数学语言对关键年龄期儿童思维发展的促进作用

裴红星

[摘 要]小学生的数学思维是从以具体形象思维为主要形式向以抽象逻辑思维为主要形式过渡的。这里的过渡通常以10～11岁为转折点，称为“关键年龄期”。在这个关键年龄期，教师的引导对学生的思维发展起着重要的推动作用。数学思维的发展离不开数学语言的同步发展，学生准确灵活地掌握了数学语言，就等于拥有了用于数学思维、数学表达和交流的工具。因此，丰富学生的数学语言系统，提高学生的数学语言水平，对发展学生的数学思维有重要的现实意义。

[关键词]数学语言;思维发展;关键年龄期

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）05-0055-03

思维品质、思维能力和创新精神的培养是实施素质教育的核心。这样的人才培养目标要求我们在继承原有教育教学优点的基础上，要着力培养学生的自主思维、批判精神和创新意识。数学思维的发展离不开数学语言的同步发展，学生准确灵活地掌握了数学语言，就等于拥有了用于数学思维、数学表达和交流的工具。丰富数学语言系统，提高数学语言水平，对发展学生的数学思维、数学能力和核心素养有重要的现实意义。

一、数学语言及其分类

数学语言是表达数学思想的专业语言，具有抽象性、准确性、简约性和概括性等特点。数学语言可分为文字语言、符号语言和图表语言三类。文字语言是数学化了的自然语言。自然语言常具有模糊性，而数学语言是严谨的，容不得一点含糊，因此数学中的文字语言是非常简炼，指向明确的。符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是人类在数学学科长期发展过程中形成的一种语言表达形式。图表语言是指包含一定数学信息的各种图形或表格，它们是数学形象思维的载体和媒介，也是抽象思维的一种表现形式。图表语言是一种直观性语言，是对前两种语言的补充。

二、关键年龄期儿童的思维特点

小学低年级学生的数学思维具有明显的形象性，与具体事物或其生动表象联系紧密，而高年级学生则已逐步学会区分概念中的本质与非本质属性、主要与次要的因素，学会掌握初步的科学定义，学会独立进行逻辑论证。当然，这种思维活动仍然要与直接、感性的经验联系在一起，具有很大成分的具体抽象性。教师应对学生思维发展的特点有明确认识，在日常教学中有意识地培养和发展学生的思维品质，推动学生的数学思维顺利实现过渡。

三、聚焦关键年龄期儿童的思维发展的几点做法

1.多种数学语言表达，促思维广度发展

三种数学语言各有优势和不足：文字语言通俗易懂，但描述起来是线性的，不易表露知识的内在结构;符号语言比较抽象，但十分简洁，给人以结构感;图表语言比文字语言和符号语言更直观，易形成表象。

在日常的课堂学习和交流中，学生多用文字语言来叙述，用符号语言和图表语言表达的学生较少，特别是低年级学生。这就需要教师在教学中有意识、有计划地示范、渗透和指导各种数学语言表达的方法，但任何一种数学语言的习得，都必须建立在学生自身建构的基础上。教师的任务就是创造良好的教学环境，相机引导，帮助学生完成这样的建构。

例如，在教学“认识小数”时，教材上有一段概念教学：“我们以前学过的表示物体个数的1、2、3……是自然数，0也是自然数，它们都是整数。”概念中同时提到了自然数和整数，但没有明确地说出两者的区别与联系。这是因为三年级的学生还没有认识负数，所以教材在表述上只能比较含糊。我让学生举例说明：“我们学过哪些数？这些数之间有哪些联系？”这时有学生提出：“我们学过了1、2、3、4……这样的整数，整数也可以说成是自然数。”我马上意识到学生已经区分不清这两个概念了，于是我做思考状复述：“整数也可以说成是自然数，那整数和自然数就是同一个意思？它们有区别吗？”停顿片刻，有学生举手：“老师，我知道还有比0小的负数。-1、-2、-3……它们也是整数。”他一说完，教室里立刻活跃起来，很多学生也迫不及待地说他们也知道有负数。我趁热打铁追问：“那负数是自然数吗？”有一部分学生迟疑地看着我，也有学生不假思索地说：“是。”我知道仅凭学生现在的认知能力很难区分这两个概念，但不说清楚又会给学生留下错误的第一印象，于是我这样引导：“我们再来仔细读一读这个概念。读的同时，请注意‘表示物体个数的1、2、3……是自然数，也就是说，自然数是用来表示物体个数的。因为0表示一个物体也没有，所以0是最小的自然数，而负数不能用来表示物体个数，所以负数不是自然数。但-1、-2……这样的负数确实是整数。”边说边板书：

