自相似理论的形成和发展史实考源

江 南 曲安京

(1.西北大学科学史高等研究院，西安 710127；2.西安石油大学理学院，西安 710065)

分形几何的创立是继非欧几何诞生之后，几何学发展史上的又一次重大革命。作为现代非线性科学的三大研究课题之一，分形几何学亦被称为真正描述大自然的几何学。自相似性是分形几何最本质的特征，它在分形几何乃至数学中均具有举足轻重的地位。分形几何学家法尔科内(K.J.Falconer，1952—)在分形名著《分形几何:数学的基础和应用》中专门用自相似性给出了分形的描述性定义。如他在书中描述道：

F(分形)通常有某种自相似性，可能是近似的或是统计的。([1]，页20)

与自相似相关的一些问题和历史研究，国内外学者已有所涉猎[1—6]。例如，王世进在论文“分形理论视野下的部分与整体研究”中，从分形的视角详细论述了自相似性的哲学意义[2]；分形几何创始人芒德勃罗(B.B.Mandelbrot，1924—2010)则在著作《大自然的分形几何》中，简要阐述了自相似思想的发展梗概([3]，页73)。但对于自相似理论怎样形成？如何发展？以及对分形几何创立的影响？目前尚没有系统的研究。有鉴于此，本文将以史实考据为基础，对上述问题进行深入探讨，以期对自相似理论的形成和发展历程给出较为系统的梳理。

1 自相似思想缘起

相似是一个古老的概念，作为经典的数学名词，它有着形象的几何表征，即：如果两个图形形状相同，大小不一定相等，则称它们相似。相似思想产生较早，在美索不达米亚的楔形文字碑文里曾出现了许多关于三角测量问题，这些问题中已暗含着相似的思想。另外，所有圆在当时被理所当然地认为是相似的([7]，页21—39)。在中国古代，相似一词最早出现在《易·系辞上》：“与天地相似”([8]，页464)。意思是说(道理)和天地的规律相似。这里的相似主要侧重于哲学意义上的相类或相像。相似主要是研究客观物体之间的结构和形式的特征，它要求客观物体在结构上相同且相应量成比例。自相似作为相似的一种特殊情形，它则要求客观物体的部分和整体在空间形态和结构上存在某种相似性，侧重于研究客观物体自身的部分和整体之间的性质。

部分和整体的关系是自相似思想的核心，整体由部分组成，部分是整体的组成要素。人类对宇宙和自然界的认识一般也是从部分开始，然后通过部分认识整体，整体的性质和规律存在于各部分的相互联系和相互作用中。自相似思想可追溯至遥远的古希腊时代，希腊哲学家德谟克利特(Democritus，460 BC—370 BC)在探讨物质结构问题时，提出了原子论思想。他认为万物的本原是原子，原子是最后一种不可分割的物质微粒，一切整体都由离散的原子组成，并以此为基础提出“人是一个小宇宙”的命题。同为希腊哲学家的亚里士多德(Aristotle，384 BC—322 BC)在2000多年前也专门讨论过部分和整体的关系，并得出“整体大于部分之和”的哲学论断([2]，页40)。亚里士多德和德谟克利特上述思想的萌发均蕴含着朴素的自相似思想。

在中国古代也有关于自相似思想的详细阐述。如《九章算术注》中，刘徽在对“阳马”无限分割时指出：“虽方随棋改，而固有常然之势也”。这里的“而固有常然之势”就是对分割后的部分“子棋”与整体“母体”之间自相似现象的精确论述。另外，在一些哲学和医学书籍中也有关于自相似思想的介绍。如《周易》中的“无极而太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”；《道德经》中的“天下万物生于有，有生于无。道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和”；《黄帝内经》中的“耳者，宗脉之所聚也，五脏六腑之津液尽上渗于目”；以及古代哲学中的“一沙一世界，一花一天国；袖里有乾坤，壶中有日月”等([9]，页97)。上述例子中的整体和部分关系，体现了自相似思想的原始本真形态。

