浅论面积计算方法

林朝瑜

摘 要：平面图形的面积计算，一般是根据面积公式计算所得，如遇不规则图形的面积，可以通过分割、转化成规则图形来解决。但如果需要提高精确度，可以借助平面图形面积推导的起源——数方格来解决，数方格在数学“图形与几何”领域发挥着重要的作用，需要在教学中加以重视。

关键词：面积;数方格;不规则图形

面积是什么？根据《“科普中国”科学百科词条》中的定义，物体所占的平面图形的大小，叫作它们的面积。小学数学学习中，学生对平面图形的面积计算已有了完整、系统的认知，用所学知识能够解决面积的相关问题。

一、一次实践活动的讨论

在六年级学习圆柱、圆锥的体积后，拓展介绍了柱状体的体积计算方法。这时，一位学生问操场上鱼池的容积该怎么算。因为鱼池是个不规则的容器，学生每天上下学都爱路过时看看里面的莲花、小鱼，虽然很熟悉，但从没思考过它的容积是多少。这个问题提得很好，课堂上学生兴奋地讨论起来，学生都觉得只要用“底面积×高”即可，于是各个小组就着手完成这一实践作业。

学生主要的计算方法有两种，一种是把整个花坛看成一个近似的长方体，而鱼池虽是一个不规则图形，但它的占地面积约是整个花坛的一半左右，测出整个花坛的长、宽、高分别是8.85米、5.05米、0.6米，那么鱼池的容积约是13.4立方米。

第二种方法是把鱼池所在平面分成近似的梯形和平行四边形，测出梯形的上底、下底和高分别是3.1米、5.05米和3.45米，而平行四边形的底、高分别是4.4米、3.1米，这样算出鱼池的占地面积后，再乘上高0.6米，体积约是16.62立方米。

当在课堂上讨论两种方法时，大家觉得都有道理，但为什么误差这么大呢？学生讨论的结果一致认为，鱼池是个不规则图形，计算它的占地面积时不精确，所以才形成了两种较大的误差。那么生活中很多不规则的物体，怎么才能精确地算出它们的面积？这又成了学生继续探索的问题。

当学生明确了问题的关键在于求鱼池这个不规则图形的占地面积时，立即想到了五年级所学的内容，可以用数方格的方法求出不规则图形的面积。于是学生将鱼池平面图画上方格，用数方格的方法，算出鱼池的图上面积，再测算比例尺，根据比例算出实际面积为27.2平方米，那么鱼池的容积就是16.33立方米。这时再在全班进行讨论，虽然与第二种算法差距不大，大家都比较认同这种算法。与原先对两种根据近似图形计算面积的质疑相比，大家更觉得这样算出来的面积精确度高，适合解决生活中的实际问题。讨论时学生再次思考，这种数方格的方法精确度比前两种高，适宜解决不规则图形的面积，如果对精确度要求更高一些，可以怎么办呢？前两种方法解决不了的问题，数方格一样能够解决，如果需要，可以把不是整格的方格细分成100格，再去数一数整格、半格各有多少，这样得到的精确度又更高了一些。通过这次完整的实践活动，学生对面积可以怎样算的认识有了明显提高，针对不同情况选择不同方法解决问题有了更实际的体会。

二、不同方法的思考

对于面积的学习，学生的认知是较为系统的。从开始掌握长方形的面积计算之后，各种平面图形的面积学习在此基础上有逻辑地顺序展开，学生通过对已知平面图形面积的转化推导出新图形的面积计算方法，最后六年级下册的总复习中还对学生进行系统的整理，进一步明确了平面图形面积推导的关系。所以学生面对平面图形的面积问题时，首先的想法是“算”，通过直接计算或转化进行计算，即使正如本次实践活动中需求鱼池占地面积的实际问题，学生还是想通过计算直接解决。而只有在遇到实际的困难或是老师给予明确的提示后，学生才会想到用数方格的方法来解决问题。可见，数方格对于学生的面积学习还是有着很大的价值，我们在平时教学中应更多地关注、引导。

