高低轨双星时频模糊雷达信号的频差估计算法

姚山峰，贺 青，夏畅雄，欧阳鑫信

(盲信号处理重点实验室，成都 610041)

0 引 言

高低轨双星定位技术是一种以低轨卫星与同步卫星组合，形成双星时/频差定位条件、实现目标辐射源定位的技术[1]。高低轨双星定位系统综合了低轨电子侦察卫星与同步电子侦察卫星的优势，具有侦察时间长、覆盖范围大、定位精度高、在轨卫星资源丰富等特点。通过低轨卫星与同步卫星组合大大增加了基线长度，改善了定位几何，可以在整个低轨卫星覆盖区域内获得很高的定位精度。然而，对于雷达脉冲信号，基线拉长以后，将会扩大到达时间差(Differential Time Offset, DTO)取值范围，当脉冲重复间隔(Pulse Repetition Interval, PRI)小于时差取值范围时会导致时差估计出现模糊，脉冲重复频率(Pulse Repetition Frequency, PRF)越高，时差模糊越严重。同时，由于低轨卫星高速运动使得高低轨组合定位的多普勒频移差(Differential Frequency Offset, DFO)取值范围很大[2]，当PRF小于频差取值范围时会导致频差估计出现模糊，PRF越小，频差估计越严重。也就是说，无模糊的时差估计，要求目标信号为低脉冲重复频率(Low PRF, LPRF)信号，PRI必须大于时差取值范围；无模糊的频差估计，要求目标信号为高脉冲重复频率(High PRF, HPRF)信号，PRF必须大于频差取值范围。不幸的是，在实际应用中，高低轨双星定位系统接收到的绝大多数雷达信号同时存在着时/频差模糊，这严重制约了系统的定位能力。

已有大量文献对HPRF信号带来的时差定位模糊问题开展了研究[3-8]。文献[4]推导给出了脉冲串信号的模糊特性，针对HPRF雷达信号，提出利用无模糊的频差与频差变化率进行粗定位来消除时差模糊。文献[5]依据真实目标位置在短时间内不可能突变的原理，通过多次测量，每隔一定时间依据定位点的均方差变化对定位点的发散程度进行检测，将发散情况明显的定位点逐一去除，消除模糊定位点。文献[6]针对目标匀速运动模型提出利用脉冲间隔增量的方法解运动目标时差定位模糊，这种方法依据目标运动引起的脉冲到达时间间隔的微小增量，解出目标的位移矢量，以区分虚假定位点。文献[7]通过在主站增加高精度的测向设备，综合利用时差与测向结果，根据计算每个时差定位点和测向定位点之间距离，通过距离门限筛选真实的定位点，并对处理后剩下的多个定位点，通过多次测量利用位置的发散性进行后续处理来消除定位模糊。文献[8]运用直方图计算HPRF信号的不同参差频率和对应的模糊时差，并在此基础上进行时差组合，然后对不同参差频率下的时差进行相关运算，最终得出真实的时差。这些方法主要针对无频差模糊的HPRF雷达信号，应用于地面时差定位与低轨编队卫星定位系统中，未考虑时差、频差同时出现模糊的情况。然而，在高低轨双星定位系统中，除了时差模糊之外还存在着频差模糊。

本文首先给出了高低轨双星定位系统的时/频差分布情况，分析了时差/频差模糊特性；提出了一种适用于高低轨双星时/频差定位系统中的频差模糊消除算法，该算法避免了对时域高度模糊的脉冲进行复杂配对的难题，便于工程实现；最后，通过Monte-Carlo仿真将本文算法性能与理论CRLB[9]进行了对比分析，给出了算法的适用条件；结果表明，在适用范围内，本文算法可以得到无模糊的频差估计结果，估计精度逼近CRLB。

1 时差/频差模糊特性分析

1.1 时/频差分布

高低轨双星定位原理与低轨双星定位原理一样，只是将卫星组合由编队飞行的两颗低轨卫星更换为一颗同步轨道卫星与一颗低轨卫星[10]：由于传输路径的不同，两颗卫星接收到的信号具有不同的时延，形成到达时间差；同时，由于两颗卫星在目标辐射源径向方向上的速度不同，形成多普勒频移差。由某一个时差值可确定一个回转双曲面，与地球表面可相交出一条时差线；同理，频差测量结果也可与地球表面相交出一条频差线。时差线与频差线的交点即为目标位置。

图1给出了当高低轨卫星组合分别选择170°E同步卫星与轨道高度为700 km的低轨卫星，辐射源信号载频分别为500 MHz与10 GHz时，某一时刻高低轨组合双星接收信号之间的时差值与频差值在地球表面的分布图。图中时差单位为ms，频差单位为kHz。