虽然在古代数学、哲学、医学等问题中均论及了自相似思想，不过它们在论述上都比较含蓄婉约。莱布尼茨(G. W. Leibniz， 1646—1716)是第一个直接地给出自相似思想框架的数学家，他开启了自相似思想理论化的进程。17世纪末，他在试图严格化欧几里得公理时给出了如下表述：

我有直线的好几个定义。直线是一条曲线，它的每一部分都与整体相似。不仅在曲线，而且在集合当中，只有它有这个性质。([3]，页419)

莱布尼茨不仅从直线形状的角度陈述了自相似性的本质特征，他还在著作《单子论》中专门指出，世界的每一个小部分都精确地具有大部分的复杂程度和组织方式，这已和现今的自相似思想基本一致，但较为抽象。法国数学家和物理学家拉普拉斯(P. S. Laplace， 1749—1827)也从物理学的角度给出过类似思想，他在1842年出版的《宇宙体系论》中写道：

(牛顿)引力的一个重要性质是，如果宇宙中所有物体之间的距离和速度大小成比例地增加或减小，则轨迹会与它们当前的轨迹完全相似；因而，缩小到可以想象的最小空间中的宇宙，对于观测者而言总是呈现出同样的现象。([3]，页420)

综上可知，自相似思想已在古代和近代的数学、物理、哲学等学科中有着广泛的应用。但由于这些应用中所涉及的自相似思想大都较为抽象，莱布尼茨关于直线自相似性的描述虽然开启了自相似思想理论化的进程，但没有改变自相似思想的抽象性，所以在理解和传播上存在着一定困难，也难以形成统一的理论。为了将抽象的思想具体化，寻找更具体的自相似集来帮助理解就成了数学家们为之努力的目标。

2 几种经典的自相似集

自相似性是分形最本质的特征，因此分形集在一定程度上也可称为自相似集。自相似集和自相似理论一脉相承，自相似集是自相似理论形成的前提和基础，自相似理论是自相似集的发展和延续。故而探讨一些经典自相似集的由来将有助于厘清自相似理论的形成和发展过程。

2.1 康托尔三分集

十九世纪后半叶，随着分析严格化和实数完备化的逐渐深入，为了彻底弄清无限的本质，德国数学家康托尔(G.Cantor，1845—1918)率先创立了集合论。1883年，他在研究一个三角级数的不收敛点集时，发现了一个完备但处处不稠密的病态集合。这个集合构造步骤如下：第一步，选取一个单位区间，将其三等分，去掉中间1/3部分，留下由2个长度为1/3的区间组成的集合；第二步，把留下集合的两个区间继续三等分，再分别都去掉中间的1/3部分，留下由4个长度为1/9的区间组成的集合；第三步，按照上述方法，重复n次后，得到由2n个长度为1/3n的区间组成的集合，将n取极限，最终得到的集合就是康托尔三分集[10]。

从康托尔三分集的构造可知，这个完备但处处不稠密的病态集合由无穷多个非均匀分布的点组成，局部和整体彼此相似。作为分形早期的经典例子，它是第一个呈现出显著自相似特征的自相似分形集。但由于当时数学家们关注的重点集中在研究三角级数的不收敛点集和无限集理论，致使康托尔三分集的自相似性未受到应有的重视。那么，什么集合的出现才使得自相似性受到关注呢？

2.2 科赫曲线

科赫曲线就是使得自相似性第一次受到关注的自相似集合。为了彻底搞清连续性和可微性之间的关系，魏尔斯特拉斯在黎曼等数学家工作的基础上，利用无穷级数求和法构造了一个病态函数——魏尔斯特拉斯函数[11]。这是一个连续但处处不可微的函数，构造上相当复杂繁琐。为了改进这种构造方式，瑞典数学家科赫(H.V.Koch，1870—1924)在1904年发表的论文“在初等几何中构造一条没有切线的连续曲线”中，用较为简洁的程序成功构造了一条基于几何直观表示且处处不可微的连续曲线。构造步骤如下：第一步，将单位区间三等分；第二步，以中间一段为底边作等边三角形，并将等边三角形的底边用它的另外两边代替，得到由四条边组成的折线；第三步，对折线的四条边再分别三等分，取中间一段为底边，向上作等边三角形，再去掉底边，得到由八条边组成的折线；按此步骤无限操作下去，所得折线的极限就是科赫曲线[12]。由于这条曲线的构造极为简单，而且具有很强的几何直观感，所以科赫在论文中评论道：

