渗透微元思想 培养核心素养

摘 要：微积分是高等数学的重要内容，对处理复杂问题有着优越的作用。微元思想时常渗透在高中物理教学中，为了更好地认识微元思想在物理教材的应用，笔者从微元思想在必修教材中的应用，如何将微元思想在物理课堂教学中拓展，以及微元思想对物理教学意义的三个方面进行阐述。

关键词：微元思想；物理教学；学科素养

常言道，数理不分家，数学方法及思想在解决物理问题中常起着重要的作用。一代伟人牛顿提出牛顿三大定律及万有引力定律，奠定了经典物理的基础。他的这些成就绝不能说与他出色的数学能力無关。在数学上，牛顿与戈特弗里德·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。在高中物理学习中，我们时常会用到许多的数学方法来解决物理问题。

在处理中学物理问题时，对某事件做整体的观察后，从对事物的极小部分（微元）分析入手，先分割逼近，取出事件的某一微小单元分析，找到规律，再累计求和，最终达到解决事物整体的方法，称为微元法。这是一种深刻的思维方式，通过对物体微小单元的分析和描述，最终解决整体的问题。微积分是高等数学的重要内容，高中数学虽也介绍，但比较浅显，学生在物理课程中接触到微积分思想要先于数学，具体微积分计算高中物理中也不作要求，所以教师在教学中传授给学生的只是一种思想，重要的是让学生理解、体会到这样一种思想，且把这种思想称作“微元思想”吧。今天这里笔者将谈谈微元思想在高中物理必修内容中的应用。

一、 微元思想在物理必修教材中的渗透

笔者经过高中物理三轮的完整教学，该学年刚好任教高一年级，在教学过程常做小结与反思，我发现，必修教材中多处渗透着微元思想。

（一） 瞬时速度定义

《运动快慢的描述——速度》教学目标指出：在讨论平均速度与瞬时速度联系的过程中，初步体会极限的思想方法。

如变速直线运动中的瞬时速度概念，是先建立粗略地描述运动快慢的平均速度的概念v=ΔxΔt，然后为了使描述精确，我们把变速直线运动的过程取得越来越小，即时间越来越短，在t到t+Δt这个较小的时间间隔内平均速度ΔxΔt就越来越接近t时刻的瞬时速度，当我们把过程取得无限小时，位移也接近零，但位移与时间的比值却是一个确定的值，这就是运动物体在某时刻的瞬时速度。

意义：学生第一次在高中物理中接触微元、极限思想，学生虽不能很快接受，但给学生初次体会，为今后学习埋下伏笔。

（二） 匀变速直线运动位移时间关系式的推导

教学目标指出：理解匀变速直线运动的位移与vt图形中四边形面积的对应关系，使学生感受利用微元思想解决物理问题的科学思维方法。

在推导匀变速直线运动的位移时，用到了微元思想，如图1所示，把整个运动过程分成多段匀速直线运动，当时间分得非常细，小矩形就会非常多，它的面积也就等于图像与坐标轴所围成的面积，即整个运动的位移，从而得出了位移公式。

意义：“一个变化过程在极短时间内可以认为是不变的”，这种“化变为常”，突破常规的思想，使学生如沐春风、清新异常，让学生的思维得以震撼，使学生对微元思想的感受不断加深，拓展了思维深度。

（三） 重力做功的特点

教学目标指出：要知道重力做功与路径无关。

创设情景，计算下列三种情况下重力做的功：

图2

教材从学生的认知角度，由浅入深逐步深入地设置情景，先研究竖直下落，再研究沿倾斜直线向下运动，最后到任意曲面下滑过程，通过计算物体从A点到B点的不同路径所做的功，得出重力做功与物体运动路径无关的结论。以下作简单的推导：

