 级 中 学 周德明

☉江苏省无锡市滨湖区教研发展中心 王华民

数学学科核心素养是《普通高中数学课程标准（2017年版）》课程目标的集中体现，其中直观想象是六个核心素养之一.直观想象是指借助几何直观和空间想象来感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.直观想象包括“直观感知”和“空间想象”两部分.直观是指通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识；几何直观主要是指利用图形描述和分析问题［1］，徐利治教授认为几何直观是指借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知.本文的讨论侧重于几何直观方面，通过建立形与数的联系，借助几何直观理解问题，构建直观模型探索解决问题的方法.

一、建立数与形的联系，引导学生增强数形结合、数形转化的意识

直观想象的载体是图形，数和形是数学研究与学习的基本对象，相对而言，形直观而数抽象.正如华罗庚先生所言：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”向量是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础.向量的数量积具有代数形式与几何形式双重身份，而解析几何本身就是数形结合的产物.因此，向量和解析几何试题的结合是非常自然的.

问题1设点P是圆O：x2+y2=16上的任意一点，EF是圆M：x2+（y-2）2=1的任意一条直径，求的最大值.

解析：这是一道解几背景的向量数量积的最值问题，如图1，一般应从向量数量积的代数和几何特征加以分析、求解.

图1

（代数角度）根据数量积定义的坐标表示：a·b=x1x2+y1y2，设点P的坐标为（x，y），E（m，n）.因为EF是圆M：x2+（y-2）2=1的任意一条直径，则

由于m2+（n-2）2=1，即y）在圆O上，则所以4y.又因为-4≤y≤4，故的最大值为35.

（几何角度）在△PEF中，PM为边EF上的中线，运用向量加法的三角形法则，得，将代入，化简得

观察图形，利用“三角形两边之和大于第三边”和两圆的位置关系的性质，得，当且仅当P、O、M三点共线时，|PM|取得最大值为6.

评注：代数法是抓住数量积定义的坐标形式，从数的角度进行推理运算，有一定的运算量；而几何法则是充分利用图形的结构特点，从向量加法的三角形法则出发，将所求数量积转化为|PM|2-1，结合图形，利用“三角形三边关系”和圆的几何性质处理，简单、流畅，凸显了几何法的优越性.当然，上述解答也可先从几何角度出发，得（*），再从代数角度求解，设P点为（x，y），则，下面同代数法.

教学启示：新课标指出，要突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟知识之间的关联.上述两种不同视角是对数量积问题处理的通性通法，本题几何法优势明显.在解析几何与向量的解题教学中，可优先考虑用“形”解，借助图形、利用几何性质，往往比较简洁.笔者认为解决数学问题有两个基本视角——数和形，以形助数或以数解形.从课堂教学反馈来看，部分学生虽有数形结合的意识，但意识不强，因此要通过问题分析、学生谈感悟等途径，引导学生增强数形结合、数形转化的意识，以加深对数学整体性的理解，培养学生的直观想象素养.

二、借助几何直观使抽象问题形象化，促进学生理解概念、建构数学

由于几何直观主要是依托图形来描述问题，然后进行数学思考和想象，因此需画图在前，分析在后.图形也包括函数图像、数据表格和具体情境等.教学中，借助几何直观，使抽象问题具体化、形象化，促进学生理解概念、建构数学，为想象提供更高的平台和起点.

1.借助直观图形，帮助学生理解函数概念，建构性质

函数是现代数学中最基本的概念之一，是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，其贯穿于整个高中数学课程，但函数的概念比较抽象，学生不太理解学习它的必要性.函数概念已经有了初中阶段的“变化说”，为何在高中要学习“对应说”呢？学生一头雾水.笔者认为通过画出图形，举例说明来学习函数，可以起到事半功倍的效果.第一步，请同学们回忆初中的函数概念（略），函数的三种表示——解析式法、列表法和图像法.第二步，画出下边两个图形，并提问：图2、图3是不是函数？通过观察图像可以清晰发现，x在变化，但y在某一个范围内是不变的，按原来的函数观点解释，有点牵强，因此有必要对函数的定义进行拓展、修正与完善.第三步，出示两个对应的集合图，如图4，教师简要说明后，让学生概括出函数的定义，并完善（定义略）.

图2

图3

评注：教师通过举例、两次画图，让学生感知到具体的图形、具体的函数，看得见摸得着，一目了然，使抽象的函数具体化，学生更容易理解.类似地，指数函数对学生而言是一个全新的函数，学习指数函数的性质，是通过画两个特殊的指数函数的图像，并用《几何画板》演示不同底数a对图像的影响，得出两类指数函数的图像，而图像可以直观地反映出指数函数的性质：在x轴上方过定点（0，1）和a＞1、0＜a＜1时函数的单调性等.

