一道题目引发的思考

摘 要：《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出“数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要把知识技能、数学思考、问题解决与情感态度四个方面目标有机结合，整体实现课程目标。”而这些目标的达成，无疑需要教师的精心设计。现结合自己平时的实践教学在此撰写成文，与大家交流。

关键词：数学课程；教学方法；散发思维

一、 原题呈现

如图1，直线m、n相交于点B，且两直线所夹锐角为40°，点A是直线m上的点，在直线n上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的点C有多少个？

分析：本题是等腰三角形部分的一道典型的分类讨论的题目，重点在于需分三种情况讨论，难点是答案的完整性。

符合条件的点有三种情况：①若AB=AC，则所求点C为以A为圆心，AB长为半径的圆与直线n的交点；②若BA=BC，则所求点C为以B为圆心，BA长为半径的圆与直线n的交点；③若CA=CB，则所求点C为线段AB的垂直平分线与直线n的交点；如图2，共有四个点。

思考：教师在讲评以上例题的时候，除了对题目的分析和讲解之外，还能够从中联系到哪些内容？笔者认为可以由以下三个方面入手：（1）该题涉及等腰三角形的问题，那么对于等腰三角形，学生能联想到的主要性质有哪些？（2）该题用到了分类讨论的思想，学生还能想到哪些分类讨论的题型？（3）是否能对该题做出变式？

二、 思维的发散

发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维。它是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。我们常讲，要培养学生的发散性思维，那么在此之前，是不是应该先提高教师的发散性思维呢？

（一） 基础知识方面

例1 已知实数x，y满足x2+3x+y-3=0，则x+y的最大值为 .

分析：由本题的已知条件可得x+y=-x2-2x+3，则本题转变为求-x2-2x+3的最大值。因为-x2-2x+3=-（x+1）2+4，最大值为4，所以x+y的最大值为4。

联系：本题涉及了二次函数的最值问题和多项式的因式分解，因而，在联系到的基础知识主要有两个方面：（1）多项式的因式分解：①什么是因式分解？②因式分解的方法有哪几种？③因式分解的过程中需要注意哪些问题？④在哪些题型中会用到因式分解？（2）二次函数：①二次函数有哪几种形式？②这几种形式如何确定二次函数的顶点坐标及对称轴？③结合图像分析二次函数的性质；④二次函数的最值问题。

学生对知识的掌握，不仅体现在对新知的学习，同时更应该加强对所学过的知识的巩固，从而才能够达到融会贯通，灵活运用。而知识的巩固不应只是在单纯的复习课中进行，而应该渗透在平时的整个上课过程中，真正地做到“温故而知新”。

（二） 解题方法方面

例2 如图3，已知线段AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC于D，求证：DF=DE。

解法1 如图4，图5，过点F或点E作等腰三角形一腰的平行线，构造全等三角形，再通过全等三角形的对应边相等，得到所求证的结论。

解法1的两种辅助线虽稍有不同，但都是通过构造全等三角形得到的，思路简单，教师上课的过程中大多选择的是这种做法。那么本题是否还可以有其他的解法呢？相信很多学生在思考的过程中会尝试着添置辅其他助线。他们的方法是否可行？若是可行又该如何解答？这时，教师可以把一些不同的辅助线添置方法展示出来，与学生共同探讨。

解法2 如图6，图7，过点F或点E作等腰三角形底边的平行线，由平行线分线段成比例，或构造相似三角形可得结论。

解法3 如图8，作△BDF关于BC的轴对称图形△BDN，连接FN交BC于G，连接NE。可证四边形BNEC是平行四边形，结合平行线分线段成比例可得结论。

解法2、解法3都用到了三角形相似、成比例线段的性质，其中，解法3还用到了轴对称的性质。相较于解法1应用三角形全等证明的简洁明了，后面的几种方法所用的知识会更复杂，对学生的综合能力要求也更高。

那么通过这同一道题目不同解法之间的比较，可以开阔学生的解题思路，提高解题的应变能力，克服思考问题的片面性。

（三） 变式题方面

例3 如图9，在△ABC中，过点A作直线l与线段BC相交，在直线l上取点D、E，使得△BAD≌△ACE，试说明：BD=DE+CE。

本题是在三角形全等中较为典型的一道题目，运用三角形全等的性质进行解答，其难度值较低，学生大多能较为完整的做出解答过程。那么在基本不改变原图的前提下，对原题目稍作修改，会怎样呢？

变式一：如图9，在△ABC中，AB=AC，过点A作直线l与线段BC相交，BD⊥l于D，CE⊥l于E，试说明：线段BD、DE、CE三者间的数量关系。

变式二：如图10，在Rt△ABC中，AB=AC，过点A在△ABC外作直线l，BD⊥l于D，CE⊥l于E，试说明：线段BD、DE、CE三者间的数量关系。

变式三：如图11，∠BAC=α，AB=AC，过点A作直线l，在l上取点D、E，使得∠BDA=∠AEC=α，试说明：线段BD、DE、CE三者之间的关系。

变式四：如图12，已知∠BAC=120°，AB=AC，过点A作直线l，在l上取点D、E，使得∠BDA=∠AEC=120°，AG平分∠BAC，且△ABG与△ACG均为等边三角形。连接DG、EG，试说明：△DEG是什么三角形？

变式一在原题的基础上稍作变动，而难度与原题相仿，这样的变式可以很好地检测学生对原题目是否真正理解。变式二将原题中的△ABC特殊化成

Rt△ABC，这道题目也可以作为动点问题，即“将直线l绕点A旋转至与BC没有交点”，但其解题思路在本质上仍与变式一是相类似的。这个证明三角形全等的方法在正方形中也经常会用到。而变式三是变式二的推广，将原先局限的特殊角90°推广到了一般情况的角α，而图形的简化（省略了线段BC）也是对学生固有模式的一个考验。

从变式一到变式四，每一次变式对题目的改动都是细微的，而题目的解题思路也是基本不变的，但就是这样对题目细微的变化，往往可以检测出学生对一道题目、一个知识点的理解及掌握程度。所谓“万变不离其宗”，也正是这个道理。

三、 教师教学的思考

学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者；教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。美国的教育心理学家大卫·奥苏伯尔说过：“影响学生学习新知唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学。”在新时代的教学活动中，教师的“教”已不再是单纯的知识的传授，而应该更多的着重于教学活动的设计。所谓言传身教，教师需在授课过程中做到举一反三，对各部分知识融会贯通，才能把教与学更加巧妙地融合起来，达到教学活动的效率最大化。

参考文献：

[1]余金红，张棉仕.学生说课：数学教学的新举措[J].中学数学教学参考：中旬，2015（5）：65-67.

作者簡介：林伟真，福建省漳州市，漳州实验中学。