数学启发式教学的几个原则*

四川省内江师范学院数学与信息科学学院 尤 娜 熊 露 赵思林

一、数学启发式教学的意义

两千多年前，中国古代伟大的思想家和教育家孔子提出了“不愤不启，不悱不发.举一隅不以三隅反，则不复也”.就在同一时期，古希腊的苏格拉底首创了“产婆术”.这些都是启发式教学思想的源头与体现.后来，中国宋代的朱熹提出了“由学论教”的教学思想，著名教育家叶圣陶先生指出：“教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导”，这些也蕴含启发式教学的思想.

经过长时期反复的实践证明，启发式教学仍然是最有效的教学理论之一，它不仅符合八大教学原则，而且严格遵循教学的基本原理.2019年7月9日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，就《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》（以下简称《意见》）明确指出，启发式教学是结合新时期教育改革下最高效的教学模式之一.这不仅确立了启发式教学的合法地位，而且具有较好的可操作性.数学是研究数量关系和空间形式的科学，广义来说数学是思维的科学.这就决定了数学具有高度抽象性、严谨逻辑性和广泛应用性.因此，数学教学应以积累数学思维经验、生成数学思维素养为目的.长期的教学实践经验表明，生成数学思维素养的捷径是实施数学启发式教学.数学启发式教学的本质是以学生自主解决、发现问题为主，教师引导点拨、创设问题引导为辅.

二、数学启发式教学的现状

自新课改以来，随着“自主式”“探究式”“合作式”等主流教学模式的广泛使用，讲授法受到批判，致使数学启发式教学有逐渐削弱之势，这对学生理解数学知识、激发学生思维造成了不利影响.《意见》强调“教师一定要创新教育教学方式”，将传统的填鸭式教学模式变为启发式、互动式、探究式教学形式.这里把启发式教学形式排在了互动式、探究式教学形式之前，有几层意思：一是启发式是一种基础的教学形式，启发式在互动式、探究式中也会用到；二是突出了启发式的重要地位，因为启发式比互动式、探究式更重要，每节课都可以用启发式，但并不是每节课都适合用探究式，有些课也并不适合用互动式；三是与启发式密切相联系的讲授法仍然是中学数学教学的主要方法.对于教师教学的要求更加具体、严格，注重培养学生的学习能力和创新思维，提升学生综合素质，力求使学生全面发展.因此，根据我国数学课堂的现状及课改要求，实行启发式教学显得格外重要.

数学学习是学生认知、情感和谐统一的过程.结合数学学科的特点，数学学习是枯燥乏味且困难的.对此，数学教学非常需要和适合采用数学启发式教学.数学启发式教学是以学生已有认知结构为基础，以开启、点拨和激发学生数学思维为核心，以情境、问题和教育技术为手段，以激发学生学习动机和学习兴趣为目的的一种教学思想方法.

运用数学启发式教学除了要面向全体学生、把握好“火候”、掌握好启发的“度”，还应遵守一些教学原则.

三、数学启发式教学的原则

1.动机激发原则

激发学习动机是一切教育（教学）的首要任务.没有动机的学习是“无心”的学习、低效的学习.鉴于洛克提出的目标设置理论，学习动机对学习效果具有积极的影响.产生学习兴趣的第一步是有明确的学习目标，目标实现阶段中所获得的成就感是维持学习的动力.学习成就感、学习目标、学习兴趣均是学习动机的表现状态，内在动机（学习兴趣）与外在动机（学习成就感、学习目标）是推动持续学习的因素.学习目标与认知需求，促使学生化被动学习为主动学习，从而提高学习效率.约翰·哈蒂（John Hattie）教授历时15年对数亿名学生的调查研究发现，注意力、情绪、动机等非智力因素是影响认知发展的核心因素.即学习除智力因素外，与学生个人情感也有关系，主要在于：学生是否愿意学、是否想学、是否主动学习.因此，课堂中数学启发式教学的前期过程，教师应采用多元化方法（动态演示、图表变化、直观事实、趣味游戏等）以形象、具体的环节引入，创设生动、有趣味的课堂氛围引发学生学习兴趣，启发学生的内在动机（兴趣、情感等）.此外，教师还需明确告知学生数学的价值、意义及应用，启发学生树立数学学习目标，转化为自身的知识需求.后期启发教学中，需注意让学生在数学学习中获得成就感，如在设置例题时由浅入深，让学生体验成功，以此持续刺激学生的学习动机.

2.思维激活原则

皮亚杰说过“教育的最高目标是培养具有逻辑思维能力和掌握抽象复杂概念能力的人”，那么在教学中培养学生的逻辑、抽象等数学思维有举足轻重的地位.“数学是思维的科学”启示大家，数学教学是数学思维的教学.数学是知识教学，更是思维教学.激活学生的数学思维是数学教学的根本任务.数学启发式教学是激活数学思维的良策妙方.

数学启发式教学是数学思维活动的发生和发展过程.在教学过程中，激发学生的思维点、扩展学生的思维度，启发学生深入思考、活跃思维，循序渐进地引导，培养学生的数学思维.如：方程及不等式的应用中，关于x的不等式组为已知x的整数解有3个，求a的取值范围.利用数轴表示变量与常量的关系，诱导学生发现其中的联系，启发学生用点的位置寻找思路.运用情境引入、语言诱导、问题驱动、典例讲解等方法，可激活学生数学知识本身所含有的直观性、联想性等思维，可培养数学创新、数学逻辑等深度思维.深度思维指一个层次性的启发过程.数学启发式教学中，利用数学情境的创设、问题串的引导、恰当的质疑和直观存在的实物，在学生思考中循序渐进地启发，扩张思维的深度及宽度.

