对人教版教材中两步“混合运算”典型易错题的分析及相应对策

谢祝

[摘 要]学生在进行混合运算时，顺序错误一直是令教师头疼的问题。从“分析教材”“学生后测”“教师访谈”三个方面入手，对两步“混合运算”的典型易错题进行深入分析，结合人教版二、三年级修订教材，给出相应的干预策略。

[关键词]混合运算;运算顺序;干预策略

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）05-0025-04

一、问题的提出

人教版教材（本文中提到的人教版是指2013年经教育部审查通过的，人民教育出版社出版的义务教育数学教科书，下文简称“人教版教材”。 两步“混合运算”是指类似于“13+45-22”、“360-12×5”的同级或两级运算。）三年级《数学作业本》第45页的练习中的一道题“900-210[×]4[○]98”，学生的错误率高达78.8%。

三年级（8个班）的错误人数统计如下：

主要错因是运算顺序错误，学生将“先乘后减”做成了“先减后乘”。为什么该题的错误那么一致，且错误率又那么高呢？笔者将从“分析教材” “学生后测” “教师访谈”三个方面入手，对“两步混合运算”进行调查分析。

二、调查经过

（一）分析教材

两步“混合运算”的教材编排如下表所示：

从上表可以看到，二年级上册和二年级下册都有两级运算的新授内容。学生虽然知道了要先乘再加（减），但教材在编排上，无论是例題还是整册书及配套作业本等相关练习，所涉及的运算顺序很凑巧，都是从左往右的，几乎没有“2+3×3”这样类似的“加在前，乘在后”的习题，如图1和图2。

这样的编排将学生带入了两个误区：一是先算乘，列式时，乘要写在加的前面;二是两级运算和前面所学的同级运算一样，运算顺序都是从左往右的，除非有了小括号。

二年级下册有了除法的介入，新增了“乘除”和“除加、除减”的内容，并增加了“递等式”这种新的书写格式。二年级下册的教学参考用书中也提示：“例2含有两级混合运算的运算顺序”，“学生容易受到思维定式的影响”。这里的“思维定式”显然就是前面提到的“两个误区”。

三年级上册无新授内容，有关纯递等式计算的内容很少，只在教材中第48、59页各出现了1次，共12小题，如图3和图4。

（二）学生后测

为了更清楚地了解学生掌握“两步混合运算”的运算顺序的情况，我们对整个三年级（8个班）的302名学生进行了测试，为了突出“运算顺序”的检测效果，计算数据都较为简单。试卷分两部分，如图5和图6。

一、递等式计算。

二、解决问题。

1.学校举行跳蚤书市活动。小华带了50元钱，一本书也没有买，小红带的钱买了6本书，每本5元。他俩一共带了多少钱？

2.花店里，3束同样的玫瑰花共有30枝，一束康乃馨是15枝，一束玫瑰花比一束康乃馨少几枝？

1.运算顺序错误是出错主因。

第一题中，错误率最高的是以下四题。（本文中统计的是因计算顺序错误的人数，算错、抄错数、抄错符号等不计在内）

[错误率高的题 错误人数 错误率 ①14+3×7 103 34.1% ②18+42÷6  101 33.4% ③36-36÷9 57 18.9% ④60÷5×2 24 8.9% ]

学生错误的计算过程如下所示。

（1）第①②③题出错的均属于两级运算顺序错误，第①②题运算顺序都错的有69人。可见，两级运算顺序错误占相当高的出错比例。

（2）对于含有“（ ）”的题目，学生的运算顺序正确率很高，这与“（ ）”在视觉上起到的强调作用分不开。第③题 “36-36÷9”也属于两级运算，但与第①②题相比，错误人数明显减少了一半，这是该题紧跟“（6-6）×3”的原因，部分学生因为有了与前一题“（ ）”的比较，运算顺序也就正确了。但从另一个角度来看，视“（ ）”于不顾的这57个学生的两级运算顺序错误是多么的根深蒂固。

（3）第④题“60÷5×2”属于同级运算，与“66÷6×5”运算顺序相同，因为没有特殊数的“陷阱”，后者只有1人出错，错误率也就大大降低了。可以得知，混合运算的顺序掌握得不是很扎实的学生会受算式中特殊数的干扰。

