基于数学本质，让学习深度发生——对人教版数学四年级下册“小数的意义”的思考与实践

浙江杭州市萧山区夹灶小学 李国良

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学知识的教学，应注重对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。教学时要引导学生感受数学知识与生活的联系，并通过实验、操作、尝试等活动来理解数学知识的本质及体现的数学思想。体会数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解。因此，这给我们数学课堂教学提供了一个启示，在教学中我们不仅要寻找知识的现实起点，也要寻找数学知识的逻辑起点，更要寻找各知识点的“前世今生”。

一、教材分析

人教版数学教材中，“小数的意义”这一知识点分散在三年级下册第七单元《小数的初步认识》和四年级下册第四单元《小数的意义和性质》。在“小数的初步认识”中，教材通过生活中的质量、价格、体温、身高等感性材料来认识小数，设计“量身高”等具体情境教学小数，运用几何直观米与分米的十进制关系来理解一位小数的意义，初步懂得一位小数是用来表示十分之几；在第二课时中结合具体的“量”来比较一位小数的大小，以进一步巩固对一位小数意义的理解。四年级“小数的意义与性质”单元中，教材通过小数产生的必要性来引入小数，再次运用米与分米、厘米、毫米之间的关系来明确一位小数表示十分之几、两位小数表示百分之几……掌握小数的计数单位和小数计数单位之间的进率。在小数的读法与写法中安排小数的数位顺序表，知道小数的组成和小数部分的数位顺序。

通过对两个年级的“小数意义”教材分析后，笔者认为这两个阶段均借助于熟悉的生活情境来理解、掌握小数的意义。但四年级对小数意义的学习不能仅仅停留生活中“量”的范围内，它需要从“量”抽象成为“数”，最终完善对小数意义的认识，理解并掌握小数的概念。

二、学情分析

学情分析是教师在实施教学过程前的一段时间内，通过不同的调查方式对学生的知识储备、已有经验、思维水平等进行了解、分析与思考，为教学设计、实施有针对性的教学提供依据。

1.调查内容的拟定与思考

根据“小数的意义”一课的相关知识点，我们拟定了7个小题进行调查，主要了解学生对小数意义的知识储备、图形表征、意义建构、深度理解等能力。对这些问题按照思维层次的四级水平进行分类，分别是：

二级思维层次有2个问题：即用图来表征0.2和0.25。主要考查学生能否借助图形来理解一位小数，类推出两位小数的意义；了解一位小数用十分之几的图形来表示，能否类推出两位小数用百分之几的图形来表示，充分构建起图形与小数的关系。

三级思维层次有1个小题：能否在上图的计数器上表示出25.4。主要考查学生能否借助计数器从整数的位值原理推理出小数的位值大小，明白整数与小数的联系。了解学生从小数的“量”到“数”的理解程度。

四级思维层次安排1个问题：为什么分数写成小数，小数写成分数的分母都是10、100、1000…呢？你知道其中的原因吗？把理由写在下面。主要考查学生能否通过一级、二级思维层次等中间问题来推理、阐述小数的意义，了解为什么小数的意义要借助分数的意义来理解的程度。

2.调查结果的梳理与分析

本次调查，我们选择了城镇两所小学各两个班级的120名四年级学生进行了前认知调查，采用独立完成、无暗示的方式进行。

从上面统计中，我们认为：

调查结果显示：一级思维层次的三个小题学生回答得较为理想。在分数化小数的3个小题中，只有4个学生把分母是1000的分数化错为两位小数；小数化分数的3个小题中，只有5个学生把三位小数化成了分母是100的分数。从这一侧面可以看出分母是10、100的分数化成小数和一位、两位的纯小数化成分数不存在障碍；而分母是1000的分数化成小数或三位小数化成分数需要在后续的学习中加以引导。

二级思维层次的两个小题大部分学生能用长（正）方形图来表征十分之几和百分之几，而用线段图来表征的相对较少。笔者觉得，十分之几用一维的图来表征相对较为方便，而百分之几用二维的图来表征较为容易，千分之几用三维的立体图来呈现较为合适。我们试想：百分之几采用线段图来表征需把线段进行100等分，显然，学生对于这样的分法存在困难；当学生用正方形面积图来表征百分之几，能联想到1dm2与1cm2之间进率的推导方法，思维就相对来得简单一些，理解起来较为容易。

三级思维层次的题目正确率较低，而两种错误形式比率也接近。笔者以为，学生有一个表象就是小数点是整数部分与小数部分的分界点，应有其位置，对于现象背后的相邻数位之间的进率的本质就无法建构；而没有呈现数位顺序表也属于正常现象，他们的大脑里已经呈现了25.4。

