延迟介入 亦能深入

江苏淮安生态文旅区实验小学 戴 俊

虽然我们一直倡导“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式……学习是一个生动活泼、主动和富有个性的过程”，但是以观察代替操作、以提问代替探究、以讲解代替实践的课堂却屡见不鲜，看似教得激情澎湃，实则学得无精打采。究其原因，是教师过早介入学生的探究过程，致使学习活动被固化、学生主体地位被弱化、自主建构被淡化。因此，教师要树立正确的教学观，延迟介入，顺学而教，方能使学生深度参与到数学学习中来，促进教与学良好生态的形成。

一、延迟揭示概念：感悟知识生发的过程

概念是数学学习的重要组成部分，它有很强的严密性和抽象性。个别教师在教学中过早地将概念以直接定义的方式告知学生，要求学生识记，让学生做概念的“复读机”和“打印机”。这一方面不符合学生的认知规律，因为学生会对每一个新接触到的概念建构自己的理解，这种理解不是通过感官或谈话交流就能够获得的，它需要通过学生个体的反思抽象再进行自主的建构；另一方面，概念的产生形成过程衍生着数学文化，蕴含着数学思想，需要教师给学生一定的时间和空间来体验，乃至是重现概念发生、发现、发展的过程。

例如，在“认识分数”的教学中，一位教师先让学生将4瓶水、2个苹果分别平均分成两份，分得的结果可以用自然数来表示。接下来，教师出示一块蛋糕，问：“如果平均分成2份，每份你能用什么数来表示？”一个学生回答：“可以用0.5表示。”小数与这节课的教学并无直接关联，教师仍然请该生介绍在哪里见过小数，表示什么意思。接下来，教师问：“你还能用什么样的数表示呢？”“能不能发明一个数来表示出这半块蛋糕，你觉得发明的这个数会和哪些数字有关系？”学生回答：“和2有关，因为平均分成了两份。”“和1有关，是其中的一份。”教师提问：“既然与2、1都有关系，你能写出这样的数吗？”同学们讨论以后，在黑板上写出了各式各样由1和2组成的数的样子，出示正确的书写形式后，教师引导学生给这样的数起个名字，学生分别说：“叫组合数，因为是两个数合成的。”“叫份数，因为是分成了几份。”“叫分数，因为每一份都是平均分的。”在学生的讨论交流中，分数这一概念自然而然地揭示出来。

在上面的案例中，面对无法用自然数来表示的情形，教师让学生在讨论、交流中建构其对分数的书写、构成、意义的理解，教师没有在开始和中途过多地介入，而是让学生体验了分数的创造、定义的过程，之后再揭示概念。这样的学习过程不再是由学生复制教材上的内容，而是一个自主发现、自力建构、自我成长的深刻学习活动。事实上，“含有未知数的等式叫方程”这样的定义式概念和“用来表示物体个数的1、2、3、4、5……是自然数”这样的描述式概念，是小学阶段的主要概念呈现形式。在我们成人看来，这样的定义或描述理所当然，如果是作为冷冰冰的规定去“塞”给学生，企图去递送知识，那么数学必然会给他们一种冰冷、生硬的不良感受。我们要清楚地认识到，儿童需要用自己的经验来解释和沉淀新的概念，并将其同化、内化，这都需要一定时间和空间。作为教师切忌包办，而要适时引导、支持帮助，为学生进行理解加工创设良好的环境和条件。

二、延迟总结规律：体悟自主探究的经验

数学是揭示我们所存在的世界中规律的学科。对于存在的一些规律，我们往往通过归纳和推理，从一些特殊现象中概括出一般性结论，或是从已有的定律中推导出新的结论。在教学中，有些教师会将教学的重心沉积于规律的总结，要求学生用更多的时间去背诵或者是在应用中熟悉规律的陈述，而忽视、淡化了规律形成的探索过程。

例如，在教学“正方体的展开图”一课中，对于一个正方形的表面展开后会有哪些形状？哪些是正方体的展开图？如何快速地进行判断？很多教师可谓“绞尽脑汁”，总结出很多“巧”办法。

