全面总结知识，着力提高解题水平

董仲超

[摘           要]  讨论高等数学教学如何提高解题水平的一些问题，分两部分进行阐述。第一部分将题型分成概念公式题、迁移题、综合题、证明题四类，第二部分阐述要善于从方方面面进行总结。我们要总结知识结构，总结问题，总结解题方法，总结解题经验，在总结中巩固自己的知识、提高自己的能力和素质，提高自己解决问题的本领。

[关    键   词]  题型分类;总结;解题;目标

[中图分类号]  G712                   [文献标志码]  A                      [文章编号]  2096-0603（2019）36-0256-02

一、常见题型分类

（一）概念公式题

1.定义

所谓概念公式题就是直接套概念公式就可以解出的题目。只要概念公式记住了，问题就能够解决。

2.例子及解答

例题：设向量=（3，-2，1）=（p，-4，-5），已知⊥，则×等于多少？

解答：第一步，根据两向量垂直，得到两向量数量积等于零，算出p;第二步，根据向量积的公式得到两向量的向量积。

3.此类问题的解决方法

这类问题的实质就是考查记忆能力，只要记住了计算公式，稍加训练，遇到问题自然就解决了。

4.此类问题的教学方法

第一讲清概念公式等知识点，第二手把手地教题目解答，第三在作业中练习知识点，第四在以后的学习中经常复习，可以在讲解复杂的题目时带到这些基础知识，也可以简单重复该知识点。

（二）迁移题

1.定义

所谓迁移题就是该问题并没有接触过，但是解决问题方法的实质是已经学过的。

2.例子及解答

例题1：已知空间直线方程==，求该直线xoy在面上的投影曲线？

解答：解决向量代数与空间解析几何问题的关键是数形结合。画出图来就会发现，所谓该直线在面上的投影曲线就是该直线的两点在面上的投影，就是该直线上的任意两不同点让第三个坐标为零就可以了。所以说虽然该问题没有接触过，但是解决问题的实质或者思想方法就是投影柱面和投影曲线里面的思想。

例题2：计算I=-1dxdydz，其中Ω為曲面z=与z=1所围成的区域。

解答：求三重积分的题目关键是画出积分区域，并确定为何种类型的三重积分，是截面法、投影法、柱面坐标还是球面坐标？当然要能确定为何种类型，自己首先知道各种类型的原型。但是这道题目里面含有绝对值。怎么办？这个问题一般教材上没有，但是解决问题的方法其实一句话，找到积分区域上的被积函数。这个思想方法我们是一贯在求三重积分时候用的，但是就是没有提炼出来，明确下来。所以这道题只要在原点画个半径为1的圆就把积分区域分成两部分，然后在每个积分区域上用球面坐标来做就可以了。

3.此类问题的解决方法

这类问题不但考查记忆能力，而且还要考查理解能力。所以首先要记住公式、概念，还要能清楚说出问题的原理。比如投影柱面、投影曲线、积分区域上的被积函数、球面坐标都要能说清楚。

4.此类问题的教学方法

第一是要讲清楚知识点，第二是要求学生会总结问题和解决问题的方法，要求问题与方法烂熟于心，第三是给予一定量、一定难度的题目训练，进一步对概念、方法烂熟于心。经过这样的讲解训练，达到熟能生巧的程度。

（三）综合题

1.定义

综合题涉及多个概念、方法、技巧的问题，需要我们对涉及的所有知识点都掌握后问题才能解决。

2.例子及解答

例题：在变力=yz+zc+xy的作用下，质点由原点沿直线运动到椭圆++=1上第一卦限的点M（ξ，η，ζ）。试问，当ξ，η，ζ取何值时，力所作的功W最大？并求出W的最大值。

解答：第一步，根据变力沿曲线做功（这里直线可以理解成一种特殊的曲线）的数学模型是第二类曲线积分，得到一个第二类曲线积分的式子。第二步，列出曲线（该直线）的参数方程，计算出该第二类曲线积分的结果为一函数。第三步，判断此问题为条件约束问题。根据约束条件，列出拉格朗日函数，用拉格朗日乘数法解出最大值。

3.此类问题的解决方法

这类问题考查的知识点较多，要求每个知识点都掌握。换句话说，如果我们掌握了每个知识点，那么我们就能解决这类问题。这道题目的考点有第一类曲线积分的概念、计算公式、物理原型，直线的点向式、参数式方程，条件约束问题及解决方法。如果这些知识点都掌握了，那么这个问题就能解决了。

4.此类问题的教学方法

首先是讲清楚每个知识点，然后要稳扎稳打，经常复习，同时要求同学做好总结。总结概念、方法、技巧、公式、符号、解题步骤，在总结中提高自己。

（四）证明题

1.定义

证明题就是运用所学概念、方法、技巧、公式来进行判断和推理，证明某项结论成立的问题。

2.例子及解答

例题1：如果正项级数an收敛，试证级数也收敛。

解答：第一步，对要求的级数通项进行放缩，拆成两项;第二步，利用条件和p级数的收敛得到右端收敛;第三步，利用正项级数的比较判别法，得到左端级数收敛。

例题2：设级数（an-an-1）收敛，bn是收敛的正项级数，证明级数anbn绝对收敛。

解答：第一步，利用级数收敛其部分和必有极限，得到数列an收敛;第二步，利用数列an收敛必有界得到其有界M;第三步，利用放缩法证明anbn小于等于Mbn，右端收敛，所以左端绝对收敛。

