一道用微元法求解物理题的推广

韩福济

(湖北省武汉市华中科技大学附属中学 430074)

一、题目及微元法

例1 如图1(a)，一质量为m的均匀闭合细绳套在一光滑铁圆锥上，铁圆锥半顶角为α，求解当细绳平衡时，绳中的张力为多少？

分析：细绳在光滑铁圆锥上的每点受力相同，如以整个细绳为研究对象，则问题变得很难，而将细绳用微元法化为小的微分弧段，也可以认为是质点为研究对象，就可以分析其受力，从而将问题迎刃而解.

解将细绳划分为n个小弧段，取其中的一个弧段微元为来研究.

假设绳圈的半径为R，这个小弧段的圆心角为θ,质量为Δm，微元的受力分析如图1(b)所示：重力为Δmg，弹力为N，合力为T，有平衡条件得到下列式子：

(1)N·cosα=T，N·sinα=Δmg.

现在设微元弧段的两个端点的张力分别是T1、T2，并且它们的大小相等，其合力T，方向指向原点O. 由力的分解可知：

并且由于绳圈是均匀的，所以有

联立(1)(2)(3)式，得到：

二、将圆锥体推广为光滑铁球体

例2 如图2(c)，一质量为m的均匀闭合细绳套在一光滑铁球体上，铁球体的半径为R，绳套的长度为L，且绳套长度小于球的大圆周长. 求解当细绳平衡时，绳中的张力为多少？

分析1 类比于例1，进行分析计算.

重力为Δmg，弹力为N，合力为T，有平衡条件得到下列式子：

现在设微元弧段的两个端点的张力分别是T1、T2，并且它们的大小相等，其合力T，方向指向原点O. 由力的分解可知：

并且由于绳圈是均匀的，所以有

联立(5)(6)(7)式，得到：

分析2 在球体上，假设有一个圆锥体相切于绳套处，如图3. 则问题转化为例1中的圆锥体上绳套的张力问题，就可用例1的结果.

所以利用例1的结果就得到所求的绳子的张力为

三、将圆锥体推广为更一般的旋转体

例3 如图4，一质量为m的均匀闭合细绳套在一光滑的花瓶上，花瓶表面是一个旋转体的表面. 旋转体表面是由函数y=1-x2绕着y轴旋转一周得到的，绳套的长度为L. 求解当细绳平衡时，绳中的张力为多少？

分析在这个花瓶上，也同样假设有一个圆锥体相切于绳套处，如图4. 则问题转化为例1中的圆锥体上绳套的张力问题.

解(转化法) 假设有一个圆锥体相切于绳套处，如图4. 那么铁球体上绳套中的张力就变为圆锥体上的绳套的张力问题. 所以只需要求出相切的圆锥体的半顶角α即可.

所以利用例1的结果就得到所求的绳子的张力为

最后再留一个问题，对于更一般形状的，比如光滑的椭球体，是否有解决办法？