基于“一课多Mo”的小学数学深度教学研究（六）

管尤跃　周佳泉

这是“模”字的金文大篆体，其本义是指“铸造器物的模子”，在本文中有如下几义：（1）模型;（2）模式;（3）模板。绝大多数教师都很熟悉“数学模型”“教学模式”“设计模板”等概念，关于这个内容笔者曾在《云南教育》（小学教师）2018年第9期《基于“一课多Mo”的小学数学深度教学研究（一）》一文中简略介绍过，在这里将进一步解释说明其内涵及教学价值。

一、小学数学深度教学之“一课多模”——模型

“模型”的基本含义很多，拓展后主要在数学模型、物理模型、结构模型、工业模型、仿真模型、人力资源模型、思维模型等各领域中提及，其含义主要有两个：一是指“主要反映问题系统的结构特点和因果关系的模型（即结构模型）”;二是指“用简单易懂的图形、符号、结构化语言等表达人们思考和解决问题形式（即思维模型）”。其实在小学数学的教学中，有效使用“模型”进行教学是极其关键的，当然，反过来看，在教学中循序渐进地渗透“模型”是基础，这当中“数学概念教学”尤为关键。举例来说，人民教育出版社出版（简称“人教版”）的小学数学四年级教材中，“速度、路程和时间”这节课中的“速度×时间=路程”就是一个“模型”，这是小学阶段数学教学中两个最为重要的“模型”之一（另一个是“单价×数量=总价”），这是应该花大力气进行教学的“种子课”（借用全国著名特级教师俞正强老师在其专著《种子课》中的说法），因为这是今后学习几乎所有关于速度、时间和路程方面的内容时所需要的，例如相向、相背、相离、相距、相遇问题、追及问题、过桥问题、工程问题等，几乎都离不开这一“模型”。

【案例1】人教版小学数学五年级上册第79页例5（教材图如下），其详细分析已刊登在《云南教育》（小学教师）2019年第1、2期《基于“一课多Mo”的小学数学深度教学研究（五）》中，在此想要强调的是教学中必须带领学生经历梳理清楚数量间关系（就是“模型”）的过程，这也是学习此类问题的关键所在，此模型就是：速度×时间=路程。这个模型的内涵和外延是今后学习的重中之重，需要清楚地知道这三个量之间的统一、对应关系。

如，小林骑的速度×小林骑的时间=小林骑的路程，还要清晰地理解此模型的变形：

这也是教材中所采用的问题解决思路，教学时还可以让学生体会此类问题中是如何延伸运用“速度×时间=路程”这一模型的：

（小林骑的速度+小云骑的速度）×时间=总路程

面对同一个模型，让学生体验学习的乐趣在于“变”，更在于“变中的不变”，正如上面教材中的例题，就可以改变问题、改变其中一个条件的位置、改变数据、改变内容等使其成为新的问题解决，简单举例如下：

（1）-辆客车以每小时60千米的速度从甲地开往乙地，同时一辆轿车以每小时90千米的速度从乙地开往甲地，经过3小时两车相遇，甲、乙两地之间的路程是多少千米？

（2）甲、乙两地之间相距450千米，一辆客车以每小时60千米的速度从甲地开往乙地，同时一辆轿车以每小时90千米的速度从乙地开往甲地，经过几小时两车相遇？

（3）甲、乙两地之间相距450千米，一辆客车从甲地开往乙地，同时一辆轿车从乙地开往甲地，经过3小时两车相遇，客车每小时行驶60千米，轿车每小时行驶多少千米？

（4）甲、乙两地之间相距450千米，一辆轿车从乙地开往甲地，同时一辆客车从甲地开往乙地，经过3小时两车相遇，轿车每小时行驶90千米，客车每小时行驶多少千米？

（5）甲、乙两地之间相距450千米，一辆轿车以每小时行驶90千米的速度从乙地开往甲地，行驶l小时后一辆客车以每小时行驶60千米的速度从甲地开往乙地，经过多长时间两车相遇？

（6）-辆客车以每小时行驶60千米的速度从甲地开往乙地，行驶1小时后一辆轿车以每小时行驶90千米的速度从甲地开往乙地，经过多长时间轿车追上客车？

不仅仅如此，还可以“变”出很多很多的问题供学生思考如何解决，但是我非常喜欢一个很有道理的观点（尽管不知道出处）：没有哪个数学家能做完所有的数学题！所以更重要的是让学生做完几题后停下来思考，我自己会不会编出这样的问题解决，教会学生如何在准确地理解和把握其本质的基础上会思考、会表达、会交流，在“变”中寻找“不变”，“不变”的就是“模型”，是本质，“变”的是形式，是趣味。其实教材中安排的练习就是为此目的而精心设计的，都是很典型而有价值的。

