在深度对话中提升交流与反思能力*
——以一道高考压轴题的探究为例
2019-03-06
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(闽清教师进修学校,福建 闽清 350800)
“交流与反思”是数学核心素养的主要体现之一，其主要是指“能够用数学语言直观地解释和交流数学的概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结与拓广”[1].对话是交流与反思的主要途径．数学教学是一场深度对话，是师生、生生间的语言对话，也是师生与数学文本的对话，还是师生教学反思的自我对话，更是师生与数学本质的对话．通过深度对话让学生在“对话”中经历数学概念和结论的形成与发展过程，提升交流与反思能力，发展数学核心素养．本文以一道高考压轴题的探究为例，阐述数学对话教学的体会．
1 标解疑惑
笔者课前把2018年浙江省数学高考压轴题及命题组给出的参考答案印发给学生，要求学生与参考答案对话，思考命题组的思路是怎样形成的，是否还有不同的思路．
1)若f(x)在x=x1,x=x2(其中x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8-8ln 2.
2)若a≤3-4ln 2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．
(2018年浙江省数学高考试题第22题)
命题组给出的第2)小题的参考答案为：
f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0，
于是存在x0∈(m，n)使f(x0)=kx0+a．因此，对于任意的a∈R及k∈(0，+∞)，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点……
对话体会数学文本一般只呈现逻辑结论，省略了数学概念、结论、应用的形成发展过程．因此要求师生与文本进行对话，从本质上把握文本意义．在与文本对话时要努力挖掘被省略的知识发生、发展过程，把数学文本的学术形态转化为教育形态．
2 问题探究
f(m)-km-a>0,f(n)-kn-a<0,
让人如坠烟海，百思不得其解．
生1：直线y=kx+a与曲线y=f(x)公共点个数等价于方程f(x)=kx+a实根的个数.设
等价于函数g(x)零点的个数．对k>0，当x→0+时，g(x)→+∞，当x→+∞时，g(x)→-∞，由图像知，连续函数g(x)在(0，+∞)上至少存在一个零点．
师：直观想象有助于思维，但不能替代逻辑推理．
生2：根据零点存在定理，要找到正数m，n使g(m)>0，g(n)<0．根据以往经验，取特殊函数值
g(1)=1-k-a，
但都不能确定其符号．
生3：g(x)中含有k,a，所找正数m，n应该也含有k,a，但具体是什么很难知道．
(学生苦思冥想，找不到突破的方向，求助的目光投向教师．)
师：以前所找的特殊函数值能确定符号可能是巧合或函数比较简单．能否把g(x)化归为简单的函数，即把g(x)放缩为简单的函数h(x)，使g(x)>h(x)(或g(x) h(m)≥0(或h(n)≤0)， 则 g(m)>0(或g(n)<0)． -(1+k)x+1-a. (全班为生4鼓掌.) 师：生4利用重要不等式lnx≤x-1把超越函数g(x)放缩为一次函数后找到m．还可怎么找？ 则 当x∈(4,+∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增；当x∈(0,4)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，故 t(x)≥t(4)=2-2ln 2, 令2-2ln 2-kx-a=0，解得 生6：当x>0时，由k>0得-kx<0，方向不对，无法缩小． 师：是啊方向不对，希望得到-kx>____的不等式． 生6：当x>0时，得不到-kx>____的不等式． 师：对，除非对x设定范围，怎么设定？ 生6：-kx>____,即x<____，最简单就是设0 令-lnx-k-a=0，解得 x= e-(k+a)， 于是取m= e-(k+a)时，g(m)>0． 