2.借助直观情境，探求等差数列前n项和公式

在等差数列前n项和公式的教学中，一位骨干教师创设了下面两个问题情境：

情境1：苏教版必修5P40的一道探究题（上一课作业题12）：1934年东印度（今孟加拉国）学者德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：

（1）每一行有何特点？每一列有何特点？

（2）“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？

学生回答后教师出示问题1：求这个“正方形筛子”第一行的前100个数之和？求这个“正方形筛子”第一行的前n个数之和？

明确目标：求等差数列前n项和的问题.

情境2：教师用ppt出示钢管实物图（如图5）：这是某仓库堆放的一堆钢管，纵截面如图6所示，则这堆钢管的总数有多少？

图5

图6

问题2钢管图形给我们什么信息？这是一个关于什么的数学问题？

学生不难得出：最上面一层有4根，下面每一层比上一层多一根，最下面一层有9根，这是一个求等差数列前6项和的问题.9，共有6层，从而钢管总数为

再推广到一般Sn=a1+a2+a3+…+an，得出倒序相加法（略）.

评注：创设的两个问题情境，一个是由一道作业题（数表）引出等差数列的求和问题，是从解答数学问题的需要上来创设的情境，比较自然；另一个是课本上的一道钢管总数问题（实物），从图形的直观性上，学生看出钢管数据之间的关系，从高斯求和联想到倒序拼接，以此归纳出等差数列求和的倒序相加法.这是借助数表和实物两个几何直观来帮助学生理解等差数列求和公式的形成过程.

教学启示：对于函数、导数、数列等问题，借助函数图像、数表、实物等几何直观，既有助于学生理解概念，建构数学结论（公式、定理、性质），也有助于学生借助函数图像，架起方程、不等式通往函数的“桥梁”，得出不等式的解集，还可从变换的视角将复杂函数“看”简单.因此，要通过训练让学生感受图形的力量，可以通过经常画简图以达到熟练地看图说话、借图表达、借图探究的目的，从而培养学生主动用图的意识.有时借助《几何画板》等数学软件的动态演示，会使图形更形象、更直观，学生也更容易弄清问题的本质.

如何求和呢？有的学生联想到高斯求和法.教师肯定后，引导学生从几何图形角度去处理：在这堆钢管旁边倒放着一堆钢管（如图6），每层的钢管总数都等于4+

三、构建直观模型使复杂问题简单化，帮助学生拓宽思路、提升能力

数学家黎曼说过：“每一个数学公式背后都有一个反映其本质的几何模型.”其实，许多代数问题的背后都有一个几何模型，有的模型是隐性的，不易发现，需要凭借一双慧眼，通过想象，挖掘其几何意义，构建直观模型，才能使复杂问题简单化，最终寻求解题突破.

1.构造特殊的几何图形，利用直观模型解决问题

由于向量有着丰富的几何背景和几何意义，向量及其运算的工具性贯穿于高中数学教材体系的不同内容和不同问题之中，因此要理解向量运算的几何意义，构造几何图形，以发挥向量几何直观的优势.

问题3（无锡市高一期末测试题12）设向量a，b满足|a-b|=2，|a|=2，且a-b与a的夹角为则|b|=______.

解析1：从代数运算角度考虑（略）.

解析2：从向量几何意义角度思考，画出图形，如图7，这三个向量构成一个等腰三角形，且一个角为60°，则该三角形为等边三角形，故|b|=2.

图7

评注：这是笔者所教高三“向量复习课”的一个真实案例，教师在出示问题3后，大部分学生想到了解析1会有一定的运算量；解析2是夏同学自告奋勇上讲台，通过构造图形来解决的，赢来了一片掌声，夏同学很兴奋.通过举手反馈，该班能想到构造法的寥寥无几.

教学启示：史宁中先生认为“直观不是‘教’出来的，而是自己‘悟’出来的，这就需要积累经验”.夏同学能够借助想象，构造出一个三角形解决了问题，说明他直觉思维能力强，对平面几何中特殊三角形的判定和性质很熟练.“构造”是培养创新思维的重要途径，如何让夏同学的一点“星火”燎原呢？学生的几何直观虽有先天成分，但高水平的几何直观的养成，则需依赖于个体积极参与到几何活动中.在向量、解析几何的教学中，要积极引导学生养成主动想图、作图和用图的习惯，注意联想几何图形的形象关系；在函数、数列的教学中，要挖掘符号背后隐含的图形信息，学会“看”出思路，“看”出简洁，积累方法和经验，鼓励构造，这样不但有利于探索解决问题的思路和预测结果，还有利于培养学生的创新思维和直观想象素养.

2.挖掘隐性的几何模型，利用轨迹思想解决问题

虽然解析几何的基本思想是用代数方法来研究几何问题，但仍需强调图形的重要性，包括图形的观察，特别是运动变化中的不变性，抓住几何特征去思考，或挖掘动点的轨迹，利用轨迹思想去解决.有的代数问题需要挖掘其背后的几何意义，而且利用几何模型来探索思路往往简单易行.

