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2019-02-26韩文美

中学生数理化·高一版 2019年2期

■韩文美

统计内容涉及统计的基本概念、抽样方法、总体分布、总体特征数及回归方程等，是每年高考的必考点。主要考点包括抽样方法的选择与计算，总体分布中的统计图表的识别与应用，总体特征数的计算与应用，回归方程的求解与应用，以及统计知识的交汇与综合应用问题等。

1.抽样方法的考查

主要考查抽样方法的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。主要以分层抽样为主。

例1（2018年全国卷Ⅲ文·14）某公司有大量客户，且不同年龄段的客户对其服务的评价有较大差异。为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样法、分层抽样法和系统抽样法，则最合适的抽样方法是____。

由于不同年龄段的客户对其服务的评价有较大差异，根据抽样方法的性质知最合适的抽样方法是分层抽样法。

简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，三种抽样方法都是等可能抽样，体现了它们的客观性和公平性。但各自又有各自的特点，在实际应用中要注意三种抽样方法的区别。

2.总体分布的考查

总体分布的考查主要通过统计图表的形式呈现，包括统计中常用的频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线、茎叶图、扇形图等。①图表的比较信息，确定不同数据的结果情况。②图表的数据信息与统计信息，通过识图表、读图表，从图表中获取数据信息并加以统计，从而通过这些统计图表给出相应的统计信息，或通过相应的统计信息得出统计图表。高考考查中主要以频率分布表、频率分布直方图等为主，经常出现在选择题、填空题中，难度不大。

例2（2018年全国卷Ⅰ文、理·3）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了1倍。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计出该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，如图1所示，则下面结论中不正确的是（）。

A．新农村建设后，种植收入减少了

B．新农村建设后，其他收入增加了1倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了1倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

假设建设前的经济收入为100，则建设后的经济收入为200。可得建设前的种植收入为100×60%=60，建设后的种植收入为200×37%=74，A项错误。建设前的其他收入为100×4%=4，建设后的其他收入为200×5%=10，B项正确。建设前的养殖收入为100×30%=30，建设后的养殖收入为200×30%=60，C项正确。建设后，养殖收入与第三产业收入所占比例之和为30%+28%=58%，超过了经济收入所占比例的一半，D项正确。故选A。

通过统计中扇形图的识别与应用、数据信息的处理来考查数据分析的数学核心素养。解决此类统计图表问题，关键是从统计图表中正确读出对应的数据信息，并加以正确转化，从而合理地进行数据分析与数据处理。

3.总体特征数的考查

总体特征数中，众数、中位数和平均数是三种最常用的特征数，为我们提供了关于样本数据的特征信息，从不同的侧面反映数据的分布状态。标准差、方差用来考查样本数据分散程度的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小。特别是在样本数据的平均数相同的情况下，经常通过考察标准差或方差来进一步分析数据的分散程度。

例3（2018年江苏卷·3）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图2所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为____。

图2

由茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数分别为89，89，90，91，91，它们的平均数为

本题巧妙地把茎叶图与平均数加以交汇进行考查。平均数和中位数能反映一组数据的集中趋势，而标准差和方差能反映一组数据的稳定程度。

4.回归方程的考查

变量之间的相关关系主要包括两个变量之间关系的确定，以及当两个变量具有线性相关关系时回归方程的求解及其应用等。解答相关问题时，要厘清两个变量之间的函数关系与相关关系的区别与联系，以及准确确定回归直线，根据回归直线的系数公式正确地求出回归方程，从而进一步加强数学应用意识，培养运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

例4（2018年全国卷Ⅱ文、理·18）图3是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图。

图3

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：ˆy=—30.4+13.5t。根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：ˆy=99+17.5t。

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值。

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由。

（1）利用模型①，得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆy=—30.4+13.5×19=226.1（亿元）；利用模型②，得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆy=99+17.5×9=256.5（亿元）。

（2）利用模型②得到的预测值更可靠。理由如下：

从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=—30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述该地区环境基础设施投资额的变化趋势。2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型②，可以较好地描述2010年以后该地区的环境基础设施投资额的变化趋势。因此利用模型②得到的预测值更可靠。

从计算结果来看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值256.5亿元的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠。

本题主要考查线性回归方程的特征及其应用，考查对统计数据的分析与处理能力。数据的数学化分析是数学对自然科学的一大重要贡献，如线性回归方程的预测与实际已有数据的比对，统计中线性回归模型必过数据中心点等，是判断模型预测可靠性的重要依据。