我所发现的曲线是这篇论文的主题，它通过一个非常简单的几何构造来定义。我相信任何人都能够通过“天真的直觉”看出它不可能有切线。([13]，页681)

科赫曲线诞生后很快就引起了数学家们的兴趣，意大利数学家切萨罗(E.Cesro，1859—1906)在论文发表后的第二年就专门撰文进行了评论。在评论中他不仅对这条曲线大加赞赏，还第一次提炼出了整体与部分的相似性，亦即自相似性。如他所言：

这条曲线最使我注意的地方是任何部分都与整体相似。要想尽可能完全地想象它，必须意识到这个结构中的每个小三角形包含着以一个适当比例缩小的整体的形状。这个形状包含每一个小三角形的缩小形式，后者又包含缩得更小的整体形状，如此下去以至无穷……，无论怎样小的部分都保持相似特征，就是这个特征使曲线看上去如此奇妙。([14]，页2)

2.3 其它经典的自相似集

切萨罗的评论足以看出，这条曲线的产生给数学家们带来了惊喜，然而更重要的是它让我们能更形象直观地了解了自相似的本质特征。为了将科赫曲线的奇妙性质由低维推广到高维，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpiński，1882—1969)在1915年构造了具有严格自相似性的谢尔宾斯基三角形[15]。因其形状像地毯，所以又被称为谢尔宾斯基地毯。1926年，维也纳学派的澳大利亚籍数学家门格尔(K.Menger，1902—1985)在科赫和谢尔宾斯基的启发下，从立体的视角构造另一著名自相似分形集门格尔海绵[16]，这是一个内部几乎被掏空的自相似立方体。

事实上，除了这些经典的自相似集之外，在现实生活中还存在着很多自相似现象。例如用斐波那契数列描述兔子繁殖、树枝生长和花瓣数目等问题，黄金分割在晶体结构、海浪漩涡和宇宙中行星间距离等自然现象中的表现，以及对数螺线的延申、海岸线的分布和黑夜中的闪电等等。上述例子均呈现了部分和整体之间的严格自相似或近似自相似特征，可见自相似性在大自然中有着极其广泛的应用。众所周知，自相似只不过是相似的一种特殊类型，但它却在分形的产生过程中扮演着重要的角色，这在很大程度上归因于自相似理论的形成。

3 自相似理论形成

3.1 莱维对自相似性质的系统剖析

康托尔集和科赫曲线是部分与整体相似的自相似集，但由于它们产生的初衷都是为了解决各自领域中的有关问题，因此数学家们均未意识到这种整体和部分相似特征的重要性。直到切萨罗撰文对科赫曲线进行评论，自相似性才逐渐进入了数学家们的视野。谢尔宾斯基和门格尔进一步给出了基于二维平面和三维立体的两个自相似集，不过尚未对自相似的本质性质进行系统研究。法国数学家莱维(P.Lévy，1886—1971)在这个问题的研究上做出了开创性贡献，他在1938年发表的题为“由部分和整体相似组成的平面或空间的曲线和曲面”的论文中详细探究了自相似的相关性质[17]。

对于科赫曲线、谢尔宾斯基三角形和门格尔海绵的自相似性，莱维之前的数学家仅局限在现象的描述上，尚未触及隐藏在现象后面的本质，即自相似性的数学特征。莱维在回顾科赫和切萨罗等前人的工作后，从相似概念入手逐步对自相似的性质加以剖析。他在论文第一部分首先引入参数，然后用数学语言给出了直接相似的精确概念，如他在论文中定义道：

对于相似概念，过去一般通过物体形状进行宏观描述，而莱维则在这个定义中利用两段弧中点和点之间的对应关系给出了相似的微观分析。在这个分析铺垫下，他进一步定义了自相似曲线C的阶数。即如果任意一条曲线C能够被分解成P段弧，且每一段弧都与整条曲线相似，则称该曲线的阶数为P。此外，他还将曲线C中的每一段弧再细分为与初始曲线相似的P段弧。循坏重复n次上述过程后，他得到了pn段与初始曲线均相似的更短弧。按照这个思路，他在论文中采用逆向思维方式对曲线C描述如下：

