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椭球型Bochner-Riesz平均的Lp收敛

2019-03-01林翠云

关键词:球型椭球高维

林翠云

(汕头大学理学院,广东 汕头 515063)

0 引言

Fourier积分的线性求和问题是多元Fourier分析中的重要问题,其中三种重要的求和法分别是:Gauss-Weierstrass平均、Abel-Poisson平均和球型Bochner-Riesz平均.其中,Gauss-Weierstrass平均、Abel-Poisson平均以及高于临界指数的球型Bochner-Riesz平均有较为成熟的结论[1-2],而低于或等于临界指数的球型Bochner-Riesz平均的情况则比较复杂.对于该问题,1954年Herz[3]给出了球型Bochner-Riesz平均Lp有界的必要条件,在此基础上,人们猜测其充分性也成立,这就是著名的Bochner-Riesz猜想[2].许多著名数学家为此做出了杰出的贡献,如Carleson与Sjölin解决了二维情形[4]等,而高维情形迄今尚未解决,它与Fourier限制性猜想、Kakeya极大函数猜想以及Besicovitch集的Hausdorff维数有着密切的联系[2,5].因此,Bochner-Riesz平均的Lp有界性问题成为调和分析中重要而又具有挑战性的问题之一.虽然Bochner-Riesz平均Lp有界性还没有彻底解决,但是对于球面情形,已经有不少著名的结论,譬如二维情形已经被彻底解决[2],在一些合适的指标下,高维情形Lp收敛性依然是成立的.本文以此作为出发点,将球面结论推广到椭球面,主要内容是证明椭球型Bochner-Riesz平均Lp收敛性与Lp有界性是等价的,并在适当的指标范围内证明椭球型Bochner-Riesz平均的Lp收敛性.

1 定理的提出

1.1 球型Bochner-Riesz平均的介绍(见文献[2])

假设 f∈L(Rn),是 f的 Fourier变换,则 f的 Fourier积分的球型 Bochner-Riesz平均为

我们已知球型Bochner-Riesz平均的Lp收敛有以下结论.

结论1 令f∈L(pRn),1<p<+∞.等式

成立,当且仅当存在一个常数Cp使得不等式

成立,这里Cp与R无关.(见文献[6])

结论2 令f∈L(pRn),1<p<+∞.算子Tα在L(pRn)上具有有界扩张,当且仅当对任意f∈L(pRn),存在一个常数Cp使得不等式

成立.这里Tα是

其中,

Ω(Rn)是Schwartz函数空间,(Φα)∧(x)=B(αx).(见文献[6])

1.2 椭球型Bochner-Riesz平均

1.2.1 椭球体: 令a1,a2,…,an>0,定义n维椭球体

其中,Rn是n维欧氏空间.

1.2.2 椭球型Bochner-Riesz平均核: 定义函数

1.2.3 椭球型Bochner-Riesz平均的定义: 假设f∈L(Rn),是f的Fourier变换,则f的Fourier积分的椭球型Bochner-Riesz平均为

其中,a=(a1,a2,…,an),ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn). 对 Reα>-1.

相应地,令f∈Ω(Rn),我们定义椭球型Bochner-Riesz算子如下:

1.3 主要结论

有了椭球型Bochner-Riesz平均的定义,下面我们将给出椭球型Bochner-Riesz平均的Lp收敛性结论.

定理1 令f∈L(pRn),1<p<+∞.等式

成立,当且仅当存在一个常数Cp使得不等式

成立,这里Cp与R无关.

定理2 令f∈L(pRn),1<p<+∞.算子Tα在L(pRn)上具有有界扩张,当且仅当对任意f∈L(pRn),存在一个常数Cp使得不等式

2 预备知识

2.1 Bessel函数及其性质

2.2 Schwartz函数空间

Rn上的一个无穷次可微复值函数f是Schwartz函数,如果对任意一对多重指标α和 β,存在正常数 Cα,β使得

其中,α=(α1,α2,…,αn),β=(β1,β2,…,βn),αk,β(kk=1,2,…,n)是非负整数.

2.3 命题1

椭球型Bochner-Riesz平均有以下等价形式

所以由(*)式,我们将(1)式转化成

2.4 命题2

椭球型Bochner-Riesz平均有以下等价形式

其中,Sn-1是 n 维欧氏空间中的单位球面,是 n维球面坐标变换的Jacobi行列式(见文献[7]).

由(2)、(**)式,我们可以得到

2.5 引理1

2.6 引理2

证明 因为椭球型Riesz平均

3 定理1的证明

因此,

令ε=1,当R>R0时,.

当 R∈(0,R0]时,

因为L(pR)n是一个Banach空间,根据一致有界原理,有界,记,则

假设存在常数Cp>0,使得对任意f∈L(pRn),有.

因此,根据Lebesgue控制收敛定理,我们有

定理1证毕.

4 定理2的证明

假设算子Tα在L(pRn)上具有有界扩张,因为对任意f∈Ω(Rn)我们有

因此,对任意f∈L(pRn),我们有

因此,我们有

其次,我们证明算子Tα在L(pRn)上具有有界扩张.

假设对任意f∈L(pRn),存在常数Cp使得成立.因为在L(pRn)中稠密,Ω(Rn)也在L(pRn)中稠密.令a0=(1,1,…,1),则对任意f∈Ω(Rn),我们有

定理2证毕.

5 定理3、4的证明

根据定理2,以及结论2,我们得到椭球型Bochner-Riesz平均Lp有界性与球型Bochner-Riesz平均Lp有界性是等价的.因此,它们Lp的有界性具有相同的指标适应范围,即.定理3得证.

6 总结

本论文证明了椭球型Bochner-Riesz平均Lp收敛性与Lp有界性是等价的,并证明了低于或等于临界指数的椭球型Bochner-Riesz平均Lp收敛性的指标p的适应范围,且二维情形下低于或等于临界指数(适应指标p的范围的椭球型Bochner-Riesz平均具有Lp收敛性.因为二维情形的球型Bochner-Riesz平均猜想的已有证明方法不能推广到高维(n>2)情形上,所以目前高维情形还未得到完全的证明.因此,接下来的工作我们将致力于寻找高维情形新的证明方法.

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