听完讲解，学生有的豁然开朗，有的半信半疑，还有的仍然一头雾水……显然，相當一部分学生还没有真正区分清楚，于是我说：“现在，谁能再来说一说整数和自然数之间的关系？”生1：“有的整数是自然数，有的整数不是自然数。”生2：“整数的范围大，自然数的范围小。”生3：“自然数是整数的一部分。”生4迫不及待地说：“自然数是特殊的整数。”经过相互启发式的语言表述，学生对两者的关系有了更清晰的认识。我顺势引导：“你们能用一幅图来表示整数和自然数之间的关系吗？小组讨论一下。”讨论过后，学生呈现了三幅作品（如图1、图2、图3）。

图1显然是受教师板书启发的结果。图2是学生联想到了长方形和正方形的关系而画的。由此可见，学生以前积累的图形语言经验在起作用，这样的联想也是非常有效的学习方法。图3是学生想到了昨天学的数轴，自然数是从0开始的，一直往右延伸，而整数还有比0小的负数，所以还可以从0往左延伸。最后，我要求学生用文字语言描述整数和自然数的关系，学生的表达明显更流畅了。

在这个例子中，学生对概念的理解从混沌到清晰，数学语言的表达从单一到多元。文字语言的表达比较抽象，而图形语言的表达更直观，能给学生留下深刻印象。在对比两种数学语言的过程中，学生思维的深刻性不断加强，思维的灵活性也得到了发展。学生对图形语言的表达有着天然的亲近感，这为学生进行知识的迁移、联想提供了良好的媒介，有效拓展了学生思维的广度。

2.提炼数学语言表达，促思维深度发展

数学教学应当引导学生学会透过现象看本质，全面地思考问题，养成追根究底的习惯。因此，教师应引导学生观察比较，发现并提炼规律性的知识;在学生用数学语言表达自己的发现或理解时，教师要关注学生数学语言表达的准确性，及时纠正表达中的错误，提高他们数学语言表达的精度。

例如，教学“一个数乘整十数的口算乘法”时，教材安排了两组对比练习：

（1）20×3     3×50          40×5           6×70

（2）20×30        30×50        40×50         60×70

在学生完成口算后，教师引导学生观察并比较。

师：这两组算式有什么相同和不同的地方？

生1：第二组算式的结果都比对应的第一组算式多1个0。

生2：上下对应的两个算式中，下面的一个乘数不变，另一个乘数比上面的多1个0。

师：这个变化如果用数学语言来表达，可以怎么说？

生3：扩大10倍。

师：对！如，3乘10得到30，用数学语言表达就是把3扩大10倍。谁能用这样的数学语言再来说一说这两组算式的变化规律？

生4：一个乘数不变，另一个乘数扩大10倍，积也扩大10倍。

师：说得真好。我把你说的记录下来了（板书）。大家对照其他题目，想一想，生4概括得对不对？你还有什么发现或补充？

（给学生一定的思考时间后，又有学生举手）

生5：上下对应的两个算式的计算方法相同，都是先把0忽略不看，用的是同一个口诀;不同的是上面一组算式算完以后要添1个0，而下面一组算完以后要添2个0。

师（肯定学生的发现，并进一步启发）：你还发现了计算方法上的相同点和不同点，真好！说到这个0，我们再来仔细观察一下，有的积末尾有1个0，有的积末尾却有3个0，积末尾的0和什么有关呢？小组讨论一下。