生7：似乎不妥．当0 生8：取m= e-(k+|a|)，满足0 师：是从参考答案中看到的还是自己想到的？ 生8：修改一下生6的解法就可以了！当0 -lnx-k-|a|, 令-lnx-k-|a|=0，解得x= e-(k+|a|)，于是取m= e-(k+|a|)时，g(m)>0． (教室里掌声雷动．) 师：太棒了，你们还原了命题专家的心路历程，可以参加高考命题了！ 对话体会在问题探究时，教师使用启发性话题，即引导学生一步步走向问题解决的铺垫性话题．话题紧贴学生思维最近发展区，在学生思维顿塞处引导学生不断地运用已有的知识经验，通过一系列循序渐进的感知、体验和探究，促进数学知识的建构和数学结论的发现． 学生的对话，教师要予以评价．当学生回答不出问题时，教师要予以救场，给学生提供支持和帮助，呵护学生的自尊心；当学生理解错误时，教师要予以归因，让学生剖析问题的症结；当学生观点可取时，教师要予以采纳，保护学生对话的积极性；当学生取得成果时，教师要予以赞赏，促使学生进入情绪高昂和智力振奋的学习状态． 师：再寻找n． 生9：要寻找n使g(n)<0，需把g(x)放大为简单的函数，为消去lnx，根据生6、生8的经验，设x>1，则 师：生11把g(x)放大为h(x)，再通过解不等式h(x)≤0寻找n，这种做法更具一般性． 生12：当x>1时， 生13：当x>1时，kx>k,lnx>0，从而 当x>1时，也不能保证不等式(1-k)x-a≤0有解． 生(众)：山穷水尽疑无路． 师：当x>1时，影响(1-k)x-a≤0有解的因素有哪些？ 生15：x项系数含有字母k…… 师：能否使x项系数不含k？ 生16：提取k，当x>1时， 生17：提取x，当x>1时， 做不下去了． (全体学生激情绽放.) 对话体会问题是思维的源泉，是对话的焦点．对难度较大的问题，学生往往思路茫然、解题错误、答非所问、理解偏差，这些让教学一波三折的跌跌撞撞真实地反映了学生知识、方法上存在的问题，袒露了学生的思维现状，使教师能即时掌握学情，极具教学价值．对学生的跌跌撞撞，教师不能置之不理，也不要急于纠正学生的错误，更不能直接抛出预设的方法．教师要因势利导，引发师生、生生间的深度对话，在对话中互相修正、互相补充、互相借鉴、互相启发，从而激发学生的元认知活动． 师：我欣慰地感到同学们的逻辑推理、数学运算、直观想象、数学抽象素养在提升．现在反思本课的学习，总结探求函数零点存在区间的策略． 学生踊跃发言，教师补充整理： 探求函数零点存在区间，即在零点两侧探求实数m,n(可以是一个具体的数、式或区间)，使f(n)f(m)<0． 1)特值验证：根据函数式的特征，取特殊自变量m，验证是否满足f(m)>0(或f(m)<0); 2)解不等式：当不等式f(x)>0(或f(x)<0)可解时，可直接通过解不等式求出满足f(m)>0(或f(m)<0)的实数m; 3)放缩化归：当f(x)较复杂时，可将f(x)放缩为简单的函数g(x)，使f(x)>g(x)(或f(x) 为便于放缩，可根据函数图像和解析式特征在某限定范围内进行放缩．对含有指数、对数函数的要注意运用重要不等式ex≥x+1,lnx≤x-1进行放缩． 对话体会教师使用反思性话题，让学生反思学习过程，在自我对话的基础上师生总结出解决问题的通法通则，彰显自我人性，把握数学本质． 师(下课铃声响了)：试题是否有几何背景？试题能否拓展？请同学们课后思考，下课！ 对话体会为给学优生创设思维驰骋的空间，教师在课末使用拓展性话题，要求学生进一步提出可拓展延伸的问题．本试题的几何背景是当直线y=kx+a为过y=f(x)图像拐点(16,4-4ln 2)的切线时，a=3-4ln 2．由图形知当a≤3-4ln 2时，对任意k>0，直线y=kx+a与y=f(x)有唯一公共点． 巴西学者弗莱雷认为：没有了对话，就没有了交流；没有了交流，也就没有真正意义的教育[2]．在新一轮课程改革中，教师要以“对话教学”为抓手，提升学生交流与反思的能力．通过深度对话，在思维建构中把握本质，形成素养；在交流中取长补短，互惠共赢；在反思中内化醒悟，加深理解；在评价中树立信心，体验喜悦；在总结中揭示规律，提炼通法；在拓展中深化思维，提出命题．
3 结束语
