以一棵树摇动另一棵树

孙洪珍

“锐角三角函数”是初中数学所学的函数之一，相较于以前所学过的一次函数、反比例函数和二次函数，它比较特殊。特殊之处在于它的变量是角度，而不是具体的数值，还有它的函数表达式也比较特别，不是简单的y与x之间的关系。高中把角度制改成弧度制，写成如y=sinx，y=cosx，y=tanx的形式，就比较容易理解了。其实如正弦函数，将函数的表达式隐藏在对sinA的解读里。平时在教学过程中，我们可能会忽略函数的本质，让学生对三种函数加以熟记，记住怎么求就可以了，但未使学生真正将三角函数纳入函数的体系，也就没有将这个概念的学习落实到位。浙教版数学八年级上册第五章对函数的概念是这样描述的：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。所以从函数角度出发，来学习“锐角三角函数”，是对三角函数有本质的理解，为高中进一步学习打好基础。

本课在浙教版数学九年级下册第一章第一节课，是一节起始课，是初中数学的重要内容之一。它在学生已学过直角三角形的边关系——勾股定理，角关系——锐角互余，以及相似等知识的基础上来进行学习的。它进一步将直角三角形中边和角的关系串联起来，通过边的关系求角度，也可通过角度来求边长，三角函数可以解决直角三角形中的相似问题，利用三角函数求直角三角形的边长更加方便。对于本节课的难点是锐角三角函数这个概念本身。如何落实概念，是本节课的难点。

教学过程片段：

一、抛砖引玉，引入课题

师：如图1，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=4，你能求出∠A的度数吗？为什么？

生1：可以的，因为我们知道在直角三角形中，如果直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°。

师：说得没错，我们可以通过边的特殊关系求角度，接下来，我们来看下一题。如图2，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，你能求出∠A的度数吗？为什么？

生2：这个我们就不知道了，因为没有特殊的关系，只能测量了。

师：是的。同学们，我们已经知道，在特殊的直角三角形中，我们可以通过边长来计算角度，也可以通过角度来计算边长，但在一般的直角三角形中，我们就受到了一定的局限性。为了解决这些问题，我们开始本章的学习。

二、合作学习，提出概念

1.作一个30°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C，计算BC/AB，AC/AB，BC/AC的值，并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较。

2.作一个50°的∠A，在角的边上任意取一点B，作BC⊥AC于点C，量出AB，AC，BC的长（精确到1mm），计算BC/AB，AC/AB，BC/AC的值（精确到0.01），并将所得的结果与你的同伴所得的结果作比较。通过上面两个实践操作，你发现了什么？

3.当∠A的大小固定时，这些边的比值是否会随着点B的位置不同而发生改变？当∠A的大小发生改变时，这些边的比值是否也发生改变？这种变化让你联想到了什么？

本节课的难点就在于对锐角三角函数的理解，通过小组合作，群策群力突破难点。

生3：我们小组发现在30°的∠A中，这些边的比值是一样的，因为300的直角三角形，三边之比为1：2：而当∠A为50°时，我们通过测量比值比较接近。

生4：我们组也是比较接近的。

师：这两位的学生通过测量，发现这些边的比值比较接近。由于我们测量有一定的误差，结果不完全相同，但都是比较接近的。我們能从理论角度来说明这些边的比值随着点位置的改变而不变的原因吗？

生5：如果把两幅图放在一起，我的直角三角形与其他同学的直角三角形相似，所以这些边的比值是不变的。

师：这位同学透过表面看到了本质，我们通过实验操作，发现规律，并结合理论知识加以证明。这是我们进行探究的常用方法。我们发现当∠A不变时，这些边的比值不变，那么当∠A的大小发生改变时，这些边的比值会怎么样呢？

生6：当然发生改变了。因为角度不同，所以三角形相似也就不成立了，这些边的比值也一定发生改变了。

师：我们大家共同讨论，发现当∠A发生改变时，这些边的比值随着∠A的变化而变化，这使大家联想到了什么？

生7：函数。

师：是的，我们用函数来刻画这种变化。像这样，按照上面的作图方法，如图5，这些边的比值随着角度的改变而改变，我们把比值BC/AB，AC/AB，BC/AC看作是关于∠A的函数。如图：我们把比值BC/AB叫做∠a的正弦，记做sina，即sina=BC/AB。同样，比值AC/AB叫做∠a的余弦，记做cosa，即cosa=AC/AB;比值BC/AC叫做∠a的正切，记做tana，即tana=BC/AC。这里sina，cosa，tana都是完整的符号，单独的“sin”没有意义。其中a前面的“∠”一般省略不写，除非用三个大写字母或者用数字表示角的时候。

师：锐角a的正弦、余弦、正切统称∠a的三角函数。如果∠a

师：对于这个三角函数，它与我们所学过的函数从表面看并不一样，接下来，我们从函数的角度来揭开它的面纱。

三、问题为媒，进行类比

从函数角度，围绕下面三个问题，来进一步学习锐角三角函数的概念。

1.锐角三角函数的变量和函数解析式。

2.自变量的范围，以及函数的范围。

3.函数的图象和增减性。

师：我们已经学过一次函数，反比例函数和二次函数，谁能告诉我函数的概念。

生8：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，加果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。