问题4（无锡市高二期末测试题14）已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2-2x+4y-4=0（C为圆心）的周长，过点P（6，9）作直线l：（2a-b）x+（2b-c）y+（2c-a）=0的垂线，垂足为H，则线段CH长度的最大值是______.［2］

解析：这道压轴题涉及到直线与圆，是高考考查的C级要求，但得分率很低（仅0.1）.由直线始终平分圆的周长知，直线过圆心C（1，-2），故a+c=2b.因直线l含有较多字母，不妨消c，得l：a(2x+y-3)+b(4-x)=0.由2x+y-3=0且4-x=0，得直线l过定点Q（4，-5），而接下来学生的思维受阻.因为线段CH的变化是源于垂足H的变化，故可以挖掘隐含的“轨迹”信息，由P，Q为定点且∠PHQ=90°知，动点H的轨迹是以PQ为直径的一个圆，计算得圆心D（5，2），半径，所以，因此可以求出线段CH的最大值为

评注：本题含两个变量x，y，三个参数a，b，c，运用了消元、轨迹的思想和对称、配方的方法，综合性较强.从学生反馈来看，直线过定点的隐含信息尚有四成的学生能发现，但“隐圆”的信息仅有几位学生发现.

问题5（2012盐城二模·14）若实数a，b，c，d满足，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为_____.［3］

解析：本题用代数符号表示，含四个变量，许多学生不知所措，需要挖掘代数符号的几何意义.条件式背后的几何意义是动点（a，b）在曲线a2-2lna=b上，动点（c，d）在直线3c-d=4上.目标式背后的几何意义是两点间距离的平方，不难得出该问题的几何意义是曲线y=x2-2lnx与直线y=3x-4上（各取一点）两动点距离的最小值的平方，则转化为一个常规的问题，通过对曲线求导，得切点（2，4-2ln2）到直线y=3x-4的距离，从而求出最小值.

评注：这道难题的解答过程能变得如此简洁、流畅，是源于想象出了代数问题的几何背景，用解析几何的视角来解决，揭示问题的本质：求两条曲线上（各取一点）两动点距离的最小值的平方.

教学启示：类似于问题4的试题频频出现在高考和竞赛题中，如2000北京春季高考题22，2008年江苏高考题13，第十届美国数学邀请赛试题等，它具有一定的普遍性，都是挖掘代数符号的几何模型——圆（动点的轨迹），再利用圆的相关性质求解.而且有些看似与轨迹无关的取值范围问题，只要充分挖掘其潜在的几何意义，求出方程、判断轨迹，就可以发现解题思路.问题5构建了“直线与曲线”的模型.当然，根据解决问题的需要，还可能构建其他几何直观模型，如椭圆（2011年高考重庆卷），三点共线（苏北四市高三调研试卷）等.这些问题都是通过想象、挖掘，构建出几何模型，使得复杂问题简单化，抽象问题形象化.然而“轨迹”思想和隐性信息的挖掘却是不少学生的软肋，需引起师生的重视，既要有挖掘隐性信息的意识，也要熟悉高中数学中常用到的直线、圆、椭圆等轨迹，借助模型的几何性质来解决问题，进而发现数学规律，培养学生分析、解决问题的能力.能给出基本不等式的几何解释吗？”其实这个模型也是基本不等式的几何直观模型，天平秤以及实验数据也是几何直观，有助于学生感受、理解基本不等式.遗憾的是，受题海战术的影响，日常教学对该情境不够重视，仅让学生课后看看.

新课标指出直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.需要指出的是，有的几何直观是借助经验、观察、类比所产生的对事物关系的直接感知，其正确性还需要通过逻辑推理的严格证明.在直观想象核心素养的形成过程中，学生能进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形直观和空间想象来思考问题的意识，提升数形结合的能力，从而积累活动经验，感悟事物的本质，培养创新思维.从本文分析可见，在高中数学教学中，培养直观想象素养还须注重“自然性”，从平面到空间，从数到形，不是一个过渡而是一次飞跃，是自然而然的质变［4］.要做到“随风潜入夜，润物细无声”的境界还有很长的路，随着各地新课标的实施，教育工作者会越来越重视学科核心素养，今后的高考也会逐步加大对核心素养的考查力度，所以数学教师要立足于课堂主阵地，潜心研究数学核心素养.任务是艰巨的，但前途是光明的，值得我们为之做出不懈的努力.

我们注意到，人教版、苏教版等很多教材的编者都比较重视几何直观素养的培养，譬如苏教版的“基本不等式”，开始就给出了“天平秤”实物和一组实验数据，之后出示一个“半圆模型”（如图8），最后提出思考题：“你