图1 时/频差分布图Fig.1 Contour of DTO/DFO

可以看出，在当前卫星组合条件下，覆盖区域内的时差取值区间约为236.8～255.8 ms，时差变化范围约为19 ms；当信号载频为500 MHz时，频差取值范围约为±11 kHz；当信号载频为10 GHz时，频差取值范围约为±227 kHz。

1.2 模糊分析

1.2.1时差模糊

时差模糊现象可以通过脉冲配对出现模糊进行说明。对于地面辐射源发出的脉冲串信号，LEO将会首先接收到某一个脉冲，而GEO将会在236.8～255.8 ms之后才会接收到这个脉冲。如果PRI很大(PRF很小)，则在LEO接收到信号之后的236.8～255.8 ms区间内只会出现一个脉冲，如图2(a)所示。此时，通过GEO接收脉冲的到达时间减去LEO接收脉冲的到达时间即可获得时差，时差估计不会出现模糊。然而，如果目标辐射源发射信号的PRI变小(即PRF变大)，则在LEO接收到信号之后的236.8 ～255.8 ms时延区间内将会出现多个脉冲，如图2(b)、(c)所示，此时无法确定由哪一个GEO接收到的脉冲与LEO接收到的脉冲配对，时差估计将会出现模糊。对比图2(b)、(c)还可以看出，PRI越小，也就是PRF越大，模糊情况越严重。

图2 时差估计模糊示意图Fig.2 Schematic diagram of DTO ambiguity

在当前卫星组合条件下，当目标信号PRI小于19 ms，即PRF大于53 Hz时，时差估计将出现模糊。

1.2.2频差模糊

频差模糊现象可以通过模糊函数零时延切面对应的速度模糊函数加以说明。根据相参脉冲串的模糊函数表达式[11]，距离模糊函数|χ(τ,0)|相当于单脉冲的距离模糊函数按脉冲串的PRI周期重复，并由总体三角函数进行加权；速度模糊函数|χ(0,ξ)|由单脉冲速度模糊函数与加权函数组成，单脉冲速度模糊函数为标准sinc函数，第一零点位于1/tp处，加权函数为asinc函数，第一零点位于1/NTr处，并以PRF为间隔进行重复。其中，tp为信号脉冲宽度，Tr为信号PRI，N为积累脉冲个数。

图3分别给出了PRF为300 Hz与10 kHz时，脉冲串信号的速度模糊函数。

图3 模糊函数频差切面图Fig.3 DFO cut of CAF

对于脉冲串信号，由于其速度模糊函数存在多个多普勒峰，PRF越小，多普勒峰之间的间隔越小。实际应用中，受噪声与分辨率的影响，在搜索最大峰值时，有可能搜索到其他的多普勒峰上，导致频差估计出现模糊。模糊多普勒峰间隔与信号的PRF有关，PRF越小，模糊多普勒峰间隔越小，模糊情况越严重。

具体到高低轨时/频差定位系统中，载频为500 MHz时的频差取值范围约为±11 kHz，当目标信号PRF小于22 kHz时，频差估计将出现模糊；载频为10 GHz时的频差取值范围约为±227 kHz，当目标信号PRF小于454 kHz时，频差估计将出现模糊。高低轨双星定位中关注雷达信号的PRF主要集中在300 Hz～10 kHz范围内，对其进行时/频差估计时，受噪声污染以后必然会得到模糊的估计结果。

2 频差模糊消除算法

在低轨双星定位系统中，消除频差模糊是通过分时时差差分算法实现的：首先利用包络检波法或互模糊函数法获得高精度的时差测量值，通过对高精度的时差进行中心差分获得无模糊的频差粗值，再在无模糊的频差相关峰附近进行高分辨搜索，得到高精度的频差估计值[12]。其前提条件是时差估计较为准确，且不存在时差模糊现象，时差估计精度越高越有利于获得无模糊的频差粗值。

而在高低轨双星定位系统中，时差、频差会同时出现模糊，之前的频差模糊消除算法不再适用，下面将研究适用于高低轨双星时/频差定位系统的频差模糊消除算法。

2.1 算法原理

假设目标辐射源从t0时刻开始以载频fc发射脉冲串信号，脉冲序号分别为1,2,…,N，低轨卫星接收到第i个脉冲的时间为

(1)

式中，RLEO,i表示发射第i个脉冲时目标与低轨卫星之间的距离，c为光速。高轨卫星接收到第j个脉冲的时间为

(2)