生6：我们发现乘数中有1个0，积就有1个或2个0。乘数中有2个0，积就有2个或3个0。

师：你说的0分别在乘数和积的哪个位置？

生6：0在乘数的个位，在积的个位或十位，也就是最后几位。

师：用规范的数学语言说就是，这些0的位置在乘数和积的末尾。谁能再准确地说一说？

生7：乘数末尾有1个0，积的末尾就有1个或2个0;乘数末尾有2个0，积的末尾就有2个或3个0。

师：我把你们的发现也记录下来了。但我有个疑问，当乘数末尾只有1个0时，积的末尾为什么会有2个0呢？

生8：例如40×5，先算4×5=20，这时积已经有1个0了，再添上乘数的1个0，积就有2个0了。

师：你们解释得很好。不过，我们能否把这个发现说得更简洁一些呢？用词要更少，但意思不能错。比如，乘数末尾有1个0，积的末尾（）有1个0。

有的学生说填“可能”，马上就有人反驳说填“至少”。至少有1个，表示可以是1个，也可以是2个，甚至更多。后面这个的观点得到大家的一致认可。最后，教师带领学生总结两个发现：乘数末尾有1个0，积的末尾至少有1个0;乘数末尾有2个0，积的末尾至少有2个0。

经过这一番层层推敲提炼，学生的思维也随着语言的提炼逐步向纵深发展。最后得出的两个发现，因为是学生一步步习得的数学语言，伴随着理解和认可，所以非常容易记忆。

3.训练数学语言表达，促思维敏捷度发展

小学生对数学语言的学习在很大程度上依赖于模仿训练。特别是一些与生活实际联系不大，抽象性强的数学语言，更是学生理解和应用的难点，仅靠课堂上听教师的讲解是难以内化的，必须通过一定的训练，强化理解，才能真正内化为学生自己的数学语言系统。 这样的训练过程是学生数学思维不断发展的过程，也是促进小学生思维过渡的必要手段。

例如，“分数的初步认识”在三年级上册和下册各安排了一个单元。其中，上册是把一个物体看作单位“1”进行平均分，得出相应分数;下册是把一些物体看作单位“1”进行平均分，得出相应分数，并要解决求一个整体的几分之几是多少的简单分数应用题。显然，下册的学习与学生已掌握的整数平均分概念既有联系，又有冲突，是学生理解的难点。如果不能引导学生真正突破认知难点，学生虽然也可以“依葫芦画瓢”正确解答这些简单分数应用题，但稀里糊涂的认知一定会给后续学习埋下很大的隐患。

教学中，我紧紧抓住数学语言的学习训练来确保学习质量，安排了三个层次的强化训练。第一层次，结合具体实物或图片用数学语言表达（主要安排在前两个课时）。如，教材第64页，要求学生在填一填之前先用数学语言完整表达图意——“把6个球看作一个整体，平均分成6份，每份是这个整体的[16]”“把6个苹果看作一个整体，平均分成3份，每份是这个整体的[13]”。这样的语言训练结合了实物图，降低了理解的难度，重点突破语言表达规范性的要求。第二层次，解读规范的“关键句”。经过第一层次的训练，学生积累了一定的操作经验和表象，慢慢过渡到脱离实物图来解读“关键句”。如，一篮草莓的[34]。解读：把一篮草莓看作一个整体，平均分成4份，其中3份就是这个整体的[34]。我把类似“（   ）的 [（   ）（   ）]”这样的句式作为规范的“关键句”进行单项训练，连续训练了两个课时。第三层次，解读不完整的“关键句”。如，第一组学生中，男生占[712]。解读：先把“关键句”补充完整——男生占第一组学生的[712]，也就是把第一组学生看作一个整体，平均分成12份，男生占其中的7份。 通过类似的解读训练，让学生充分练习将这些简明的“关键句”转化为熟悉的语言，有效提高了学生思维的敏捷性，也促使学生从形象思维顺利过渡到抽象思维。

教学实践证明，学生数学语言发展水平的提高，对数学思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性等品质的影响是显著的、积极的。在学生的关键年龄期，教师一定要把此项训练落实到教学的每一个环节，让学生在每一节数学课上都有所收获。核心素养要真正内化到學生身上，就需要这样“落地生根”的课堂积累，有量变才能达到质变。因此，数学教学一定要关注学生思维品质的提升，使学生获得数学学习持久的学习力。

（责编 李琪琦）