2.综合列式能力弱。

第二题中，302名学生中列综合算式解决两个问题的只有59人，占总数的19.5%。在统计综合列式时，发现了以下两个较典型的问题。

第1题，有18名学生列式时，给式子中的乘法加了小括号，如图11。

这些错误在一定程度上也证明了前面提到的两个误区的存在。

（三）教师访谈

为了解各阶段的混合运算情况，笔者对各年段的数学教师进行了访谈。主要内容有对教材编排的认可度、教学重难点的把握及遇到的教学问题等。

凡教过二年级的教师都普遍反映，二年级下册的“混合运算”这个单元的知识，学生掌握得不好，错误很多。他们还对二年级的教材编排感到困惑，认为递等式是一种人为规定的书写格式，原是四年级下册的内容放到二年级下册来学习，学生在心理上是难以承受这么多的步骤的规定，难以理解这种格式的。三、四年级的教师则认为，三年级及四年级上册极少出现混合运算针对性很强的巩固性练习，直至四年级下册的“四则运算”及“运算定律”这两个单元才再次唤醒学生对“递等式”及“运算顺序”的记忆，教材编排上的断层是导致学生大面积遗忘的主要原因，很正常的。五、六年级的教师则认为，递等式只是一种书写格式，哪怕一开始学生学习起来较困难，但练习后就不容易忘记，这不是计算错误的主要问题，运算顺序的错误才是问题的关键所在。如在五六年级的练习中，学生常常会出现“1+7.2-1+7.2=0;10÷2.5×4=1;[411]+[211][×116]=1”这样的错误，就是因为学生深受“迷惑”，运算顺序自然“不战而败”！

三、错因分析及对策

（一）关于“思维定式”

分析教材的编排，可以看到，直至二年级上册的“乘加、乘减”，运算顺序的确一直是“从左往右”的，这就是二年级下册教师参考用书中提到的“思维定式”。二年级上册的教师参考用书中，关于“乘加、乘减”的编写意图有明确的说明：“学生掌握了乘加、乘减算式的计算方法，可以为今后依据乘法口诀间的关系记忆乘法口诀做好方法上的准备”，以及“在这里，教材对四则混合运算的运算顺序不作要求，学生只要知道‘在乘加、乘减算式中，先算乘法即可。”有了这些说明，是不是“思维定式”就无法避免了呢？事实上，这些说明恰恰是提醒教师发挥教学的主导作用，尽量避免学生“思维定式”的产生。

1. 减弱定式，提前渗透。

在教学二年级上册“乘加”内容时，教师在学生列出“3×3+2”的算式时，可以这样渗透：“其实，我们还可以把算式列成2+3×3，以后我们还会学到更多这样的‘乘写在‘加减后面的算式。”然后与情境图相结合，让学生明白：不管3×3是先写，还是后写，都要先算乘。在后续的看图列乘加算式时，也可请优秀的学生来试试列成“乘”在加后面的算式。这样进行变式训练，学生对加乘算式才不会陌生，既巩固了运算顺序的知识，“思维定式”也得到了减弱。

2.直观支撑，突破难点。

为了解决教学的难点，尽量避免“从左往右”这个“思维定式”的干扰，在新课教学时，教师要给学生提供“拐杖”——采用了教材提供的多种方法给学生以直观的支撑，如用下划线和箭头标出运算顺序;又如给出“圈出先算的一步运算”或“想一想每道题先算什么”等提示。但同时我们也看到，刚开始，学生对运算顺序是带着“警惕”态度的，没过几天，就有学生不再思考运算顺序，凭感觉进行计算了，错误也就开始增多。在后测中， 302名学生中坚持使用“拐杖”的不到10%，虽然用了还是错的也有，但总的来说，用的学生的解题正确率远远高于不用的。因此，在学生还未真正掌握正确的运算顺序时，教师要提醒、鼓励，甚至奖励学生坚持用这些“拐杖”，养成“一拿到题就先思考运算顺序”的良好习惯。

3.增加素材，帮助明理。

在教材的编排中，“乘与加减”两级运算是在问题情境中产生的，而“除与加减”两级运算是脱离情境在练习中通过迁移学习完成的，教材的编者想当然地以为学生理解了前者就会了后者。实践证明，对于二年级学生来说，理解后者比前者要难得多。

