一道三角形面积最值的多角度赏析

沈培玲

(江苏省前黄高级中学 213161)

该试题是2017～2018学年第一学期江苏常州高三期末考试第14题，位于填空题最后一题，区分意味明显，可以看成是考查三角问题，也可以看成是考查圆的问题，是研究一题多解，一题一课的好题.本文将从以下几个不同角度进行分析.

视角1 由等腰三角形联想到建系坐标处理.

解法一坐标化+轨迹思想处理(两圆有交点).

由3PA2=3⟹PA=1,说明点P在以A为圆心，半径为1的圆上，记为圆O1；

解法二坐标化+三角函数处理(方程有解).

视角2 以点A分析，找点P的轨迹及B,C的轨迹.

解法三轨迹法+几何法处理.

因为PA=1，所以点P在以A为圆心，1为半径的圆上.

视角3 两次余弦定理，借助三角恒等变换即可求出∠BAC正弦的最大值.

因为PB2=PA2+AB2-2PA·ABcosα;PC2=PA2+AC2-2PA·ACcosβ,

(部分学生就是猜的这个位置做对的，理由对称轮换是当PB=PC时取最值)

视角4 本题可以转化为求向量AB与向量AC的数量积的最小值.

试题的讲评应充分考虑学生的数学能力的差异，一题多解给学生提供了较大的发挥空间.挖掘问题的本质，关注解题反思是一种高效的学习之路.