高中数学拔尖创新人才的课堂教学探析

2019-01-31杨艳华

镇江高专学报 2019年2期

马斌，杨艳华

(1. 江苏省镇江第一中学,江苏镇江 212016; 2. 江苏联合职业技术学院镇江分院基础部,江苏镇江 212016)

拔尖创新人才是学生群体中的亮点,拔尖人才培养是学校教学水平的体现,是学校的名片,是学校工作的重心之一。拔尖人才的培养需要群策群力,统筹规划[1]。无论是外部社会,还是内部教育行业,越来越重视拔尖人才的培养。

数学拔尖人才思维敏捷,逻辑严谨,想象力丰富,能直观认识空间、抽象数学模型;条理性强,能轻松应对复杂情形;计算精准,能更快、更准地处理数据。他们对数学有着浓厚的兴趣,知识面广,对数学知识的综合应用、多种方法解题、数学建模等有独特的见解。其最明显的特点是在数学竞赛中能够崭露头角。他们在良好的教育环境中学习自我控制,磨练耐性,培养创新能力和独立解决问题的能力,逐步形成个性化的思维。学校教育对拔尖人才的培养具有不可替代的作用,数学教师对学生的学科专业引领不可或缺。

1 因材施教,适当补充和拓宽

课堂教学不能局限于课本知识[2],需要适当补充竞赛内容和思想方法,甚至可以提前学习大学的部分课程,如高等代数、初等数论等。对知识点的补充和拓展不仅可以满足竞赛的需要,而且可以开阔学生的视野，拓展学生的思维[3]。

例如讲解《对数的概念》时,让学生回顾几个看似不相关的问题: 1) 2+?=3，2+?=1,圆半径×?=圆周长; 2) 2?=4,2?=8,2?=5,引发学生思考。当现有的“数”不能解答问题时,人们就会引入新的“数”(符号)。这一思想在《数系的发展——复数的引入》一节再次印证,即当实数不能表示方程x2=-1的根时,引入虚数这一概念。解答2?=5这个问题时,让学生先考虑是否存在这样的(实)数,以培养学生思维的完备性而不是机械地记忆符号。由指数函数y=2x的图象可知,若作直线y=5,则该直线会与y=2x产生唯一的交点,这说明存在唯一的实数,使得2x=5。解决了这个数的存在性问题,引入对数的定义后,提问:既然存在唯一的实数log25,使得2x=5,那么这个数是有理数还是无理数?这个问题超出本节课的教学要求,但后期理科生需要学习反证法,且数论知识作为全国高中数学联赛中二试的热点也是必须掌握的，因此,引导学生尝试用反证法。假设这个数是有理数,则可设log25=qp,其中p,q互质。于是,根据对数的定义可将其化为指数形式,即2qp=5,两边同时p次方得2q=5p,当p,q互质时,显然2q为偶数,而5p为奇数,不可能相等,故假设不成立,即log25不是有理数。前面已知log25是实数,所以log25是无理数。如此,可以加深学生对对数定义的理解,同时,引入对数的两个重要恒等式logaaN=N(a>0且a≠1)和alogaN=N(a>0且a≠1)。学生在理解中记忆公式,才会记得牢、记得久[4]。

2 注重思维训练

拔尖人才的课堂教学要注重知识的连贯性和思维的启发性,把握学生的最近发展区。学生将知识点串联,融会贯通,才能站得更高、看得更远[5]。

讲解《对数的运算》时,教材分为对数的加、减运算,换底公式,对数恒等式等部分,很多学生一开始弄不清楚它们的联系,使得记忆发生错误。将之归纳为对数的加、减、乘、除、乘方运算,学生非常熟悉和经常使用这些运算,很容易联想其运算法则。加、减运算不作改动,引入对数的乘法运算,即

logab·logbc=logac

(a>0,b>0,c>0,a≠1,且b≠1)。

记忆时可类比分数的乘法,注意不是任意两个对数都可以直接相乘的,必须一个对数的真数与另一个对数的底数相同。乘式改为商式就是对数除法,即

logaclogab=logbc(a>0,b>0,c>0,a≠1,且b≠1)。

从左向右看是对数的除法,从右向左看是换底公式。将陌生的事物转化为熟悉的事物,是数学中的重要思想方法——转化与化归。乘方运算可归结为

logaMbN=NMlogab(a>0,a≠1,且b>0)。

这样一来,原本在学生看来杂乱分布的公式只需按照5种基本运算就可以熟记,大大减轻了学生的负担,削弱了他们对陌生知识的恐惧感[6]210。

3 注重能力培养

思维是解题的核心,是教学的重中之重。对学生思维的培养应重于对知识和技能的传授。而学生的思维发展是一个缓慢的、螺旋的、循序渐进的过程,不可生硬地强制训练[7]119。

例1 已知数列{an}的通项公式为an=n2n,求{an}中是否存在3项成等差数列?

解设1≤par,若ap,aq,ar成等差数列,则

2aq=ap+ar,

即

2q2q=p2p+r2r,
2q·2r-q=p·2r-p+r。

(1)

因为r>0,所以

p·2r-p

即

2q-p<2qp。

(2)

令q-p=t,则t≥1,式(2)可化为

2t<2p+2tp=2+2tp。

1) 当p=1时,

2t<2+2t,

解得t=1或t=2。t=1时,p=1,q=2,r无解;t=2时,p=1,q=3,解得r=4。

2) 当p≥2时,

2t<2+2tp≤2+t,

解得t=1。此时,q=p+1,代入式(1)得

2(p+1)·2r-(p+1)=p·2r-p+r,

即

2r-p=r。

因为r-p≥2,所以令r=2k(k≥2,k∈N*),则

22k-p=2k,

即

2k-p=k。

所以p=2k-k,q=2k-k+1,r=2k,k≥2。

综上,当p=1,q=3,r=4或p=2k,q=2k-k+1,r=2k(k≥2)时,ap,aq,ar成等差数列。

2017年的复习课上，考察等差(比)数列中是否存在等比(差)子数列时,有学生提出常见的等差(比)数列的对应项乘积构成的数列是否也存在类似结论,师生研究后得出以上相对简洁的论证。

4 注重技巧及完备性

多角度、全方位向学生展示数学知识,开阔学生的视野,拓展学生的思维,帮助学生掌握解题技巧、培养思维完备性。数学问题很多情况下存在一题多解,小到不同的计算方法,中到代数与几何的互相转化,大到不同学科之间的互通解法。也许这些解法在一道题中都能使用,到了另一题只能用其一,也许大学的解法更优,教学时应尽可能多、全地教给拔尖学生,因为他们有能力掌握并学以致用[8]。

例2 已知函数f(x)=|x-a|lnx,其中实数a为常数,e为自然对数的底数。

1) 当a=0时,求该函数f(x)的单调区间。

2) 当a=1时,解关于x的不等式

f(x)>-xlnx+2e-1。

3) 当a≤0时,函数y=f(x)不存在极值点,求a的取值范围。

解1),2)略。

3)a≤0时,f(x)=(x-a)lnx,

f′(x)=lnx+x-ax=xlnx+x-ax,

记

h(x)=xlnx+x-a。

因为x>1时,

h(x)=xlnx+x-a>x,