如，人教版小学数学教材第82页练习十七的第11、12、13、14题。（见课本）

以上的这些问题其实都是用同一个“模型”（即速度×时间=路程）解决，最重要也是最关键的是日常教学有没有养成“举一反三”“触类旁通”的习惯，真正促进学生会学、乐学、善学，而不是“照葫芦画瓢”，等遇到新问题时义束手无策！

二、小学数学深度教学之“一课多模”——模式

“模式”的基本含义是指事物的标准样式，具有一般性、简单性、重复性、结构性、稳定性和可操作性的特征，如：发展模式、教学模式等。模式在实际运用中必须结合具体情况，实现一般性和特殊性的衔接并根据实际情况的变化随时调整要素与结构才有可操作性。仅就小学数学教学模式而言，在我国近几十年来颇有影响力的就多达数十种，还有类似于概念教学模式、计算教学模式、练习课教学模式等。在此，仅从使用图示法进行小学数学问题解决教学的课堂组织模式进行分析，管中窥豹，希望对其他模式的教学起到参考价值。

【案例2】人教版小学数学三年级上册第六单元例8。（见课本） 此问题解决课堂教学组织模式完全可以在几乎所有有关问题解决的教学中运用，详见《云南教育》（小学教师）2018年第12期《基于“一课多Mo”的小学数学深度教学研究（三）》，还可以将该模式用下图表示：

【案例3】人教版小学数学五年级上册第79页例5（如下）：

在此，特别想突出表达的是：为何随着年级的不断升高学生之间的问题解决能力差距悬殊？即便是一、二年级为何面对小学数学教材中的情境图画（或实物图、示意图）理解却也相去甚远？虽然这涉及方方面面的问题，但其实这其中有一些极为基础、重要但义容易被忽略或忽視的细节未做、未做好也是主要原因，千里之堤，毁于蚁穴，从多年所听近千节课来看，这些细节细思极恐，现将问题和解决方法（也就是教学模式）呈现如下：

问题1：阅读题目方式单一，未能充分调动全体学生的积极性和主动性，相对有困难的学生在没完全准确理解题意的基础上仓促进入下一个环节（列式解答）。

解决方法（即教学模式）：阅读题目的方式有很多，一定不能也不用千篇一律，需要注意的最好不要采用“男生读”“女生读”这种毫无对比价值的方法，也要较少采用“XX的普通话好（或有感情朗读）”的方法，最有效的方法（可广泛使用）是让学生“静静地读”——自己阅读，因为数学学习特别需要静心思考，独立思考。

问题2：读完题目后紧迫：你知道什么了、还知道什么、要求什么、怎么求等，急于解答。

解决方法：可以通俗地理解，一个具有现实情境的数学问题解决其实就是一个小故事，如果要求对故事情节都没有很好理解的学生（往往是有三分之一左右），对问题一知半解，对教学囫囵吞枣，这样的情况多了、时间长了，到中高年级就很容易出现对问题理解、对数量关系的分析都有困难。

通常可以采用这样的教学模式，以达到因材施教，分类教学的目的：

（1）让学生再次读题，一般要求读两遍题目（即读故事），教会学生精读、细读、研读。

（2）不照着念题目，检查学生能不能用自己的话表述出题目的意思（即讲故事）。 教材这样安排的目的就是要求在列式解答前应该做到真正理解题意，实际教学中更好的方法是“不看教材”用自己的话说理解。

（3）用不同的方法表达出你对这个问题的理解，一般可以用语义表征、符号表征、动作表征、图形表征或意象表征等五种不同层次的表征形式中的一种或几种进行表征，可用下图表示四种常见表征方式的具体操作：我们再看看教材就是用图形表征（线段图）的：

问题3：列式（算式或方程等）解答后，未及时沟通表征形式和解答过程之间的联系。

解决方法（也就是教学模式）：可以这样说，一个数学问题解决本身就是一个“生态系统”，其间各环节、要素之间有很深的联系，教学中要让学生真正感受到这种联系，感悟到“有机融合”的存在。就刚才这个例题而言，教材中的解答过程是这样的：