3.此类问题的解决方法

这类问题和上面的综合题比较起来，没有直接告诉你用什么方法。我们必须熟悉所有的正项级数判别法，还要知道平方差公式的放缩技巧，经过相当题目的训练后，才能想到用上述方法技巧解决。第二题必须知道级数收敛就是部分和数列收敛就是其极限存在，正项级数的比较判别法，绝对收敛的概念等。此类问题的关键就是我们必须学会运用正确的概念、公式、方法、技巧进行判断和推理，得到一系列结论。

4.此类问题的教学方法

首先是讲清楚每个知识点，然后是要稳扎稳打，经常复习，同时要求同学做好总结。在此基础上，还要教会学生联想的方法，就是考的是级数，你必须脑中有级数整章的知识结构。另外，还要有一定的训练。同时，要教会学生运用综合分析法解决问题的方法。所谓综合分析法就是“条件推推，结论推推，两头凑凑”。一定要学会用综合分析法来解决问题，用活条件和结论。

二、全面总结，提高解题水平

（一）老师必需的教学步骤

教学步骤必须完整，而且要突出重点。要给学生教学资料，包括教材电子稿、试卷、题库、授课计划等;要备好课，上好课;要有习题课;要考前冲刺;要辅导答疑;要做好学生的沟通、激励;要做好平时测验;要批改好作业等。重点是解答好学生心中的疑难困惑，老师要做好示范。

（二）学生必需的学习步骤

作为学生来说，必须做好预习，听好课，做好复习，做好作业，做好试卷、题庫，有问题要及时请教同学、老师等。关键是要发挥学生的主动性，学生在学习中要化被动为主动，积极构建自己的知识体系，在任何问题上都不能有疑惑。在学生的学习过程中，有疑惑一定要解决掉，绝不能放在那里，因为知识点往往是相互联系的。

（三）学生学习的关键是全面总结

1.目录般的总结（含有经典题型）

学生要按照教材目录，对各章节知识点进行总结。总结中包括各节的知识框架，重点、难点、疑点要标明弄清楚。在每章节的总结中，每节要有几个经典题型。既要做知识的总结，也要做题型的总结。所谓“练拳不练功到老一场空，练功不练拳犹如无舵船。”这里的功就是基本功，就是各章节的知识点;这里的拳就是各种题型。

2.专题总结

除了按照章节来总结的话，我们也要有意识地进行专题总结。比如高等数学中的若干对称性问题，总结如下。

①定积分中的对称性问题：偶倍奇零是定积分中的对称性问题的概括。

②二重积分中的对称性问题

a、设函数f（x，y）在闭区域上连续，域D关于x轴对称，D位于x轴上方的部分为D1，在D上，（1）f（x，-y）=f（x，y），则f（x，y）dσ=2f（x，y）dσ

（2）f（x，-y）=-f（x，y），则f（x，y）dσ=0

③第一类曲面积分中的对称问题：我们以一个例子来讲清楚这里面的对称性问题。

Σ：x2+y2+z2=a2（z≥0），Σ1为Σ在第一卦限中的部分，则有

zdS=4xdS。

这里用到的对称性实质上仍是两方面，第一是积分区域对称，第二是在对称的积分区域上函数相等。

④对称性问题实质的总结

对称性问题的实质就是积分区域对称，这里面有各种各样的对称，然后就是在对称的积分区域上被积函数相等或相反，最后就得出是倍数关系还是为零的结论。

3.解题经验总结

解题经验总结一下就是三条：第一条，全面总结知识，有牢固的知识结构基础;第二条，有一定的常规题、迁移题、综合题、证明题的训练;第三条，要学会综合分析法的解题思想方法。

4.学习方法总结

学习方法总的来说是要学会化被动为主动进行自学，学会自己提炼问题并独立解决问题，学会做笔记，构建自己的知识体系，学会做到疑难困惑处给出明确答案，不断前行。

（四）为达到教学目标奠定扎实基础

1.教学目标是什么

高等教育的任务是培养具有社会责任感、创新精神和实践能力的高级专门人才，发展科学技术文化，促进社会主义现代化建设。

通过本课程的学习，能够为将来的学习打下扎实的数学基础和学习方法基础，能够提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

在学习和应用高等数学过程中，学生能发展出质疑探索、抽象概括、逻辑推理、数学建模、数学运算、归纳总结等数学核心能力。

在学习数学的过程中，可以培养学生运用正确的概念进行判断推理的能力;通过大量的题目训练可以培养出学生吃苦耐劳的品格，从而培养价值判断能力;通过一系列的学习、复习、检测、讲解、答疑等教学环节，有助于学生树立正确的世界观、人生观、价值观，认识到成绩是努力出来的，幸福是奋斗出来的。

2.通过总结我们学到了什么

通过总结，我们让知识条理化、系统化、结构化，把别人的知识经验思想变成自己的知识经验思想，通过总结为解题打下牢固的知识基础，通过总结为达到教学目标打下牢固的基础。我们要经常在学习中，在解决问题中，在提炼问题中总结问题和方法，做好总结这个基础性工作。

只要学生肯稳扎稳打地认真学，肯老老实实学，肯勤学苦练，高等数学是能够学好的，能够体会到解决问题的能力如登堂入室的感觉，能够为其他各门功课的学习打下知识和学习方法的基础，能够全面提高素质。

参考文献：

陈晓龙，施庆生.高等数学学习指导[M].北京：化学工业出版社，2016.

◎编辑 赵瑞峰