可以通过对有限值n取极限得到构造曲线C的定义，折线段Γn来自于对(初始线段)的n次作用，……，曲线C存在的充要条件是它可以被描述为折线段族Γn的极限。([17]，页185)

莱维随后指出，如果曲线在上述定义中的相似是直接的，用C0表示；如果相似并不直接，但所有相似类型都相同，则用C'表示；另外，他还用C1表示在相似上保持方向不变的C'曲线。在这些理论的铺垫下，他给出了科赫曲线基于阶数的另一种全新刻画：

科赫曲线是一条阶数为2的C1曲线，它也可以被当成是阶数为4的C0曲线。([17]，页203)

在科赫曲线原始构造方式的启发下，莱维通过引入参数和阶数等数学概念，将自相似特征由宏观的语言描述上升为微观的数学分析。另外，他还明确指出曲线C任意小的部分都与整条曲线相似，这类曲线C在分形几何中称为莱维曲线(Lévy Curve)，这些工作使得自相似的数学本质愈加清晰。讨论完曲线C的一般性质后，莱维还将研究拓广到二维平面上和三维空间中。对于二维平面，他研究了曲线C上每一点的性质及与其相关的面积测度，重点讨论了由与整体相似的两个对称部分组成的特殊类型曲线。对于三维空间，他在参数化思想的指引下，将上述理论由曲线推广到曲面，还给出了自相似曲面的一个简单例子：

让我们首先给出一个简单例子，从一个等边三角形Σ0开始，将它分解为四个相等三角形，用一个底部在中间三角形上的规则四面体的其它三个面替代这个中间三角形。因此三角形Σ0被一个均相似于Σ0的六个三角形组成的曲面Σ1取代，曲面以Σ0的边界为界。按照这个方法循环重复，通过迭代Σ1中每一个三角形，可以得到一个极限曲面，它由相似于整体的六个部分组成。我们称它为一个阶数为六的自相似曲面。([17]，页233)

在阶数为六的自相似曲面的基础上，莱维进一步定义了阶数为P的曲面S。曲面S由相似于整个曲面的P个部分组成，它在构造上与前述曲线C完全类似。至此，莱维由曲线到曲面，由低维空间到高维空间，对自相似性质进行了系统剖析。借助数学思想和方法，他将自相似现象由具体演绎到抽象，由现象深化到本质，由特殊推广到一般。但仍留下了一些遗憾，如集合论在当时已经相当成熟，但他却没有将集合论的思想融入自相似理论的研究。

此外，莱维作为“分形之父”芒德勃罗的老师，对芒德勃罗创立分形几何有着直接的影响。1944—1947年，芒德勃罗在巴黎综合工科学院师从莱维学习基本的数学理论和方法，自然对老师的工作烂熟于胸。他在深刻领悟老师的思想之后，进一步将之发扬光大，把分数维数理论和自相似理论结合，从而最终创立了分形几何学，并使自相似性成为分形几何最基本的特征之一。

3.2 莫兰对自相似集概念的严格定义

豪斯多夫测度存在的意义在于集合的测度值是正有限的，所以寻找使得集合的豪斯多夫测度大于零的充要条件就显得尤为重要。澳大利亚数学家莫兰(P.A.P.Moran，1902—1985)在1946年发表了一篇题为“积分的可加函数和豪斯多夫测度”的论文，在这篇论文的定理1中，他指出豪斯多夫测度大于零的充要条件由某一个可加函数积分的存在性决定，并给出了严格的证明。运用这个定理，他还估计出了几种不同类型集合的维数，其中最重要的一类集合就是他首次定义的自相似集，如在论文的定理2中所述：

