利用函数的性质求解数列问题

2019-02-15邵超群

数理化解题研究 2019年1期

关键词：正整数周期性单调

邵超群

(江苏省南京师范大学 210024)

一、利用函数的单调性求解数列问题

例1 (2013.上海)在数列{an}中，an=2n-1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj,(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)，则该矩阵元素能取到的不同元素的个数为( ).

A.18 B.28 C.48 D.63

分析解决这道题目首先要理解不同元素的意思，即元素不重复.由于该矩阵的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)，要使aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12)(找出重复元素)，则满足2i+j-1=2m+n-1，得到i+j=m+n.由指数函数的单调性可知：当i+j≠m+n时，aij≠amn，因此即可得出该矩阵元素能取到的不同数值是i+j(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)的所有不同和.

解答该矩阵的第i行第j列的元素cij=aiaj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12)，当且仅当i+j=m+n时，aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12).因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2,3,…,19，共18个不同数值.故选A.

反思由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，aij=amn(i,m=1,2,…,7;j,n=1,2,…,12)是解题的关键.

解(1)、(2)略；

反思数列问题中像第三问这种不等式的证明高考题中很常见，常常需要运用分析法，把问题转化为一个个熟悉的问题进行求解.例如本题是转化为一个新的函数，最终利用函数的单调性证明，在这个过程中常常会使用放缩法等有技巧性的手段.教师在实际的解题教学中可以简要地介绍几种常见的放缩结构，注意把重点放在问题的分析上.

二、利用函数的周期性求解数列问题

解该数列前2012项和可分为两部分求解：一部分是常数项1求和，其和为2012；

反思由三角函数周期性化简求和是解题的关键，教师在平时教学过程中应多注意引导学生将数学和三角函数的性质多做联系，培养学生的发散性思维，而不是沉浸于“题海战术”.

例4 (2009.北京)已知数列{an}满足：a4n-3=1，a4n-1=0，a2n=an，n∈N*，则a2009=____；a2014=____.

解本题表面上是数列递推，2009=4×503-3，则a2009=a4×503-3=1；同理a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0.但本质上是体现着数列(函数)的周期性，如果把数列看作是一个抽象函数f(x)，我们很快就能得到f(1)=f(5)=…=f(4x-3)=1(x∈N*)、f(3)=f(7)=…=f(4x-1)=0(x∈N*)、f(1)=f(2)=…=f(2x)(x∈N*).根据上述几个关系式，易知当数列取到奇数项时，呈现出1，0周期为2的交替数列；而当为偶数项时，是恒为1的常数列.因此a2009=a1004×2+1=a3=1，a2014=a1=0.显然从函数(周期性)能更清晰地理解本题的数列递推.