一位教师直接告诉同学们，每个小正方形摆放的位置为“141”“231”“222”“33”形，并且不出现“U”形和“田”形就可以围成正方体。另一位教师是让学生在课前准备了很多这样的图形（见上图），并给每个小正方形编上号，让同学们先猜想一下谁和谁可能是相对的，再通过折一折来验证，最后引出结论：如果可以找到三组相对面，就可以围成一个正方体。在同学们了解了正方体侧面展开的基本原理后，再让学生找一找展开图的规律。对比两种教学流程，第一种教师过早介入，直接告知规律，忽视了规律背后的原理，学生知其然却不知其所以然；第二种教师不急于总结，让位于学生的自主探索，侧重于从现象中明晰原理，于理解后提炼规律，在此过程中，同学们有猜想、实践、观察、反思，学活且学透。

从上面的案例可以看出，规律的发现与总结应该是一个整体的学习过程，这就意味着不能偏重于规律的总结表述，学生在现象中积极探索、猜想验证，这个过程的重要性甚至比规律的表述还重要。如果教师过早地介入，将规律直接告知学生，依据的数学现象过于单一，研究的案例片面零碎，那么规律的推导往往不够严谨，结论难以信服，学生停留在了对于规律陈述的记忆，而忽略了更为重要的规律推导过程和其中数学思维训练。所以，不能武断地从外部将规律进行“填灌”，应给学生留出探索与实践的时空，使学生在探究中发现和总结规律推导的方法，提升对数学现象的直觉思维能力。

三、延迟优化方法：领悟问题解决的思想

为了培养学生的创造性思维，我们常常在解决问题时引导学生从不同的视角、迥异的路径去解决问题，同时，为了使解题更快捷，目标更聚焦，我们又常常引导学生得到“最好方法”。这样做本无可厚非，但是教学中过早或过重聚焦于方法的优化，而忽略方法多样化过程中学生缤纷多彩的探究活动，就会使学生淡漠主动探究的浓厚兴趣，从而降低学习质量，禁锢思维发展。

例如，在“解决问题的策略”教学中，一位教师首先呈现了例题：梅山小学有一块长方形花圃，长8米。在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米。原来花圃的面积是多少平方米？接下来，教师让大家用喜欢的方法来解决。在汇报环节，学生除了用画图的方法外，还呈现下面两种方法：1.列举的方法，即宽应小于8米，学生从1米至7米进行列举，通过两种长方形的面积差来进行推算；2.直接计算法，18平方米即为宽乘上3，算出原来宽是6米，再进行计算。教师提出“列举法和直接计算法与画图比起来，计算过程多，书写步骤长，不形象也不直观。”于是，在接下来的学习中，用列举和直接计算的方法就再未被提及和出现，所有的解答都统归成了画图法。

在上面的案例中，教师对方法的优化似乎并无不妥，但是教学图画的策略并不意味着就要回避、弱化其他方法，更不能从有没有用、简不简便来判断其他方法的利弊。授之以鱼，不如授之以渔。任何一节课都不是数学学习的终点，任何一种方法的背后都蕴含着深厚的数学思想。最优的策略不一定等同于书写步骤的简单，而应包括适用的范围、思维的角度、应用的价值，而且我们不能简单地评价一种方法好另一种不好，因为好的方法是相对而言的，任何方法都有其局限性。方法的优化，应基于夯实方法多样化的基础上，解决问题不是学生学习的终点，解决问题过程中承载的思维的训练、思想的熏陶有时比得到答案更为重要。在学生进行方法的探究时，教师不应过早地就将方法进行统一，结论给予固定，思维进行聚合，而应尽可能地让学生敞亮疑问，展示方法，拓展思维。

当然，我们不能将教师的延迟介入理解为减少教学过程中教师参与的比重，不能认为要降低教师的作用和价值。与此相反，而是要对教师的介入提出更高层次的要求，这是一种“欲擒故纵”的教学智慧和“静待花开”的教育哲学，即教师能在尽可能少的时间内尊重学生的认知水平和学习规律，增加课堂活动的“不确定性”，让学生有更充分的时间去假设和验证、操作和发现、探索和思考，使学生在真实、具体、复杂而有挑战性的学习环境中，真正成为学习的主人，习得更有深度、更有温度的数学知识和能力。