除法的介入，笔者认为要把它作为重头戏来唱，重新创设了一个简单的情境。教学过程如下：

（1）教师出示图和问题。

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（2）要求学生列式，并说说列式的依据，并把依据写在算式对应的位置。

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（3）改变条件，把书的单价改为“3本18元”。

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（4）“书的价格不知道，该怎么办？”要先算出书的价格，“6”用“18÷3”代替，并把“18÷3”写在卡纸上，移至“书的价格”的下方，再确定应该“先算除，再算减”。

<G：＼刊物备份＼2019＼小教＼小教数学第2期＼内文＼2s33.tif>

（5）再次与原例题中的“7+4×3”比较，得出结论：先算乘除，后算加减，“7”和“20”都写在算式前面且暂不参加计算，要先抄下来。

要说明的是：在这节课中，教学情境的运用主要是为了帮助学生理解规定混合运算顺序的合理性，所以从最简单的减法入手，引导学生通过简单的示意图梳理信息并确定解题步骤，用简单的数量关系式作为梯子，既能帮助学生顺利地列出两步混合运算算式，又为学生理解运算顺序的合理性服务。因为在没有这个数量关系式及动态演示的帮助时，很多学生列出的综合算式为“18÷3-6”或“18÷3-20”。

（二）關于综合列式能力的培养

在对学生的后测中， “列综合算式解决两个问题”都正确的学生占总数的19.5%，而且这些学生都集中在某几个班上。可见这跟教师平时的教学要求有着密切的联系。在与学生的访谈中，我们进一步了解到，有的教师为了提高解决问题的正确率，遵循 “分步列式错一步得一半，综合列式错一步全扣完” 的改卷评分标准，不鼓励学生综合列式，甚至明确要求分步列式，这种不理解小学生思维发展特点的评价方式，把原本需要紧密结合的“混合运算”与“解决问题”硬生生地分割开来了。然而，这两者是相辅相成的，“混合运算”的强化需要“解决问题”情境的支撑，而“解决问题”的抽象结果又需要用“混合运算”去体现。只有这两者的强强结合，才能使学生的综合运用能力得到培养与提升。为了真正体现教材的编写意图，让混合运算学有所用，提高学生的综合概括能力，为后续学习服务，教师一定要挣脱应试的枷锁，鼓励学生在解决问题时能综合列式，用递等式解答。二年级学生的思维正处于直观形象向抽象发展阶段，考虑到学生间的差异性，允许部分学生刚开始学习时先分步列式，再尝试着把分步合并成综合，相信经过长期的练习，这些学生的综合概括能力一定会比一直列分步解答的学生强得多。

（三）关于练习的断层

一些教师认为“在三年级及四年级上册，极少出现混合运算针对性很强的巩固性练习”，他们认为是教材编排上的练习断层造成了学生的遗忘。事实上，教材中虽然没有专项的递等式练习的内容，但这个知识点的用武之地还是有很多的，就看教师会不会利用了。除了上文提到的结合解决问题列综合算式进行练习外，还可以进行以下针对性的练习。

1. 利用易错题，加强学生的思辨能力。“当我们能侥幸完成任务的时候，我们就不去思考，反而依赖记忆。”因为有了先前太多的“思维定式”的记忆，学生遗忘与错误是正常的，特别是在强信息“特殊数”的干扰下，在简便计算的“干扰”下，这种依赖更为强烈。因此，在学生出现错误后，教师要引导学生思辨，通过识错、思错、纠错、防错等一系列方法对错误进行再利用、再加工，使错误成为推进学生学习进程的有利资源。如在教室里专设一个易错题“专家门诊”供学生“医治”;请学生自己设计“计算陷阱”，供同学来挑战;等等。

2.每周利用作业本的空白部分，适量地加入几题有关混合运算的对比练习和强化练习 ，避免遗忘。如图13。

总之，教师不仅是教材的使用者，也是教材的“编写者”，需视学情灵活地处理教材，分解难点，同时遵循遗忘的规律，为学生综合能力的提升服务，为他们的后续学习与发展服务。

（责编 金 铃）