探究变与不变的本质 实施数学深度教学

夏爱玉

【摘要】数学课堂教学需要引发学生深度学习，需要教师以整体视野来教学，突破一节课的知识点的局限，通过对“变”与“不变”的思考，采用有效的方式帮助学生建构知识体系，在“变化”之中探究“不变”，在“不变”之中明晰“变”，引导学生经历发现共性的不变，寻找不变之中蕴含的变化的规律，以教学“商不变规律”为例，从最初的仅仅注视除法运算的一角，到发散开来引发学生对积、和、差不变的规律的思考，不仅仅更加牢固掌握商不变的规律，还学会观察、分析、猜想、验证的方法，学会了“变”和“不变”的辩证思考，更学会了对事物的积极探究态度。

【关键词】变与不变;商不变的规律;深度学习

“商不变规律”一课是义务教育教科书苏教版国标本四年级上册《数学》第23页的教学内容。这一课安排在第二单元《兩三位数除以两位数》的第7个例题，是在学生已经学习了几十、几百几十除以整十数的口算、两三位数除以两位数的笔算的基础上进行教学的，这是为了加深学生对除法运算的理解，也是为了进一步学习被除数和除数末尾有0的除法提供依据。但是用简便方法计算被除数和除数末尾都有0的除法时，余数的情况相对比较复杂，学生理解起来是有一定的困难，也是这一部分内容的教学难点。如果这一课仅仅停留在对“商不变”的掌握的层面，一是会对后续的学习产生负迁移，二是不容易培养学生思维的深度。

这一部分内容看似浅显易懂，其实内容丰富，怎样能让学生有更多的收获，激发学生更深度的思考？本课重点强调商不变，那不变之中，有没有变的呢？以“变”和“不变”为主线，梳理教学内容，理清教学的脉络，既能有利于学生建立系统的认知，又能有利于学生辩证分析深度思考。因此，笔者对这一部分的教学做了以下研究。

一、探究新知，感受“变”中的“不变”

学生对于事物的认知往往是从区分事物开始，在比较中进一步分析与思考。在众多纷繁的“变化”中发现“不变”的内容，从而产生猜想和验证。

课堂开始，呈现一组组算式，不同的算式，被除数和除数都在变，但是无论怎么变，商都是不变的，让学生在不断地变化中，感受不变，产生“商不变”的猜想，进而主动列举更多变化的算式来验证猜想，求证不变。

出示了课本第23页的例题，但是又有所不同，见下表。

被除数 除数 除法算式 商

100 20 100÷20 5

100×2 20×2 200÷40 5

100×4 20×4

100÷2 20÷2

100÷4 20÷4

100×（    ） 20×（  ） 5

100÷（    ） 20÷（  ） 5

表格的前5行呈现给学生的是大量的“变化”被除数和除数，让学生反复书写计算得出的商都是 “不变”的。在大量的被除数和除数的“变化”状态下，凸显了商“不变”，不仅仅进一步巩固了除法口算，还对被除数和除数的变化有了初步的感知。然后增加了最后的两行，既能引发学生自己探究规律，又能搜集学生对于这题例举的猜想验证的算式，以作为教学资源。这样的教学，使学生对各道除法算式的观察中感受到了认识世界的一般方法，在被除数和除法的变化之中发现商不变的规律。

二、回首新知，找寻“不变”中的“变”

当学生自主探究，大量举例验证了猜想的时候，“不变”已经成了学生研究的重点。当学生自信已经弄懂商不变规律的时候，且沉浸在学会又“迷信”新知中，教师反问学生：不变之中，有没有变的？把学生的思绪从“不变”中拉回来，学会审视新知。

师：刚才这些算式，都是符合“商不变规律的”，商是“不变”的，那有没有其他变化的？

生：被除数和除数在变。

师：怎么变？

生：同时乘或者除以一个相同的数（0除外）。

师：如果被除数和除数“不同时”变，会怎样？我们来看看这题：

540÷18=300

54÷18=（ ）

5400÷18=（ ）

生：除数不变，被除数除以10，商除以10;被除数乘10 ，商也就乘10。

师：是这样的吗？请你们自己小组内举例看看是不是这样的。

生举例验证。

师：有反例吗？要注意什么？

……

师：刚才我们是假定除数不变，如果被除数扩大到原来的10倍，商就“随着”扩大到原来的10倍。如果被除数缩小到原来的，商就“随着”缩小到原来的。那如果“被除数”不变呢？你能举一些例子吗？

