基于颜色与物质浓度辨识的数学模型

王 庆

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

1 问题的提出

比色法是目前常用的一种检测物质浓度的方法，即将待测物质制备成溶液后滴在特定的白色试纸表面，等其充分反应以后获得一张有颜色的试纸，再将该颜色试纸与一个标准比色卡进行对照，以确定待测物质的浓度档位。由于每个人对颜色的敏感差异和观测误差，使得这一方法在精度上受到很大影响。随着照相技术和颜色分辨率的提高，希望建立颜色读数和物质浓度的数量关系，即只要输入照片中的颜色读数就能够获得待测物质的浓度[1]。

本文参照2017高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题，给出5种物质在不同浓度下的颜色读数，提出下列3个问题：

问题1：从这5组数据中能否确定颜色读数和物质浓度之间的关系，并给出一些准则来评价这5组数据的优劣。

问题2：建立颜色读数和物质浓度的数学模型，并给出模型的误差分析。

问题3：探讨数据量和颜色维度对模型的影响。

2 问题的分析和模型假设

为解决以上3个问题，通过对所列数据的分析，本研究对3个问题分别作分析和模型假设。

问题1：探究颜色读数与物质浓度之间的关系，并判断5组数据的优劣，采用多元线性回归[2]拟合出颜色读数与物质浓度之间的函数关系，给出预测值与真实值的误差，以平均相对误差M作为评判5组数据优劣的准则。为了更直观的评判数据的优劣，进一步，考虑用软件进行降维画图，依据图像的平稳度来判断。

问题2：采用Logistic变换[3]建立颜色读数和物质浓度的广义线性模型[4]，并给出模型的误差分析。

问题3：选取5种物质在不同浓度下的颜色读数的数据，使每次浓度的数据量和颜色读数的维度发生改变，判断数据量和颜色维度对模型的影响。

3 模型的建立和求解

3．1 问题1模型的建立和求解

根据题目中给出的数据并查阅相关资料，选取颜色读数为R、G、B、S、H，建立物质浓度y与颜色读数的多元线性模型：

以组胺为例，利用组胺的数据得到组胺浓度y与R(x1)、G(x2)、B(x3)、S(x4)、H(x5)之间的函数关系：

给出预测值与真实值的误差，如表1所示。

表1 组胺浓度的预测值与真实值的误差

同理，利用多元线性回归拟合出溴酸钾浓度y1、工业碱浓度y2、硫酸铝钾浓度y3、奶中尿素浓度y4与颜色读数R(x1)、G(x2)、B(x3)、S(x4)、H(x5)之间的函数关系如下：

计算出各物质浓度的平均相对误差，M1=0.092 564，M2=3.496 4，M3=0.202 447，M4=0.136 626。

得到数据的优劣为：组胺>溴酸钾>奶中尿素>硫酸铝钾>工业碱。

为了更直观地评判数据的优劣，用Mathematica软件[5]将五维颜色读数降低为两维，如图1所示。

因此，如果专利权人拥有某个产品专利，但经他同意而将构成该产品的某个部件(即“专门用于制造专利商品的零部件或设备”)投入市场，由第三方将该部件组装成产品，这种情形下，也不适用权利用尽理论，而可能适用默示许可理论。

根据图像的平稳度，直观地判断数据的优劣为：组胺平稳度>溴酸钾平稳度>奶中尿素平稳度>硫酸铝钾平稳度>工业碱平稳度。

图1 降维处理后图像的平稳度

3．2 问题2模型的建立和求解

为了得到二氧化硫颜色读数和物质浓度的数学模型，首先采用问题1颜色读数和物质浓度的多元线性模型，得到一个简化的直观图，如图2所示，发现其线性程度较差。

为此，采用Logistic变换建立颜色读数和物质浓度的广义线性模型

其中Logistic变换

图2 二氧化硫颜色读数和物质浓度的多元线性模型

根据题目中给出的数据得到

进一步，根据Logistic变换和平均相对误差，给出模型的误差分析，得到模型的精准度与数据量的关系，如图3所示。

图3 模型的精准度与数据量的关系

由图3可知，当数据量小于20时，模型精准度较差，因为数据量较小时所建立的模型不稳定，容易造成较大的误差。

3．3 问题3模型的建立和求解

为了探讨数据量和颜色维度对模型的影响，可以选取5种物质在不同浓度下的颜色读数的数据，使每次浓度的数据量和颜色读数的维度发生改变，利用多元线性回归拟合出颜色读数与物质浓度之间的函数关系，给出预测值与真实值的误差，以平均相对误差M判断数据量和颜色维度对模型的影响，如表2所示。结果得到，模型的精准度与颜色维度正相关。

表2 以平均相对误差M判断数据量和颜色维度对模型的影响

进一步，采用Logistic变换建立颜色读数和物质浓度的广义线性模型，判断数据量和颜色维度对模型的影响，如图4所示。

图4 数据量和颜色维度对模型的影响

由图4可知，模型浓度的数据量越大、选取的颜色读数的维度越多，模型的精准度越高，预测值与真实值的误差越小。

4 结论

目前常用的检测物质浓度的比色法，由于每个人对颜色的敏感差异和观测误差，使得这一方法在精度上受到很大影响。本文建立颜色读数和物质浓度之间关系的多元线性模型，即只要输入照片中的颜色读数就能获得待测物质的浓度。为了提高检测的精准度，在多元线性模型的基础上，利用Logistic变换建立颜色读数和物质浓度的广义线性模型，给出模型的误差分析。进一步，探讨了数据量和颜色维度对模型的影响，有着实际的应用意义。