3.情境愤悱原则

数学情境是学生从事数学学习活动的环境，产生数学学习行为的条件.情境可激发学习兴趣、引导探究性学习、搭建知识“桥梁”.著名心理学家维果茨基提出的最近发展区理论：学生在借助成人的帮助所能达到的能力水平与在独立活动中所达到的能力水平区域.教师创设情境，提供条件以助力学生在离知识最近的地方可以依靠自身现有能力获取知识成果.而特定、恰当的情境中启发学生思维会有事半功倍的效果，其中“愤悱”情境为最.

“愤悱”指认知和情感处于“欲知还未知、欲言还未能”的困惑状态，就是在学生已有认知结构中创设困惑情境，学生呈现一种对知识似懂非懂的朦胧状态，引导学生从旧知迁移到新知的思考过程.而“只知其一、不知其二”“知而不行”都可作为“愤悱”的另一种牵引，对知识理解的不全面性，或不会运用知识解决问题，这些均为学生困惑的表现形态.对此，启发式数学教学的问题设计中，可结合日常生活、社会现象、当下热议话题来创设“愤悱”情境.相比于传统的讲授法，不仅可以激活学生已有的认知结构，还可以与学生现有知识和经验产生关联，为学生在已有知识和需要学习知识的间隔中搭建平台，引导学生打开思维，帮助学生进行知识的迁移、思维的过渡.鉴于此，教师需在教学中明确解题的依据、概念的由来、问题的应用，使学生在思考过程中有迹可循、有据可依.

4.问题驱动原则

问题是数学的心脏，也是数学启发式教学的心脏.优质问题的设计，在教学中有不可或缺的重要性，启发式教学更是如此.问题是激发学生思维、引导学生深入思考的“着火点”.鉴于此，在教学中将知识问题化，即设置若干个问题按一定顺序串联成一个问题系列.

例如，小明、小红相约9点到10点在学校门口见面，先到的人等待半小时后可自行离去，假设两人均不失约，碰面的概率为？

（1）以日常生活为经验，在什么情况下两人可以碰面？

设计意图：分组进行讨论，以生活实例引入迁移教学，创设问题情境形成认知冲突，激发学习动机.

（2）两人到达学校的时间差值小于半个小时（事件A），可以用一个变量表示吗？

设计意图：点拨思路，诱导学生定向猜想，描绘出数学模型，学生即可明白一维数轴不能解决问题.

（3）小明到达的时间为x，小红到达的时间为y，该如何建立它们的关系呢？

设计意图：直观刻画图像，激活学生思维，启发学生的深度思维.两人出现时间的关系，即对应的坐标系第一象限中60×60的正方形区域（图略），代表事件发生的所有可能性.

（4）事件A在图像中是如何表示的？

设计意图：步骤性引导学生刻画知识，得出事件发生的区域为正方形中y=x-30和y=x+30两条直线所夹中间的阴影部分（图略）.

创设一系列问题情境，激发学生动机，激活学生思维，使学生在分析、思考、解决问题中体验成就感，逐个突破难点，在层次性启发学生完成认知结构的建设过程中培养学生的数学思维.

5.难点突破原则

启发式教学的运用需要抓住知识中将问题集中在“牵一发而动全身”的难点.可以表述为一个概念中承上启下的知识点，在这里点拨学生，打通学生的思维阻碍，有利于贯通上下知识的联系.同时，启发学生对后面所学课程的思考.宋代理学家朱熹在诠释孔子的“愤徘术”启发的实质时，强调了启发的精髓在于对时机的把握.启发的时机过早，学生的思维得不到锻炼，启发时机过晚，学生感到困惑不堪，失去学习兴趣，启发时机的把握是能否点拨学生思维的关键.

例如，几何在初中数学学习中有重要地位，平面解析几何在中考中占比较大.几何图形可以称作整个初中乃至高中数学学习中一个关键点、难点、启发点.因此，运用数学启发式教学（如几何教具、几何画板、动手实践）培养学生的几何空间思维显得格外重要.

6.质疑反思原则

思维起于叉路的疑难，起于两歧的取舍.这表明，思维的活跃不会平白无故发生，而激活思维的着力点指非认知结构中的困惑处，也就是在已有知识和经验中，由外界的疑问对知识产生疑惑导致产生新认知需求.即质疑是开启学生思维器官的钥匙.然而，大多数学生甚至教师都缺乏这种质疑思维，对以书面呈现的数学知识深信不疑.教材（人教版初中数学）使用多年，可其中的小问题、小瑕疵近来才有学者指出，对教材中体例编写、内容设置前后不一致的情形进行质疑反思.鉴于此，教师在教学中应根据学生已有的知识体系与经验，在学生思考中利用追问、拷问、反问的语句，如这样是否严谨，还可以更简练吗，解题思路有逻辑问题吗，这里面蕴含什么数学思想和数学方法，这些问题可以优化学生的思维.

上述教学原则不宜孤立使用，而应根据教学内容、内容难度、教学目标等综合地、灵活地、创造性地使用，才能真正达到启发式教学的目的和良好效果.