一个圆锥曲线问题的推广

摘 要：三种圆锥曲线的性质经常是互通的。在其中一种曲线得到的结论同样可以推广到其他的圆锥曲线。

关键词：双曲线；切线；圆锥曲线

圆锥曲线的性质经常是互通的。所以当得到其中一种曲线的性质时，经常可以推广到其他的圆锥曲线中。

一、 问题呈现

例1 在抛物线x2=2py中，过其焦点F作直线交抛物线于AB两点，过AB分别作抛物线的切线l1，l2，l1，l2交于点P，求证：点P在抛物线的准线上。

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+p2，

x2=2py

y=kx+p2

x2-2pkx-p2=0，

∴x1+x2=2pk，x1x2=-p2，过点AB的切线方程

x1x=py+py1

x2x=py+py2

得x=p（y1-y2）x1-x2=x1+x22

y=x1x22p=-p2则点Px1+x22，-p2在抛物线的准线上。

二、 推广探究

现在我们将这个结论推广到椭圆和双曲线中。

例2 在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，过椭圆的右焦点F2作直线AB交椭圆于AB两点，过AB分别作椭圆的切线l1，l2，l1，l2交于点P，求证：点P在椭圆的右准线上。

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+c，

x2a2+y2b2=1

x=my+c

（b2m2+a2）y2+2b2mcy-b4=0，

∴y1+y2=-2b2mcb2m2+a2，y1y2=-b4b2m2+a2，过点AB的切线方程x1xa2+y1yb2=1

x2xa2+y2yb2=1，

得x=a2（y2-y1）x1y2-x2y1=a2（y2-y1）（my1+c）y2-（my2+c）y1=a2c，则点P在椭圆的右准线上。

同理可证，结论对于椭圆的左焦點也成立。

例3 在双曲线x2a2-y2b2=1中，过双曲线的右焦点F2作直线AB交双曲线于AB两点，过AB分别作双曲线的切线l1，l2，l1，l2交于点P，求证：点P在双曲线的右准线上。

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+c，x2a2-y2b2=1

x=my+c

（b2m2-a2）y2+2b2mcy+b4=0∴y1+y2=-2b2mcb2m2-a2，y1y2=b4b2m2-a2，过点AB的切线方程x1xa2-y1yb2=1

x2xa2-y2yb2=1，得x=a2（y2-y1）x1y2-x2y1=a2（y2-y1）（my1+c）y2-（my2+c）y1=a2c，则点P在双曲线的右准线上。

同理可证，结论对于双曲线的左焦点也成立。

参考文献：

[1]M·克莱因.古今数学思想（第一册）[M].上海：上海科学技术出版社，1985.

作者简介：艾志景，江西省抚州市，江西省抚州市临川一中。