式中，RGEO,j表示发射第j个脉冲时目标与高轨卫星之间的距离。于是，这两个脉冲之间的时差为

(3)

对时间求导，可得

(4)

式中：vLEO,i为第i个脉冲发射时刻低轨卫星的速度矢量，uLEO,i为此时目标到低轨卫星的单位距离矢量；vGEO,j为第j个脉冲发射时刻高轨卫星的速度矢量，uGEO,j为此时目标到高轨卫星的单位距离矢量。

可以看出，式(3)中，第i个低轨脉冲与第j个高轨脉冲之间的PRI间隔时长(i-j)Tr经过求导以后被消除了。也就是说，即使第i个低轨脉冲与第j个高轨脉冲之间存在着周期模糊，经过时间求导以后，也能将周期模糊消除。

由卫星与目标辐射源之间相对运动产生的多普勒频移为

(5)

代入式(4)，可得

(6)

可以看出，两个脉冲之间时差的导数与第i个脉冲发射时刻低轨卫星的多普勒频率fd-LEO,i，以及第j个脉冲发射时刻高轨卫星的多普勒频率fd-GEO,j有关。

在高低轨双星时/频差定位系统中，高轨卫星位于地球同步轨道，相对地面来说，卫星运动较小，接收信号产生的多普勒频率不大。因此高低轨组合中的频差信息主要来源于低轨卫星的运动，低轨卫星接收信号产生的多普勒频率是高低轨组合信号频差的主要贡献成分，如图4所示。

图4 高低轨频差变化曲线Fig.4 Curve of DFO in GEO-LEO Dual-satellites geolocation system

可以看出，高轨卫星的多普勒频率远小于低轨卫星的多普勒频率，并且高轨卫星的多普勒频率变化比较缓慢，在一定时间范围内，可近乎认为是相等的。在这种条件下，式(6)可近似为

(7)

式(7)即为高低轨双星时/频差定位系统中消除频差模糊的基本思路，即对于低轨卫星接收到的第i个脉冲，该脉冲与高轨卫星接收到同一脉冲之间的频差粗值可由时差的变化率求得。需要特别指出的是，此时与低轨卫星第i个脉冲到达时间tLEO,i计算时差的高轨卫星第j个接收脉冲不一定是目标辐射源发出的同一个脉冲。也就是说，这种方法不需要脉冲配对，即准确找出低轨卫星接收到的第i个脉冲所对应的高轨卫星接收信号中的同一个发射脉冲。通常，由于时差的模糊特性，对双星接收到的脉冲进行准确的一一配对是很难实现的。因此，本文算法规避了脉冲配对这一极度复杂的难题，便于工程实现。

在实际工作中，求导可以由差分运算近似。假设低轨卫星接收到第i+m个脉冲的时间为

(8)

高轨卫星接收到第j+m个脉冲的时间为

(9)

两个脉冲之间的时差为

τi+m,j+m=tLEO,i+m-tGEO,j+m=(i-j)Tr+

(10)

根据式(7)，利用差分公式，有

(11)

根据式(11)可以看出，频差粗值的计算精度与信号载频fc、脉冲到达时间测量精度σt、差分时间间隔ΔT等因素有关[12]：

(12)

前文已经分析指出，高轨卫星的多普勒频率变化比较缓慢，在一定时间范围内，可近乎认为是相等的。因此，在计算高低轨时差变化率时，高轨卫星接收信号的脉冲可以在时差范围内随意选取，而不必准确选择高轨卫星接收到的同一个脉冲，也就是说不需要对低轨脉冲与高轨脉冲进行准确配对，这在实际应用中非常方便。不过需要补充说明的是，每一次选择的规则必须一致，才能保证时差变化率不会产生跳变。本文算法的脉冲选择规则是，在低轨卫星接收信号中选取序号为i,i+1,i+2,…的脉冲，与高轨卫星接收序号分别为j,j+1,j+2,…的脉冲进行粗略配对；然后分别依次求取两个脉冲的时差，利用两个时差值根据式(11)的差分公式计算频差粗估值；最后再在频差粗估值附近进行高分辨的插值搜索频域相关峰，得到高精度无模糊的频差精估值。基本步骤如下：

步骤1：根据低轨卫星与高轨卫星接收信号的分选结果获取两路脉冲串信号的到达时间信息；

步骤2：从某一个时刻开始，依次选择低轨卫星接收到的脉冲PLEO,i,PLEO,i+1,PLEO,i+2，…，PLEO,i+N-1，高轨卫星接收到的脉冲PGEO,j,PGEO,j+1,PGEO,j+2,…，PGEO,j+N-1进行粗略配对；