1.贴近生活，易于理解

以苏教版小学数学教材为例，在“图形与几何”内容的教学中，方格图或格点图共出现了69次。最早出现于一年级上册第6页“比一比”中比较线段的长短，在学生没有认识长度、面积单位之前，借助数方格，也可以进行图形相关学习。数学的学习讲求结构与逻辑，很多老师和学生认为，长方形的面积计算公式是平面圖形面积计算的“源头”，实际它只是后续学习其他平面图形面积推导转化的基础。如果必须“追根溯源”，我们回想一下，长方形的面积计算公式是怎样推导出来的呢？它也是通过数方格的方法得到的，可见，数方格才是平面图形面积学习的真正“源头”。面积的计算需要面积单位，而小方格是最基础的面积单位，后续许多平面图形面积都是借助方格图这个情境呈现的，所以这个“源头”贴近学生的生活，它可见、可数、可比较，易于理解。

实际学习中，学生很少会主动用数方格的方法解决问题，一方面和很少遇到直接计算解决不了的问题有关，另一方面，也和实际教学中老师往往关注知识点，着力比较面积间的联系有关。而仔细回顾一下，平面图形的面积教学，教材都是以方格图的情境来呈现的，在有关周长、面积的练习中，教材也多以方格图为背景进行出示。如果老师在教学中能对数方格的教学加以重视，学生就会积累许多学习经验，有了这样的学习经验，即使学习中遇到了困难，学生也会主动回归方法的本源，从而解决问题。

2.精确度高，操作性强

数方格虽然在实际计算面积时应用较少，但通过上面的实践活动，学生还是能够发现，在解决生活中的实际问题，尤其是解决不规则图形的面积时，它还是有着很大用处的。用数方格解决此类问题，精确度较高，而且如果需要，它还可以把每一个小方格继续细分，这样得出的精确度更高，所以它是平面图形面积计算的基础，也是很重要的补充，在教学中应该更多地进行关注。

在苏教版小学数学教学中，学生正式学习面积之前，共有12次接触方格图的机会，从开始的数长度发展到数面积，学生的抽象思维能力也是一个逐步提升的过程。一开始数方格是数格边，有几个格边，就有几个长度单位，进而过渡到之后的数方格，有几个小格就有几个面积单位，学生在方格图中画图形、比长度、算面积，都是从最可见的直接计量入手，等学习了计量单位、计量方法后，就可逐步过渡到间接测量。如果老师们每次在教学中都能组织好，那么学生在这样的学习操作中可以积累丰富的活动经验，借助数方格活动，会让抽象的数学知识更直观，会推动学生的认知水平由直观操作发展到抽象概括，具象认知发展到抽象认知，思维能力得到逐步提升的同时，对培养学生的学习情感也会有很大帮助。

3.体会数学思想，感悟数学魅力

在实际生活中，如需求不规则图形的面积时，可以借助专业的信息技术软件进行计算。但在学习生活中，数方格还是求平面图形面积的基础，也是最简易可行的操作方法。根据实际需要，可以对方格细分程度进行调控，进而控制面积的精度，这本身就是数学中极限思想的一种体现。

数学来源于数学内部发展的需要，同时也来源于人们实践活动的需要。正是因为人们的实践活动中有着对面积度量的需要，所以才慢慢摸索出比较简易可操作的方法，最初的度量就是看被测对象有几个度量单位，基于此的理解，逐渐发展到面积计算公式的运用，而公式也只是对度量过程的一种优化与抽象的数学表达。而这一过程不正是学生学习面积计算的过程吗？如果对教材的编排意图有深入的理解，重视数方格在面积教学中的意义，那么不仅能让学生真正掌握面积计算的方法，还能体会数方格的思考价值，从简单、直观到丰富、抽象，形成了具有发展力的理解认知，初步体会度量思想的精髓，感悟数学的魅力所在。

因此，数方格求面积的方法对于小学数学中的面积学习有着很重要的意义，虽然有些麻烦，但如能让学生真正经历这样“慢”的学习过程，后续的学习就会有更“快”更广阔的生长与发展。

参考文献：

[1]张维国.数方格是笨方法吗[J].小学教学（数学版），2012（9）.

[2]蔡福山.简单的数方格其实并不简单[J].小学数学教育，2012（11）.

编辑 李建军