四级思维层次的题目属于本质性概念的理解，因四年级学生还没有完整地学习分数的意义，要让他们从十进制分数的理解中抽象出小数的意义是困难的。在调查中，我们也发现个别学生对小数意义的理解有自己的想法而且符合小数的本质属性（如下图），这两个学生能从0.1缩小（学生表述不是很精确，但能说明问题）和从图形的表征来理解0.01，说明他们对于小数的意义已经有了本质的理解，期待教师能正确、科学地加以引导。

3.学生访谈的梳理

为让学生把对小数意义的理解的真实想法表达出来，我们选择了每个班级最好的那个学生（由任课老师推荐）进行了访谈，主要是了解他们对小数意义的理解程度。整理后发现，他们都存在同样的困惑：一是原来学习整数时都是数数的，现在学习小数为什么要用线段图或正方形来进行研究？二是在商场里看到的小数如25.4元就是25元4角，0.4元也就是把1元分成10角是其中的4个1角，为什么数学上学习小数要通过分数来进行学习？三是小数与整数、分数有什么联系与区别？

笔者认为，学生对小数意义建构的困惑正是我们教学小数时需要思考与研究的，教学设计时是否符合学生的认知规律？是否从学生的最近发展区展开教学？

三、教学思考

小数的意义是一个典型的过程型概念，也就是说它既是过程又是概念。在对教材与学情的分析后，我们认为：“小数意义”的教学过程中，不仅要重视具体情境下的表述，即充分利用学生的生活经验和已有认知，引导他们在多次表述中感悟小数的含义，促进学习的正迁移；也要从数学的本质上借助于“数数”来激活相关经验和知识基础，促进对小数意义的归纳与理解。为此，笔者认为要处理好以下两个关系：

1.理清小数与分数的关系

众所周知，小数的实质是十进制分数的另一种表现形式，但其依据是十进制位值原理，其本质是“位置计数法”的拓展，引进小数是为了表示小于“单位1”的量。在历史上，小数的认知远早于对分数的认识，我国商代已经有十进制的度量衡制度，就是小数，而分数的记载则出现在春秋时期，中国古代数学由于重视位值计算及其算法，特别崇尚小数，曾经盛行数百年的珠算则完全使用小数计算。因此，在教学小数时，不要总回到分数的意义上理解小数，而应遵循劳动人民对小数与分数认知的先后顺序，这样才真正符合发展规律。

2.理清小数与整数的关系

认识小数其意义在于扩充自然数，使得可以用“数”来表示小于“单位1”的量。小数使用的是十进制位值计数法，而不是简单的“十分之几、百分之几……”表述，它是将个、十、百等往左不断叠加的位置计数方式，朝着另一个方向加以延伸，也就是不断平均分成10份的过程，即增加十分位、百分位等新位置，使之成为更完善的一种位值计数制度，显示了自然数与小数的完美统一。在教学时，要让学生掌握一些本源的问题，也就是为什么要学习小数？小数与整数的联系在哪里？小数如何在数轴上表示出来？为什么小数的分母是10、100、1000等？尽量把小数背后的数学思想方法用易懂的方法表示出来。

四、教学实践

基于对“小数的意义”的深入分析与思考，我们认为可以把例1与例2进行整合，从“注重表征，初步感知小数的意义”和“追寻本质，深刻理解小数的意义”两大板块开展研究。

1.注重表征，初步感知小数的意义

数学表征是指学生对数学概念及其关系的信息加工过程，可以通过文字、图形等方式呈现出来。数学表征水平代表着学生对数学知识建构的水平，表征形式越丰富，学生对概念的理解就越深刻。

课始，让学生直接说几个一、两位小数（如0.4，0.6，0.15,0.78……）等，然后集体读一读这些数。接着，组织学生用自己的方法表示出0.4和0.15（如下图），集体讨论：为什么0.4和0.15采用这样的方法表示出来？

