核心素养视野下高中数学题的“精”解*

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(严州中学新安江校区,浙江 建德 311600)

数学核心素养是数学课程目标的集中表现，它在学生自主发展中发挥不可替代的作用，是在数学学习过程中逐步形成的.核心素养的培育离不开解题，著名数学家波利亚曾经说过：掌握数学就意味着善于解题[1]，由此可见解题教学在数学学习中极为重要，以题为载体、以解题能力培养为抓手是发展学生数学核心素养的重要途径.但在实际教学中，“灌输”还是主旋律，“题型+技巧”还很普遍，这样的解题教学只是一味模仿，学生参与缺少、思考缺乏、迁移缺失.笔者认为解题教学要注重解题思想和方法的渗透，充分暴露思维过程，做到精准把握问题本质，精细处理过程，精巧规范思维，激活学生的思维，使学生摒弃仅靠模仿的解题习惯，真正在理解数学的基础上学会思考、提升能力.

1 精准把握问题本质

张奠宙先生认为：如果用一个关键词来概括数学思维的特征,那就是“精准思维”.“精准”是数学学科素养的体现,是数学科学的主要特征,一切数学都是为了精准[2]，数学教育是为人们精准思维和行为的养成提供服务.

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：在数学教学中要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维淹没在形式化的海洋里.笔者认为解题教学既要有数学味又能接地气，在解题教学中要精准把握学生的“最近发展区”，在认真研究学生的基础上明确学生“在哪里，到哪里去，怎样去”，积极引导学生思考；在研究问题(全面了解问题)的基础上明确问题的背景，深挖问题的本质特征，揭示方法与本质，让解法更自然、更易于接受.

(2018年浙江省绍兴市第二次数学模拟试题第15题)

分析本题主要考查三角形外心的概念和性质、向量数量积的运算,考查数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，对学生数形结合能力及转化与化归能力的要求较高.

教师从外心的概念和性质入手，引导学生思考，抓住问题的本质，给出如下的思路：

即

两边取模平方，得

(α+β-1)2=α2+β2-αβ,

则

3αβ=2(α+β)-1.

思路2因为外心是三角形3条中垂线的交点，考虑运用向量数量积的投影.设∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c,则

整理得

c=2αc+βb,

同理可得

b=2αb+βc,

消去b,c，得 3αβ=2(α+β)-1,

思路3考虑到向量中α+β的本质，联系等和线的性质，延长AO交BC于点D.因为点B，D，C共线，所以

分析如果仅仅是表面观察该题，无论条件式还是所求式都比较繁琐，但只要剥去外面的“包装”进行结构分析，通过适当变形或换元，便可得到以下思路：

因为3x2+5xy-2y2=(x+2y)(3x-y),设x+2y=a,3x-y=b,则

评注例1抓住外心的概念与性质以及α+β的本质，从3个角度入手展开思考，得到较为精准的把握和处理；例2在精准结构分析的基础上，剥去“包装”，回归题目的本来面目，让思维更自然，使问题获得更形象、直观的解法.在解题教学中，要高度重视精准的概念思考、精准的结构分析，重视方法的本质探究，找准问题的突破口，让学生真正学会分析、学会独立解题，能够十分精准地进行直观想象、逻辑推理、数学建模，从而有利于学生重构知识网络,有效提高数学核心素养.

2 精细处理解题过程

数学特级教师孙维刚曾说：“教学不是自然主义，随便怎么做都可以达到目的，而是在教学的每一个环节、每一个细节，都要周密考虑、精心安排.”在解题教学中，教师要精心布局,从问题串的设计、素材的选取、例题的选择,到方法的预设都要作细致处理，既要有预设又要有生成，还要充分暴露学生的思维过程,强调学生的积极参与.例如对于解题过程中学生思维终止的“节点”，包括思维的“受阻点”、运算的“盲点”等都要作细致分析和指导，并合理优化.

分析本题主要考查最值问题、基本不等式的应用，对学生的化归与转化能力要求较高，考查逻辑推理和数学运算核心素养.

解因为a+b=4，所以可设a=2+x,b=2-x(均值代换),则

评注如果解题到此为止，那么这样的教学只是重现了解题过程.教师忽视总结提炼，从而失去了深层探究的机会.教师要提醒学生思考：此时经检验a与b不相等，这是什么原因；什么情况下当a=b时取到最值呢……带着这些问题引导学生深度研讨，得出结论：当换元后关于ab或a+b的函数是单调的，其最值就在端点处取到，此时a=b，否则就不一定在a=b时取到最值，这就是细节的把握.