由上述定理可知，所有部分Ei的和组成有界闭集E这个整体，并且每一个部分Ei均与整体E相似，因而该集合具有自相似性，集合E就称为自相似集，这是运用集合思想对自相似现象最早的数学描述。不难看出，这类集合是康托尔三分集、科赫曲线、谢尔宾斯基三角形的抽象和提炼。上述定理只给出自相似集最简单的形式，为了增强它的普适性，莫兰在论文的定理3中继续沿用这一方法将它推广至更复杂的情形：

在定理2的基础上，定理3将自相似集的产生脉络由有限推广至无限，由简单推广至复杂，由特殊推广至一般。莫兰在研究区间的可加函数和豪斯多夫测度时，将集合论与自相似现象结合，给出了清晰的自相似集概念，从而初步形成了自相似理论的雏形。这比莱维在自相似理论的研究上又更进了一步。不过，稍显遗憾的是莫兰只从纯数学的角度提出了自相似集，还尚未将它与大自然界中的现象联系，进行更深入地分析。那么，谁将自相似理论与大自然中的现象结合？这个结合又会产生怎样的影响？

4 自相似理论发展

4.1 统计自相似性

1967年，美籍法裔数学家芒德勃罗在权威期刊《科学》(Science)上发表了一篇题为“大不列颠的海岸线有多长”的划时代论文。他在论文中以海岸线长度问题为突破口，引出了分数维数和统计自相似性两个重要的数学概念，并指出严格意义上的自相似图形在大自然界中其实是很少见的，但统计意义上的自相似性图形却可以经常碰到，海岸线形状就是这种特殊类型图形的典型代表[19]。为此，他对统计自相似性描述如下：

如果曲线的每一部分可以被认为是整体统计意义上缩小的像，这意味着曲线具有统计自相似性，描述海岸线形状的曲线正是与这类曲线密切相关的一个例子。([20]，页636)

这个对统计自相似性的描述从海岸线形状模型中引申而出，相比经典欧氏几何的模型，它显得更加贴近自然，并使得自相似理论又从纯数学问题回新到了实际问题。对这个描述性定义理解的关键在于“统计”一词，而要把它诠释清楚，则需要借助一些数学工具。因此，芒德勃罗在论文中继续分析道：

一个平面图形的随机选择暗含着几种定义。首先选取出一簇可能的形状，通常用Ω来表示。当这族图形包含有限成员时，随机选择的规则是通过每一个图形可能被选取的确切概率来指定。([20]，页637)

概率和随机性的引入使得统计自相似性的描述更加清晰，从而进一步充实和完善了自相似理论。自相似理论作为分形几何的核心内容，对它进行深入探究将有效地推动分形几何的创立。事实证明，八年后芒德勃罗以这篇论文的思想为基础，用法文出版了第一本分形几何专著《分形对象：形、机遇和维数》，他在书中系统地阐述了包含自相似理论在内的分形理论的内容、思想、方法和意义，标志着分形几何的诞生[21]。

4.2 不变集理论和迭代函数系

如何精准构造一个分形，一直以来是数学家们努力解决的问题。能否用简洁的数学语言描述分形，则是数学家们为之奋斗的目标。康托尔三分集、科赫曲线和谢尔宾斯基三角形等一些典型的自相似分形均是先通过给出一个初步的模型，再按照这个模型进行无限次重复迭代得到。由于这样的构造过程过于繁琐，因此给数学家们带来了巨大的麻烦。在集合论思想尚未引入之前，想要简化步骤并用精炼的语言描述几乎不可能，莫兰在集合论思想的指引下定义了自相似集的初始概念，但他的研究重点是豪斯多夫测度的存在性，因而未对自相似理论深入研究。芒德勃罗从具体的海岸线长度问题出发，将自相似性应用到实际问题中，他关注的重点则在模拟海岸线具体形状上，也未对自相似理论进一步探析。真正彻底解决这个问题的数学家是哈钦森(J.E.Hutchinson，1946—)，他在1981年发表了一篇题为“分形和自相似性”的论文。论文中，他通过引入压缩映射集(Contraction Map Sets)，研究集合的不变测度(Invariant Measure)，最终得到了与之对应的不变集(Invariant Set)，亦即自相似分形，成功运用简洁的数学语言描述了分形。