①竖直下落：WG=mgh

②沿斜面下落：WG=mgssinθ=mgh

③沿曲面下滑：将曲面分割成一小段一小段，足够小时，曲面就可看成斜面，就可以利用上面②中的结论求出各小段重力做的功，最后将各段累积求和，微元思想再次呈现出来。

W=W1+W2+W3+…Wn

=mg·Δh1+mg·Δh2+mg·Δh3+…mg·Δhn

=mg（Δh1+Δh2+Δh3+…Δhn）

=mgh

意义：这里“化曲为直”颠覆了学生思想中原有的“曲直”观念。这种“曲”“直”的相对性让学生的心灵再一次升华，让懵懂青春的他们，思想再一次地开阔。

（四） 推导弹性势能的表达式

教学目标指出：领会求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法。

从弹力做功来探究弹性势能的表达式的方法、探究过程中化变为恒的思想和利用图像法进行处理是本节的重点，也是难点。

在研究重力势能时从重力做功入手，研究弹性势能时也可以从分析弹力做功入手。弹簧的弹力和弹簧受到的拉力等大反向，拉力做功等于克服弹簧弹力做功，也就等于弹性势能的变化量。用类比的方法分析时要注意区别重力做功和弹力做功的不同特点。在地球附近，重力为恒力，而拉伸弹簧过程中，拉力随弹簧形变量的变化而变化，拉力还因弹簧不同而不同，因此拉力做功不能直接用功的公式W=Flcosα。那么，如何求拉力做功呢？回顾匀变速直线运动位移时采用的方法，通过类比，提出解决方法——将弹簧的形变过程分成很多小段，每一小段中近似地认为拉力是不变的，所以每小段的拉力做功分别为：

与匀变速直线运动中利用vt图像求位移x相似，我们也作Fl图像（图3），每段拉力的功就是图中细窄的矩形面积，对这些面积求和，就得到了F与l所围成的三角形的面积。考虑到新课程标准对弹性势能的表达式没有任何要求，对弹性势能表达式的处理就比较的灵活。这里我们可以根据三角形面积公式得到弹性势能的表达式：

Ep=12kx2

图3

意义：书本独具匠心，让我们的学生在前面学习的基础之上有了一个用武之地，充分贯彻了新课程对三维目标的落实，同时这种“化变为恒”思想对日后解决变力做功问题也有启发。

二、 微元思想在高中物理教学中的拓展

学生在解决问题中希望能够用比较简便有效的方法去解决，当碰到一些用现有知识无法解决的时候，他们会渴望获得解决方法。微元思想在教学中已经多次渗透，学生对此渐渐领会其解决相关问题的优越性，所以在平时的教学中作必要的拓展，对培养学生能力和思维方法有着很大的帮助，培养学生物理学科素养。

新课标强调教学三维目标（即知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观）的落实。在过程与方法中提到通过物理概念和规律的学习，了解物理学习的研究方法，认识物理实验、物理模型和数学工具在物理学发展过程中的应用。近几年的《浙江省高考考试说明》中都明确指出考查学生应用数学知识处理物理问题的能力：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。说明教师需要在教学中进行拓展引导以促进三维目标的落实。

物理教材中多次出现出体现微元极限思想的应用。物理中许多物理量以变化率来定义，如速度、加速度等，其实就是导数的运用。推导匀变速运动位移时间关系式时就进行无限分割，运用到极限的思想。借助微元思想的帮助我们解决实际问题，同时丰富拓展了学生的思维。证明教师在教学中对微元思想拓展的必要性。

无论从学生认知角度还是三维目标落实及教学过程的需要，以及培养学生核心素养，都要求教师在教学进行拓展，如何拓展呢？下面我们通过三个教学案例来分析。

（一） 新课拓展，提高能力

要提高解决问题的能力，需要形成科学的思路和掌握基本的方法，科学思路和基本方法的掌握是不可能通过灌输达成的，需要经常、适时地拓展。下面通过案例1来体会。

案例1：万有引力定律表达式适用范围的讨论

F=Gm1m2r2

1. 教师提问：通过前面的学习我们得出了引力公式，那么公式中“两物体间距离”指的是物体哪两部分的距离？

学生思考：……

2. 教师提问：如果两物体可看作质点呢？

学生回答：两质点间的距离。

3. 教师提问：若两物体是匀质球体呢？

学生回答：球心间的距离。

4. 教师提问：你得到这样答案的依据是什么？

（预计学生回答不出这个问题，先讨论下面问题后再回过头解释）

教师引导学生思考：显然如果两个物体可以看成是质点，r为两质点间的距离，对于任意形状的物体不能看成质点时，如果我们把物体分割成无数足够小的部分，直到可以将各部分看成质点（稍微停顿，留意学生的表情，引起学生思考的兴趣）。