生1:0.4就是把1条线段平均分成10份，其中的4段就是0.4。

生2：0.4就是把1个长方形平均分成10份，其中的4份就是0.4。

生3:0.15就是把1条线段平均分成100份，其中的15段就是0.15。

生4：0.15就是把1个正方形平均分成100份，其中的15份就是0.15。

师：为什么0.4把线段或长方形平均分成10份，0.15要把线段或正方形平均分成100份呢？

生5：如果把0.4加上单位“元”，0.4元就是把1元分成10个1角，也就是4角；同样把0.15加上单位“元”，0.15元就是1角5分，就是15分。

……

随后，集体小结：0.4与0.15表示把一个图形平均分成10份和100份表示其中的4份和15份。接着教师设疑：0.003用图可以怎么表示出来？

生1：把一个图形平均分成1000份，其中的3份就是0.003。

生2：可以把一个立方体平均分成1000份，其中的3份就是0.003。

课件出示把1个立方体平均分成1000份，3个涂色部分就是0.003。随即组织学生把0.4、0.15、0.003写成分数。

笔者认为，这一环节的设计充分尊重学生的前概念认知，一位小数与两位小数直接让学生用图等形式进行表征，三位小数用推理的方法来进行教学，对于发展学生的空间想象能力和推理能力起到重要的作用。对于为什么一、两、三位小数要平均分成10、100、1000份形成表象即可，深究其原因要借助于计数器，这样才更有数学的本质。

2.追寻本质，深刻理解小数的意义

在第一环节中通过对小数意义的表征与质疑，学生初步懂得了小数的意义及小数与分数之间的关系，在此基础上需要深入探究背后的道理。

出示小数119.15，组织学生在计数器上（如上图）表示出来。学生自然会出现前概念调查时的三种情况：完全正确的、小数点占数位、没有数位表示的。随后教师让学生对上述三种表示方法发表意见。

生1：这个计数器是没有数位顺序表的，要先标出数位，第三种没有表示出数位，不知道11915是什么数。

生2：小数点不能占据一个数位，因为它没有计数单位，小数点的左边起依次是个位、十位、百位……是相邻的，它们之间的进率依次是10。同样，小数点右边第一位与个位之间的进率也是10。

生3：小数点左起应该是个位、十位……右边起是十分位、百分位……第一种记录是对的（如上图）。

生4：我觉得完成这个题目应该先在计数器上标出数位，然后根据这个小数依次在相应的数位上表示出珠子的个数。

……

此时，教师小结表示的方法并继续质疑：为什么一（两）位小数用十（百）分之几来表示呢？

生1：我发现计数器上往左计数单位越来越大，往右计数单位越来越小。

生2：我发现个位是9，如果加1，就满十了，就向前一位进1，往左是加起来的；如果十位1不够，需要向百位借1作10，向右相当于是分出来。

生3：如果十分位的1不够，向个位借1就是10个0.1，也就是向右是从高位分出1个10来。

生4：如果十分位上的1加10个就满十，就向个位进1。

师(小结)：在原来整数计数器上，个位、十位、百位等,它们相邻的计数单位是10，为了保持计数器的一致性，向右个位、十分位、百分位等它们之间的进率也是10，十分位就是从个位1平均分成10份，也就是10个所以一位小数就用十分之几来表示，两位小数就用百分之几来表示。在计数器上我们发现，向左就是加的过程，向右就是分的过程。

接着教师继续提问：为什么这些数位取名个位、十位、十分位、百分位？

生1：个位就是1个1个的，把1个1个加起来到9再加1个满十了就要向高一位进1，这个1就是10，所以就取名十位；如果10个10个叠加，满百了就要向高一位进1，这个1就是100，所以就有百位了。

生2：如果从1元里要拿出几角，就需要从个位的1元平均分成10份，也就是分成10个1角是元，这个十分位了；如果从1角里拿出几分，就需要再平均分成10份，也就是1元要平均分成100份，就是100个1分是元，就是百分位。

生3：个位1平均分成10份，往右给下一位，就是十分位，再平均分成10份，给下一位就是百分位，百分位上的数就是把个位平均分成100份。

……

在教师小结后，一起研究119.15是怎么组成的？这个数怎样在数轴上表示出来？

……

我们可以发现，上述三个大问题都紧紧围绕小数的意义层层展开教学，借助于计数器可以清晰地知道为什么一（两）位小数用十（百）分之几来表示。它不仅拓展了数系，在计数器上完整地呈现小数与整数的关系，小数也是通过“数数”的方法来进行，保持了与整数的一致性；还从数学的本质属性来思考小数的意义，明白了小数与分数的联系与区别。这样教学“小数的意义”，就不再局限于从“分数的意义”来展开，学生自然不会有思维的断层，学起来就显得容易。

老子说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”我们借助于整数“数数”的方法来研究小数，用学生已有的生活经验与知识经验把小数意义背后的知识与道理发掘出来，让学生真正懂得知识的来龙去脉，知道数学知识的生长性。因此，我们进行课堂教学，只有不断地研究学科本位知识，正确掌握数学的本质属性，才能将教学内容把握得更精准、更到位；我们只有不断地研究学生，了解学生需要什么，才能使教学更接地气、更加实效，真正把“教什么”与“怎么教”一样重要地落到实处。