“分形和自相似性”这篇论文的核心在于如何构造不变集，不变集的构造又与严格的自相似集密切相关，而自相似集的严格化则需要借助更深刻的集合论思想。为了严格定义集合的不变性，哈钦森在自相似集的严格化过程中，借助紧集(Compact Set)和压缩映射的数学思想，对集合的不变性定义如下：

哈钦森称上述定义中的紧集K为不变集。通过定义可知，不变集K由有限集ζ来确定，而有限集ζ的组成元素是N个压缩映射。事实上，若给定由N个压缩映射元素组成的有限集ζ，则存在唯一对应于ζ的不变紧集K。上述定义的核心思想确定了紧集K与它自身在N个压缩映射Si作用下的像的关系，即若紧集K与N个压缩映射Si作用它之后所成的像相等，则称它是不变的。然而，要实现这个目标并非易事，必须对压缩映射Si具有的性质和压缩映射Si对应的空间限定相应的条件。为此，哈钦森在论文中限定道：

哈钦森在限定条件中明确指出，压缩映射所对应的空间必须是完备度量空间。随后，他引入迭代思想严格证明了不变集K的存在性和唯一性。证明中，他强调不变集K是一些固定点组成的集合的闭包，这些固定点来自于从有限集ζ中选取p个压缩映射作用于不变集K。哈钦森进一步举例说明，康托尔三分集可以由两个压缩映射元素组成的压缩映射集来确定。类似地，科赫曲线、谢尔宾斯基三角形和门格尔海绵等一些自相似分形集也可以通过选取合适的压缩映射集来确定。哈钦森通过与“压缩映射集”对应的不变集精确地描述了自相似分形集，解决了自相似分形集长期以来难以使用简洁的数学语言进行描述的难题。至此，自相似理论在哈钦森的促进下，继续得到了完善和发展。

压缩映射集是描述自相似分形集的关键，它由有限或无限多个压缩映射元素组成。由于这些元素都是数学中的映射(函数)，将这些函数作用到指定集合上，并进行无限次迭代，最终就可以得到自相似分形集。上述压缩映射集后来被巴恩斯利(M.Barnsley，1946—)等人在1985年发表的论文“迭代函数系和分形的整个构造”中称为迭代函数系(Iterated Function System)，并沿用至今。迭代函数系是构造自相似分形集一个行之有效的方法[23]。正如巴恩斯利等人在描述自然界中一些植物和树叶的模型时说道：

凭借在自然界中经常出现的分支结构中的自相似性，迭代函数系提供了某一种蕨类植物和树叶的模型。([24]，页2)

迭代函数系不仅是描述自相似分形集最强有力的数学工具，它还是分形图像压缩技术的基础理论。巴恩斯利后来将计算机技术融入了迭代函数系理论的研究，创造了分形图像压缩技术，并取得巨大成功，推动了自相似理论在具体实际问题中的应用。

5 结语

自相似性是分形理论中最重要的性质，也是分形特征中最本质的特征。它的核心思想是局部形态相似于整体形态，或者从整体中割裂出来的部分能够完全体现出整体的基本性质。自相似思想可追溯至遥远的古代，但一直未形成严格的理论体系。直到17世纪后半页，莱布尼茨基于直线特征开启了自相似思想理论化的进程，康托尔、科赫和谢尔宾斯基等人则在19世纪末20世纪初，从纯数学的角度构造了具体的自相似集。在参数思想的指引下，莱维在1938年通过引入曲线阶数和面积测度等数学概念，对自相似性质进行了系统剖析。1946年，莫兰在研究豪斯多夫测度时，将集合论融入自相似性研究，定义了清晰的自相似集，形成了自相似理论的雏形。受此启示，芒德勃罗在1967年引入统计自相似性，模拟了复杂的海岸线形状。他还在1980年利用计算机绘制了以他名字命名的集合，该集合完美呈现了局部和整体的相似特征，被誉为“上帝的指纹”。1981年，哈钦森在自相似集的基础上定义了不变集，发展了自相似理论。1985年，巴恩斯利将压缩映射集称之为迭代函数系，并将迭代函数系与计算机技术融合，创造了分形图像压缩技术，进一步推动了自相似理论的发展和应用。