遗传算法结合差分法求解某受压杆件临界荷载①

2019-02-15高守栋

佳木斯大学学报（自然科学版） 2019年1期

吴珂, 高守栋

(1.安徽建筑大学土木工程学院，安徽合肥 230601；2.广州大学土木工程学院，广东广州 510006)

0 引言

对受压构件稳定性分析方法有：中性平衡法、微分方程法、能量法、变分法、势能驻值法、差分法、有限单元法等[1]。

差分法又称差商法，是一种用差商近似导数的方法，分为向前差商型微分公式、向后差商型微分公式和中心差商型微分公式[2]。将一端固定一端铰接的轴心受压杆件划分为n段，运用差分公式使得微分方程转化为代数方程的形式，从而将微分方程的问题简化为代数方程组的问题。但是，该方程组为含有一个未知量的代数方程组，若使用传统方法，求解代数方程组工作量大，求解一元高次多项式的根也很困难[1]。

受一篇文章的启发[3]，在差分法的基础上，先使用MATLAB求出代数方程组的解，该解是含有一个未知量的高次多项式。再使用人工智能算法中的遗传算法求解一元高次多项式的最小正根，从而得到一端固定一端铰接的轴心受压杆件的临界荷载Pcr。差分法结合遗传算法求Pcr，求解思路清晰，过程简单。

1 代数方程组的求解[1]

1.1 n=2时，代数方程组的求解

函数y=f(x)的图形见图1，纵坐标y(i-2h)、y(i-h)、y(i)、y(i+h)、y(i+2h)分别表示函数f(x)在i-2h、i-h、i、i+h、i+2h处的函数值，h为各相邻点间的距离，于是有二阶导数的差分公式

(1)

四阶导数的差分公式为

(2)

下端固定、上端铰接的轴心受压杆件图见图2，其四阶微分方程为

(3)

将公式(2)和(3)代入(1)得到任一点i的差分方程为

ui+2h-4ui+h+6ui-4ui-h+ui-2h+

(4)

将杆件分为两段，其图形见图3，此时n=2，i=1，h=L/n=L/2，由公式(4)和边界条件可得方程组

u0=0

u2=0

u-1-u1=0

u1+u3=0

(5)

(6)

令Ax=b，其中

A是一个5阶方阵，且含有未知量T。为了使得Ax=b有非零解，则必有A的行列式为0，det(A)=0 ⟹6-2T=0。

图1

1.2 n>2时，代数方程组的求解

当n>2，表示杆件划分的段数≥3，此时矩阵A的阶数≥6，如果采用手算则计算量很大，且容易出错。采用MATLAB中的函数det(A)[6]，会返回A的行列式的值，能够快速准确的计算A的行列式。调用的代码为f=det(A)，即将函数det(A)返回的值赋予f。n=3时，方程组Ax=b的形式为：

(7)

图2

图3

表1 矩阵A行列式的值

图4

2 遗传算法求解一元高次多项式的根

2.1 遗传算法简介

1975年，Michigan大学的J. H. Holland对遗传算法进行了系统的研究，并发表论文[7]阐述了遗传算法的基本理论和基本方法。De Jong是Holland的学生，他在其老师研究的基础上，使用计算机做了大量数值实验并得出具有指导意义的结论[8]。在计算机技术快速进步的80年代，遗传算法在工程优化领域、经济预测领域、机器学习等领域得以成功应用。90年代至今，遗传算法已经形成一套完整的体系，并随着人工智能技术的发展不断完善。

2.2 运用遗传算法求T[9]

通过GUI使用MATLAB遗传算法工具箱[10]，版本为2014A，对表1中关于T的多项式进行求解。

当n=2时，f(T)=6-2T。由于ga函数只解决最小值的问题，所以直接使用f(T)=6-2T作为目标函数求T是不可取的，必须要对f(T)作适当变换。这里采用加绝对值的方法，将求解f(T)=6-2T=0的根的问题转化为求g(T)=|f(T|)=|6-2T|的最小值的问题，求得T的值为3。

当n=3时，f(T)=-3T2+16T-19,g(T)=|-3T2+16T-19|。函数f(T)有两个根，使用ga函数能够把所有的根求出。随着n的增大，f(T)的根会越来越多，要求的是f(T)的最小正根，因此需要对ga函数施加约束。约束条件为T2，求解的结果T=1.78。需要注意的是，n不同则约束条件也不同，这里用g(T)的函数图像来修正约束条件。n=2，3，…，10时T的值见表2。