生：我举的例子是——

54÷18=3

54÷9=6

54÷54=1

我发现了如果被除数不变，除数除以2，商就乘2;如果除数乘3，商就反而除以3。

师：其他同学，你们举的例子也是这样的吗？小组内交流。

学生小组交流。

师：他的发言中，说到被除数不变的时候，除数变化了，提到一个词说商怎么变的？

生：反而。

师：是的，这个词说明当被除数不变的时候，商和除数变化的情况刚好相反。刚才都是假定被数数不变或者除数不变，如果这两个数“同时”变，但是变的大小不相同呢？出示：

100÷2=（  ）

（100÷5）÷（2×5）=（   ）

（100÷5）÷（2÷2）=（   ）

（100×5）÷（2×2）=（   ）

（100÷5）÷（2×2）=（   ）

（100×5）÷（2÷2）=（   ）

师：这时候商变了吗？

生：变了。

师：这时候商的变化很大，比之前举的例子更复杂，后面的练习课上我们会继续研究。

考虑到本课是新授课，主要是让学生初步感知“不变”之中“有变”，而且是有规律地变。这里做了探究，借着这样的设计拓宽学生的视野，引导学生进行深度思考。

三、迁移新知，发现不同运算中的“变”与“不变”

“变”和“不变”可以说是无处不在的。在除法中有，在乘法、加法、减法之中也有吗？作为教师对这些问题可以清楚回答，但是引导学生能自己提出这样的问题思考才显得更有价值。为了能进一步引导学生深入体会“变”和“不变”的普遍性，笔者是这样设计的。

师：今天我们学习了什么？

生：商不变的规律。

师：具体说说看。

生：被除数……

师：非常流畅，这个规律很容易弄懂，你们还有问题吗？

生：没有。

师：我有一个问题，“商”不变的规律，“积”呢？有“积”不变的规律吗？

生：没有——（整齐划一）

师：是真的吗？

学生静下来了，有一个学生叫了：不对，有的，10×10=100;把第一乘数乘2，第二个乘数除以2，商还是100。（老师板书）

（10×2）×（10÷2）=100（全班认同）

师：其他同学也能举个这样“积不变的规律”的例子吗？

学生纷纷举例，汇报。

师：乘法算式中的第一个乘数和第二个乘数是怎么变的呢？也是“同时”“乘或者除以”“相同”的一个数吗？

生：是“相同”的一个数，但是一个“乘”，一个要“除”。

师：“除”和“除以”的含义不一样，你的意思是当第一个乘数“乘几”，第二个乘数就“除以几”，是吗？

生：是的，乘和除以的数是相同的，也是“同时”变的，只是一个乘数扩大了，一个乘数缩小了。

师：乘或者除以的这个“相同”的数，可以为0吗？

生：也不能，如果为0，那积就是0，而原来的算式10×10不等于0。

生：还有，第二个乘数不能除以0，0不能作除数。

师：是呀，乘法算式中，第一个乘数乘几，第二个乘数就除以几，（0除外），得到的积就不变。那么加法算式中，有和不变规律吗？

生：有，10+10=20，（10+1）+（10-1）=20。

生：也是与“积不变”的规律很像。第一个加数加几，第二个加数就减去几，（0除外），得到的积不变。

师：两个加数加上或者减去的数不可以为0吗？

生：嗯，是的。

生：不是的，可以为0，你们看（10+0）+（10-0）=20，加上0或者减去0还是原来的加数。

师：乘法的积、加法的和，你们分别探究得到了规律，还想到了什么？

生：差不变的规律。

师：有吗？谁举个例子。

生：100-80=20;（100-50）-（80-50）=20。

师：对不对？被减数和减数是怎么变的？

生：同加同减。

师：能同乘同除以一个数吗？

生：不行，10×10+10×10=200，10÷10+10÷10=2，都发生改变了。

以这样整体视野来教学，突破一节课的局限，打通知识之间的联系，在“变化”之中发现“不变”，在“不變”之中明晰“变”，经历了发现共性的不变，寻找变化的规律，让思维在“变”与“不变”之中穿梭，从最初的仅仅注视除法运算的一角，到发散开来，发现积、和、差不变的规律，学生不仅更加牢固掌握“商不变”的规律，学会的观察、分析、猜想、验证的方法，学会了“变”和“不变”的辩证思考，更学会了对事物的积极探究态度。

一节数学课如果能让学生产生积极的数学思考，而不是仅仅局限于知识本位的教学，才是真正的数学教学意义所在，不仅是借助数学问题、数学关系来吸引学生，更是启迪学生的数学思维，让数学课堂彰显思考的魅力。

【参考文献】

[1]郑毓信.为学生思维发展而教[J].小学教学（数学版），2017（5）.

[2]尤小平.学历案与深度学习[M].上海：华东师范大学出版社，2017.

[3]陈瑾.向思维更深处蔓朔——以“梯形和三角形的面积整合教学”为例 [J].小学数学教师，2018（11）.