有学生就会发言：这是微元思想。

5. 教师给予肯定，那么之后该怎么处理呢？

学生回答并提出疑问：各质点间的引力是可以求，但是要怎么求的是两物体间引力。

6. 教师引导：同学们回想下匀变速运动位移公式的推导用到微元思想，从微小部分讨论，累积求和，最终解决整体的思想。

学生回答：求出任意两质点间的引力，再将它们求和。

7. 教师肯定：这位同学对微元思想的领会比较深刻了，有哪位同學再来补充下？

学生修正回答：应该是一个物体上各个质点与另外一个物体上各个质点间的引力之和。

教师小结：非常正确。

学生提问：这样解不是太麻烦了吗？好像没法解。

教师回答：该同学提得好，这里面牵扯到微积分的计算，这个内容要到大学才会学到，现在不作要求，但在这个过程中我要求大家去体会微元思想的应用。

我们现在可以来解释两匀质球体间的距离r为什么是球心间的距离：其实r是等效距离，就是利用微积分求解后等效得出的。

总结：引力公式适合计算：①两质点间；②两匀质球体（球壳）；③质点和匀质球体（球壳）。

教学评价：教学在讲解引力公式的适用条件时，许多老师直接告知条件，学生学习时就会充满疑惑，全然不知缘故。该案例，从对两物体间距离r进行讨论，由质点到一般物体（不能看做质点）的讨论，将物体微元分割成无数质点，然后求出两物体间任意两质点间的引力累积求和，教学中再次渗透微元思想。教学过程注重过程和方法的培养，学生有体会、参与过程。

（二） 例题拓展，示范启发

物理教学中选取的例题，在解题的思路与方法上具有典型性和代表性，在由知识转化为能力的过程中具有示范性和启发性。

案例2

例1：某力F=20N作用于半径r=0.5m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为多少？

解析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，则转一周中各个小元段做功的代数和为

W=F×2πr=20N×2π×0.5m=62.8J

例2：一个质量为m的小球放在光滑的水平面上，以v的速度绕O点做匀速圆周运动，其半径为r，求运动一周绳子对小球所做的功。

解析：受力分析，绳子对小球的拉力始终指向圆心，是变力。同上题把圆周分成无限个小元段，每个小元段与力垂直，故不做功。所以拉力不做功。

案例3

如图4所示，以不变的速率v通过绳拉河中的小船，当绳与水平方向成θ角时，求小船的瞬时速度。

图4

解析：取很小段时间，船从A移到B位置，因为时间取得非常小，所以有上图的关系，v1=ABΔt=ΔscosθΔt=vcosθ。

这个表达式的得出，其实是在Δt很小时成立的。

在学习中时常会碰到许多需要借助微元思想的题型，在对例题的分析，我们让学生进一步地体会微元思想的作用，并强化学生“化变为恒，化曲为直”的思想。

三、 微元思想对物理教学的意义

浙江省普通高中新课程实验《学科教学指导意见》将教学要求分“基本要求”“发展要求”，微元思想运用在教材中多次出现，并且是作为学生的“发展要求”，是要求学生理解、并能运用的思想方法。微积分是高等数学的重要内容，高中涉及比较浅显，且在高中数学教学上也是晚于物理，作为一种重要的思想方法，在平时教学中适时地拓展，逐渐渗透并掌握，运用到今后选修课程的教学中。

微元思想是高中物理学习中的一种重要的思想。对于一个具体的物理实体或物理过程，运用微元法进行无限分割，“化曲为直，化变为恒”。微元思想丰富了处理问题的手段，拓展了我们的思维，使学生认识世界的一种世界观的转变，达到一种思想境界的升华，培养学生物理学科素养。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书.物理必修教材[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2]王溢然，束炳如.中学物理思维方法丛书[M].郑州：河南教育出版社，1999.

作者简介：

吴思大，浙江省丽水市，浙江省庆元中学。