由微分算子L定义的单叶调和函数新子类
2019-03-01黄叶腾
黄叶腾
(汕头大学数学系,广东 汕头 515063)
0 引言
在一个单连通区域Ω上,一个连续复值函数f=u+iv称为调和函数,如果它的实部和虚部都是实调和函数.在任意的单连通区域Ω内我们可以记:,其中h和g都是解析的.在区域Ω内,f是局部单叶和保向调和的当且仅当[1].在1984年,Clunie和Sheil-Small[1]引入了函数类SH与它的子类,并且还得到了一些系数估计.自从那以后便出现了很多关于单叶调和函数子类的文章,我们可以通过查找参考文献[2-4]来了解这类调和映射的最新研究进展.在文献[5]中,Jahangi证明了f是α星形单叶的,并且研究了单叶调和函数类,其中0≤α<1.在文献[6]中,作者利用L算子把上述函数类进行了推广,他们引入了两个单叶函数类:,其中 0≤α<1,0≤≤1.在文献[7]中,作者利用L算子定义了Goodman-Rønning-type单叶调和函数类G(Hα).
受到上面文章的启发,利用线性微分算子L,我们定义了两个单叶调和函数类:GH(,α,ρ)与TG(H,α,ρ),并研究了它们的相关性质.另外,我们还获得关于这类调和映射的系数条件,偏差定理,极值点,以及他们在凸组合和卷积运算下的不变性.
1 准备知识
令SH表示所有定义在单位圆盘D上且单叶和保向的调和函数f=h+构成的集合,其中
定义1 我们定义线性微分算子L如下:
定义2 设GH(,α,ρ)表示所有满足下面条件的单叶调和函数f=h+构成的集合:
我们进一步定义GH(,α,ρ)的子类TGH(,α,ρ),其中 TGH(,α,ρ)中的函数 f具有如下形式:
2 主要结果及证明
2.1 系数估计
我们首先讨论的是调和映射f∈GH(,α,ρ)的一个充分条件.
其中
a1=1,0≤α<1,0≤≤1,ρ≥0,那么f是保向单叶的.若≤(1-α)/(1+α),则f∈GH(,α,ρ).
故由(5)-(7)知
因此,f是保向的.
我们注意到,如果g(z)≡0,那么(fz)是解析单叶的,因为GH(,α,ρ)中的映射均为单叶的.如果,那么我们要证明f是单叶的,只需证明对任意的,有.
不失一般性,不妨设f不是恒等映射.设z1和z2是D中任意两个不同的点,故由(5)-(7)可知
因此,f在单位圆D内是单叶的.
其中
替换(8)中的 A(z)和 B(z),再由系数条件(5)和≤1-α/(1+α)知,
和
因此,
从而,f∈GH(,α,ρ),定理 1 得证.
注2 下面的调和函数f是定理1中系数条件(5)能取到等号的结果.
因此,函数f∈GH(,α,ρ).
其中 a1=1,0≤α<1,0≤≤1,ρ≥0,≤1-α/(1+α),且C1,n,C2,n为定理1中系数.
证明 因为TGH(,α,ρ)⊂GH(,α,ρ),我们只需要证明这个定理的必要部分即可.由(3)知,
而上面条件又等价于
由于上面的条件必须对所有的z∈D都成立,为了计算方便,取z为正实数,即0<z=r<1.我们可以得到
其中
其中
定义3[8]对于D上的单叶函数f,如果曲线(frei)t关于原点是星形的,那么称函数f是星形的,其中0<r<1,(f0)=0.换句话说,如果,那么函数f是星形的.
下面引理是星形函数和L算子之间的一个等价关系.
引理1[8].
推论1 如果f∈TGH(,α,ρ),那么 f是星形的.
[由(9)知]
其中 C1,n,C2,n为定理1中系数.因此,推论1得证.
2.2 偏差定理
定理3 如果f∈TGH(,α,ρ),那么
和
其中
证明 设 f∈TGH(,α,ρ),则
同理,可证
其中C1,n,C2,n为定理 1 中系数.因此,定理3得证.
显然,由定理3可得以下覆盖定理.
推论2 如果f∈TGH(,α,ρ),那么
其中K1,K2定理3中的系数.
2.3 极值点,凸组合和卷积
定理4 f∈TGH(,α,ρ)当且仅当
这里
且 C1,n,C2,n为定理1中系数.特别地,TGH(,α,ρ)的极值点是以上定义的两类映射{hn}和{gn}.
证明 对于具有形式(11)的函数f,我们有
那么
因此,f∈TGH(,α,ρ).
反过来,如果f∈TGH(,α,ρ),我们设
定理得证.
定理5 函数类TGH(,α,ρ)中的元素在凸组合运算下是不变的.
证明 对于i=1,2,3,…,设fi∈TGH(,α,ρ),其中 fi被记为如下形式:
则由式(9)知
那么由式(12)可得,
其中C1,n,C2,n为定理1中系数.从而,得证.
最后,我们根据调和函数卷积的定义来证明函数类TGH(,α,ρ)关于卷积的运算的封闭性.所得结果如定理6.
定理6 设f∈TGH(,α,ρ),F∈TGH(,β,ρ),0≤β≤α<1,那么
证明设
因为 F∈TGH(,β,ρ),故.
由定义4知,
所以
故f*F∈TGH(,α,ρ).
从而TGH(,α,ρ)⊂TGH(,β,ρ),其中
且 C1,n,C2,n为定理 1 中系数.因此,f*F∈TGH(,α,ρ)⊂TGH(,β,ρ).