化工类线性代数本质与几何直觉培养教学例证研究

左路

【摘要】本文针对化工类专业特点，利用矩阵在线性代数知识体系中的贯穿作用，提出依赖矩阵的几何意义建立直觉模型，构建教学框架并直指线性代数本质，让学生在几何直观的形象思维中逐步培养抽象思维，为专业发展与应用建立坚实的数学基础.

【关键词】化工类;教学研究;线性代数课程;几何直观模型

作为以实验为核心的科学，化学从两方面需要数学的参与.其一，现代化学的微观发展，即探讨物质的组成、构造及反应，所采用的语言越来越数学化.其二，化学的实际应用要求更严格的定量计算工具，其中分析化学及化工问题都需要更精确的计算工作，自然涉及更多的应用数学.简言之，化学学科需要数学从符号层面和技术层面的支持，需要从本科学习阶段开始掌握灵活运用数学工具的能力.线性代数课程作为化工类专业的学科大类数学基础课程之一，定位于以线性空间、线性变换为核心，旨在培养学生的抽象思维能力，以及让学生具备运用线性代数知识进行数值计算的能力.但是如何准确建立数学模型，选择计算方案，解释计算结果，并产生方法的创新，需要研究者对线性代数有更多的本质认识，仅依赖抽象思维的培养不能完全胜任.那么何为抽象思维？抽象思维为何如此重要？如何才能培养抽象思维？从认知神经学的角度而言，抽象思维活动于左脑，对外界事物建立概念、判断和推理，并通过分析、比较、概括等基本过程以期达到认识事物的本质特征的目的[1]，这也正是科学工作者应具备的素养.然而，线性代数的概念采用公理化结构的表达方式造就了该学科知识的高度抽象性，这个特点恰好就成为学习的第一步障碍，学生并不易直观感受并认识线性代数的本质，在未来的工作研究过程中不能熟练自如地利用矩阵工具为研究服务.

抽象思维的培养无法做到一蹴而就.尽管人的认知过程中抽象思维摆脱了对感性材料的依赖，并非意味着基于感性的形象思维可以欠缺.如同艺术家，科学研究者的科学发现和创造需要形象思维，形象与抽象相辅相成参与着知识的获取、累积、创新的过程.正如统计学家Ronald A.Fisher，因为具备这种非凡的形象思维，几何直观常常使他能够在极短的时间内解决他人需耗费很长时间能解决的问题[2].不仅如此，兴趣作为学习的第一推动力，几何直觉的存在还可以促进兴趣的驱动力.当经过初等代数训练的学生一步跨入抽象的高等代数领域，如何才能激发学生的兴趣，这个跨度需要教师的辅助.教师的辅助需要教师对知识的累积规律过程、学科的本质特征有深入的了解，并建立适宜的教学方式.如，欧拉在《无穷分析引论》中将直观性显著的指数函数先于对数函数介绍[3]，尽管后者略早于前者产生，但这一顺序符合人类的认知习惯，因而沿用至今.早期的數学家们均相信直觉，笛卡尔认为直觉是将知性上升为知识的途径之一，布劳维将数学思维视为智力构造的过程，它建立于基本的数学直觉之上[4].于是，我们尝试在线性代数课程的教学过程中实施循序渐进的方式培养学生的抽象思维，从建立矩阵的几何直觉模型开始，串起线性代数的知识框架体系，采取几何直观模型解释矩阵的各种表达与运算，贯穿起线性空间和线性变换两大核心，线性代数的本质不过如此.如果用金字塔式结构构建出线性代数学习过程，则几何直观构成底层的坚实基础，中间层是数值计算能力的培养，最顶层是应用能力的获得.本文以二维向量空间为例，采用层层递进的顺序，从三个层面在教学中以矩阵串联起整个课程框架.

四、结 语

从以上三个方面将矩阵与空间、映射贯穿起来，实现向量空间过渡至线性空间，达到知树识森林，从具体到抽象.学生未来需要成为知识的探索者和发明者，仅仅作为知识的接受者是无法承载这一重任的.教师需不懈努力，探索更加符合学习规律的教学模式，以矩阵及其运算为主，以线性空间和线性变换为根，以几何直观为辅，从而使学生知晓线性代数知识体系的构建方式，获取自学能力，为未来研究、工作夯实计算基础.

【参考文献】

[1]王志良.脑与认知科学概论[M].北京：北京邮电大学出版社，2011.

[2]Salsburg D.女士品茶——20世纪统计怎样变革了科学[M].邱东，译.北京：中国统计出版社，2004.

[3]Euler L.无穷分析引论[M].张延伦，译.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2013.

[4]Klein M.数学：确定性的丧失[M].李宏魁，译.长沙：湖南科学技术出版社，2001.

[5]吴赣昌.线性代数：第5版[M].北京：中国人民大学出版社，2017.