步骤3：依次利用低轨脉冲到达时间减去高轨脉冲到达时间获得时差序列τi,j,τi+1,j+1,τi+2,j+2，…，τi+N-1,j+N-1；

步骤4：利用式(11)计算频差粗值；

步骤5：利用互模糊函数时/频差联合估计算法，在频差粗值附近进行高分辨搜索，得到无模糊高精度的频差估计值。

2.2 计算量分析

本文算法主要由上节所述五个步骤组成，其中主要的运算集中在第三步与第五步中。

第三步将N个低轨脉冲的到达时间减去对应的高轨脉冲到达时间，以获得N个时差，此步骤需要N次实数减法运算。

第五步利用互模糊函数法进行频差精估。首先对两路信号进行共轭相乘得到混合积信号，假设信号采样点数为M，则需要M次复乘运算；然后求取混合积信号的DFT获得相关函数，如果采用FFT算法计算需要Mlog2M次复乘运算。由于信号采样点数远远大于脉冲个数，即M≫N，因此本文算法的计算量主要由第五步互模糊函数时/频差联合估计算法贡献，在现有的处理能力下，能够实现实时处理。

3 仿真分析

仿真中，首先给出了由时差差分获得的频差粗值与频差真实值之间的对比图。其中，图5(a)仿真了低轨卫星过境时间内，辐射源载频为500 MHz，脉冲到达时间测量精度为50 ns，差分时间间隔分别为0.1 s与1 s时的频差粗值；图5(b)对应的辐射源载频为10 GHz，差分时间间隔为1 s。

图5 频差粗值变化曲线Fig.5 Curve of coarse DFO

图5表明，由时差差分获得的频差粗值与频差真实值的变化规律一致，不过受脉冲到达时间测量误差的影响，频差粗值在频差真实值附近抖动。对于载频为500 MHz的目标辐射源，差分间隔为0.1 s/1 s时的频差粗值精度为503 Hz/52 Hz(理论值为500 Hz/50 Hz)；对于载频为10 GHz的目标辐射源，差分间隔为1 s时的频差粗值精度为1057 Hz(理论值为1000 Hz)。两者与理论值基本一致。变化规律上，随着载频的增加、到达时间测量误差的增大、差分间隔的减小，频差粗值估计误差随之增大，与式(12)吻合。

下面在典型的高低轨双星定位应用场景中，对本文算法的频差估计性能进行了1000次Monte-Carlo仿真测试。其中，双星接收信号信噪比为15 dB，到达时间测量精度为50 ns，频差精估积累时间为30 ms。图6给出了不同PRF下的模糊度变化曲线[12]，图7为频差估计精度曲线。

图6 频差估计模糊度曲线Fig.6 Degree of DFO ambiguity under different PRF

由图6可以看出，相同条件下PRF越低模糊度越高。对于载频为500 MHz的辐射源，无模糊频差估计在差分间隔为1 s时要求PRF高于370 Hz；在差分间隔为0.1 s时要求PRF高于3200 Hz。对于载频为10 GHz的辐射源，无模糊频差估计在差分间隔为1 s时要求PRF高于6200 Hz；在差分间隔为0.1 s时，无法获得无模糊的频差估计值。

图7 频差估计性能曲线Fig.7 Performance curve of DFO estimation

结合图6、图7可以看出，频差估计精度随着PRF的增加而提高，当频差估计模糊度为零以后，频差估计精度逼近CRLB。时差差分间隔为1 s时，对载频为500 MHz的辐射源，PRF高于370 Hz时可以获得无模糊的频差估计结果，估计精度为74 mHz；对载频为10 GHz的辐射源，PRF高于6.2 kHz时可以获得无模糊的频差估计结果，估计精度为10 mHz；时差差分间隔为0.1 s时，对载频为500 MHz的辐射源，PRF高于3.2 kHz时可以获得无模糊的频差估计结果，估计精度为15 mHz。

4 结 论

本文针对高低轨双星定位系统定位雷达脉冲串信号时同时存在时/频差模糊的问题，提出依次求取未配对的两组脉冲串中每对脉冲的时差，通过对时差进行差分计算得到消除了频差模糊频差粗估值的方法，该算法通过设置合理的差分间隔，得到无模糊的频差粗值利用无模糊的频差粗值进行频差精确估计精度逼近CRLB，避免了对时域高度模糊的脉冲进行配对的难题，便于工程实现。这有助于解决目前高低轨双星定位系统中雷达信号时/频差定位面临的瓶颈问题，提升系统的定位能力。