至此，纵观整个解答过程，沟通“题”——“图”——“式”之间的一致性是很有必要的，既做到整体把握，义兼顾全局，有利于学生问题解决能力的提高。如下图：

关于这方面的论述还可参考《云南教育》（小学教师）2018年第12期《基于“一课多Mo”的小学数学深度教学研究（三）》一文。

再举一例：

相遇问题

5、小林和小云周日早上9：00，分别从家骑自行车相向而行，经过10分钟相遇，小林每分钟骑0.25km，小云每分钟骑0.2km，小林家和小云家相距多远？

其实，这样的模式在计算教学中同样适合。

【案例4】给出这样一道题：18×5=____。不需要你们给我最后的结果，我只需要你们在纸上面出来，这个乘法算式代表着什么？

这是美国斯坦福大学教育学系教授JoBoaler在讲“数感”时所举的一个例子。下面是学生画出来的作品：

方法一：

有的孩子将方块右边补上一块蓝色的区域，算出整块面积后再减去蓝色方块的面积。

方法二：

有的孩子将长方形截成左右两块，然后将右边一块挪到左边长方形的下方。

方法三：

有的孩子也是将长方形截成左右相同的两块，然后她分别算左右两块的面积，接着再相加。

方法四：

有的孩子将长方形截成左右两块，只不过左边的边长是10，右边的边长是8，然后再计算总面积。

方法五：

同样是拆分，之前别的孩子都是横向的拆分，但是有一个孩子竟然纵向拆分，拆成三段，然后再计算总面积。

这仅仅是一道最普通的乘法题，数学思维好的孩子就能将之衍生出5种不同的表现形式。在这帮孩子的眼里，乘法不是简单的计算，而是给了它们具体的意义，他们利用面积这个概念将18x5这个表达式有了含义。所谓数感是一个人对数与运算的一般理解。它使人眼中看到的世界有了量化的意味，当人遇到可能与数学有关的具体问题时，能自然地、有意识地与数学联系起来，用数学的思想方法来进行处理和解释。因此你看，当数感好的孩子，他们眼中的数学就很精彩，能变换出多种多样的可能，这样他们学习数学也会充满乐趣！

从以上的分析可以看出，这样的“一课多模”是很有价值的，这样的模式还可以用在概念教学、练习课、复习课等大多数小学数学课堂教学中。如果这样的话，真能做到我心目中的让教和学简简单单、轻轻松松、明明白白！

三、小学数学深度教学之“一课多模”——模板

“模板”其原意是指浇灌混凝土工程时定型用的板，也指作图或设计方案的固定格式，是将一个事物的结构规律予以固定化、标准化的成果，它体现的是结构形式的标准化。从其含义分析，在教学中与之前所述的模型、模式皆有相似之处，在此不再赘述。在本文中的“模板”所指的是针对某一种课型所采用的固定的教学设计，或者是学生所做练习采用某种结构形式的标准化，这在某个特定的时期（例如刚步入教学生涯）或某些特定区域（例如XX中心学校）具有较强的规范性和易操作性。

如，人教版数学四年级上册“角的度量”一课的学习中，学生在掌握了“两个对齐”——量角器的圆心与角的顶点对齐、量角器的0刻度线与角的一条边对齐的基础上，还是不能正确地进行“变式题”的操作，出现下面这些令人啼笑皆非的操作结果：

究其原因，不外乎三：一是没有深刻理解量角的本质是“以角量角”——即把纸上的角与量角器上的“角”完全重合，根据量角器上与之全等的角的大小来刻面、描述待测的角的大小;二是没有深刻理解量角器上的读数本质是“刻度差”——即始边与终边之差即为角度读数——图③中的量角方法其实也是可行的（90°与50°的差为40°）;三是学生不会把“异态角”变换为“常态角”。

解决方法（也就是教学模板）：由两个“支架”构成——一是设计“单式”量角器（左式与右式）降低学困生区分内外圈读数的困难（见下图）;

二是采取变“异态角”为“常态角”（即始边保持水平，终边在始边或其延长线之上）的方法，并成为一种思维“模板”，收到“以不变应万变”的效果（如下图）。 这在其他相关图形的面积、体积计算时也是一样的。如下图中，学困生往往难以找到空白三角形的底和高，但是把“异态图形”变为“常态图形”就容易多了（如下图）。

再比如，某些学校（以初、高中居多）解题的格式也搞出“已知、求、解、答”的答题模板，很好地规范了学生的解题步骤。

以上这些“模板”在教学中所起到的作用和价值毋庸置疑，不过一切事物都有其两面性，使用模板也给教学增加了一个义一个的“圈套”或“枷锁”，例如简便计算中的“凑整”思想，其实这对于大部分题目而言是可行的，对很多学生夯实基础也是有很大帮助的，但是這也会严重阻碍学生的创新思维和结合具体问题具体分析的基本能力，在小学4-6年级各种简便运算中思维僵化、指鹿为马、张冠李戴的现象尤为突出，限于篇幅，就写到这儿。