(2010年安徽省数学高考理科试题第20题)

证明由题意

(1)

当n≥2时，

(2)

式(1)-式(2)，得

从而

2=nan-(n-1)an+1.

由2=(n+1)an+1-nan+2,得

2nan+1=nan+nan+2,

即2an+1=an+an+2(其中n≥2,且n∈N*)，将n=1代入已知条件,得

即

2a2=a1+a3,

从而2an+1=an+an+2(其中n∈N*),于是数列{an}为等差数列．

评注本例着眼于计算细节的处理，教师把为何要检验当n=1时的情况讲清楚，让学生明白在解决这类问题时一定要注意n的范围，当n≥2时成立再加上a3+a1=2a2才能得到本题的完整证明.

又如在解决“ax3-3x+2≥0在x∈[-2,2]上恒成立，求实数a的范围”时，教师对于细节的处理可见一斑：一方面渗透必要条件，缩小参数a的范围，然后讨论求解的重要思考方法；另一方面给出数形结合的图形，引导学生搞清问题的由来，实际上是函数f(x)=ax3的图像恒在直线g(x)=3x-2的上方，过(-2,-8a)的直线g(x)=3x-2刚好与f(x)=ax3相切于(1，1)，故a=1.

当一个教师开始关注解题教学中的每一个细节、关注问题的呈现时机、关注难点突破、关注方法的联系和迁移、关注解题规律的本质揭示……，就一定会有意想不到的效果.因此，教师要注意运算与推理的有机结合，引导学生在知识的整体框架下进行解题分析，要不断揭示解题的套路和缘由，让学生认清知识不足，对错误作归因分析，从而明确运算方向，选择恰当的运算策略和灵活的运算途径，进一步降低运算难度，提高准确性，提升数学解题能力.

3 精巧规范数学思维

《新课标》指出：数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言，在数学学习的过程中，逐步学会用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维分析现实世界、用数学的语言表达现实世界.周密准确的表达对培养思维的逻辑性和严谨性具有十分重要的作用.谈到规范，我们想到的往往是书写的规范，只有重视解题过程的语言表述，将解题过程转化为得分点，这样“会做”的题才能“得分”.书写主要靠准确完整的数学语言表述，提供合理的文字说明，例如答题过程要整洁美观、概念表达准确、答出关键语句和关键词，不要出现“会而不对”“对而不全”的情况.

推理、运算的核心都是逻辑思维活动，事实上,书写的规范更多反映的是学生是否能够规范合理地进行思考.课堂教学的一个首要任务是引导学生思考并寻找思路,这就需要教师必须是“明白人”(明白之人使人明白)，明白问题的思维逻辑，能够站在数学研究的高度揭示数学问题的本质，摒弃缺乏解题思想引领的所谓的解题技法，引导学生用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维分析现实世界、用数学的语言表达现实世界.

波利亚曾指出:数学教学首先和主要的目标是“教会那些年轻人去思考”.布鲁纳也指出:教授一门学科,就是要学生参与知识的建构,掌握该学科的思维方式.教给学生的思维应该符合学生的“最近发展区”，符合数学的逻辑顺序，也就是说必须“规范地”思维,促进学生学会数学地思考、理性地思考、有条理地思考.

1)求a,b的值；

2)证明：f(x)>1.

(2014年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第21题)

分析1)a=1,b=2.

评注本例教师通过几个重要函数的研究以及函数凹凸性的比较不断优化解法，以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考[4].在教学中，教师要积极探索和实践高中数学的解题思维，关注课堂内容的知识逻辑和思维逻辑，暴露解题思路的探索过程,让学生清晰认识破解及转换的关键，通过对话展示学生的思维过程和规范数学语言的应用，提升逻辑推理数学素养.

总之，在解题教学中，教师要尽可能地引导学生展示并感悟数学解题的思维过程，在清楚“如何做”的基础上，更要理解“为何这样做”，避免机械盲目地生搬硬套[5].通过精准把握问题本质、精于细节处理、精巧规范数学思维，使学生能运用所学知识清晰地分析问题，能直接道出问题的本质和解决问题所用的思想方法，建立知识之间的联系、对比、分析，并能合理迁移，进而提升解题能力.