学习数学概念的助学策略

江苏省徐州市邳州市陈楼中学 王 闻

教材中的许多概念、法则、约定是直接给出的，缺少了概念的生成过程，掩盖了概念的自然性、合理性.许多数学教师对数学概念教学重视程度不够，处理概念教学时往往敷衍了事，或者让学生死记硬背，违背了教材的意图，也违背了新课程标准，不利于培养学生的数学学科核心素养.笔者认为，教师要在正确诊断学情的基础上，进一步研究教学方法和学生的学习方法，通过助学策略引导学生自然地经历数学概念、法则的生成过程，体验数学概念、法则的合理性.笔者结合自己的教学、观课等实践，谈谈在充分理解数学的基础上改进数学概念、法则的教学策略.

一、运用类比迁移，揭示内涵生成概念

数学的发展史告诉我们许多概念具有相似的特性.对于这些概念的教学，教师可先引领学生复习已学过的同类概念的内涵、外延及特性，再运用类比迁移的思想生成新的概念.

案例1：二元一次方程的概念.

教师首先引导学生回忆一元一次方程的概念，并板书.然后提出下列问题.

问题1：判断下列方程是否是一元一次方程，并说明理由.

（1）3x+2=5；（2）2x+y=7；（3）x=1；（4）=5；（5）x-6y=9；（6）x2-2x-3=0.

学生一般会回答（1）（3）是，（2）（4）（5）（6）不是.

教师紧接着提出问题：（4）（6）为什么不是？

学生会回答一元一次方程是整式方程，故（4）不是；（6）中未知数的最高次数是2，不是1，故不是.

教师圈出（2）（5），再次提出问题：（2）（5）为什么不是一元一次方程？它们有什么特点呢？聪明的你能给它取一个名字吗？

有了熟悉的概念作为铺垫，学生很快会发现二元一次方程的特点.此时，教师再让学生观察（7）+y=8和（8）x2-3y=7是不是二元一次方程.有的学生会说是，有的学生会说不是，在讨论交流后会形成统一观点：类比（4）=5不是一元一次方程，因为它不是整式方程，所以（7）+y=8不是二元一次方程，同样因为它不是整式方程；类比（6）x2-2x-3=0不是一元一次方程，因为未知数的最高次数是2，不是1，所以（8）x2-3y=7不是二元一次方程，同样因为未知数的最高次数是2，不是1.

问题2：类比一元一次方程，你能说一说什么叫二元一次方程吗？它有什么特点呢？

问题3：一元一次方程与二元一次方程有什么共同特征？

于是，二元一次方程的概念水到渠成.

章建跃老师说：“对同类概念进行对比，可概括共同属性.”所以说数学概念教学的核心就是“概括”，也就是说教师要把凝结在数学概念中的思维活动打开，以若干典型的具体事例为范例，引领学生学会分析各事例的属性、抽象概括其共同的本质属性，从而归纳得出数学概念，领悟数学概念的核心本质.通过同类概念的共同属性引领学生认识概念、感悟概念，进而学会运用类比迁移的思想方法解决问题，提升学生的观察能力、分析能力、概括总结能力、应用能力和发散思维能力.

在复习了一元一次方程概念的内涵之后，再让学生运用类比迁移的思想方法学习二元一次方程的概念，然后让学生感悟概念的外延，从而帮助学生明确二元一次方程今后的学习方向、研究方法和研究内容，又可以引领学生把方程知识系统化学习，有利于方程知识体系的构建.教学中教师通过复习已经学习过的相似的数学概念为背景的习题，引导学生运用类比迁移的思想方法获得新的发现，再尝试着给新概念下定义，这种做法顺理成章，易于学生接受，学生很容易体验数学概念生成的自然性.

二、遵循认知规律，展示联系生成概念

教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式教学和因材施教.有效的教学是引导学生、激发学生自主学习，帮助学生通过自己的思考建立起对数学的理解，构建和发展数学概念，使学生深入学习，获得概念的发生、发展过程，认识概念的本质.

案例2：开平方的概念.

在苏科版八年级上册教科书中，教材设计一课时同时学习开平方和平方根的概念，学生很难理解这两个概念.许多学生初中毕业了还没搞清楚开平方的含义，就更别说平方根的概念了.这就需要教师挖掘概念生成的规律，设计适合学生的有效助学设计帮助学生探究开平方概念的内涵.

首先让学生回忆旧知：

问题1：先填空，后观察思考，你能发现什么？

（1）（-1）2=（ ），（+1）2=（ ），（ ）2=1；

（2）（-2）2=（ ），（+2）2=（ ），（ ）2=4；

（4）（-0.2）2=（ ），（+0.2）2=（ ），（ ）2=0.04.

学生很快会回忆平方的运算，并能总结出互为相反数的数平方值相等.教师再追问：

（5）（ ）2=0.

到这里，学生就能完全回忆旧知：平方相等的数有两个，且互为相反数；0的平方等于0.

问题2：若x2=1，则x=______，这里从第一个等式到第二个等式的过程叫开平方.即1开平方的结果是______.

由等式x2=9得到等式x=______的过程也叫开平方.即9开平方的结果是______.

聪明的你能说出0开平方是多少吗？

问题3：有平方得负数的数吗？为什么？

问题4：下列各数能开平方吗？如果能，请说出开平方的结果；如果不能，请说明理由.

到这里，我们可以看到：如果教师能降低学生的学习起点，从学生熟悉的事例出发，先让学生理解平方与开平方的联系，再生成平方根的概念就水到渠成了.

学生获得一个数学概念的过程先要从具体的、直观的、熟悉的情境引入，再引领学生建立抽象的思考过程，从而渗透抽象思维，归纳出数学概念的本质.

因此，数学概念的形成过程就是以学生的直接经验为基础，运用学生熟悉的、具体的、直观的情境探索，用归纳的方式抽取出一类事例的共同属性，进而加深对数学概念的理解.

三、通过实验操作，探究分析生成概念

董林伟老师说：“直观和具体是理解数学概念的重要方式和手段，教学中我们可以设计生动形象的数学实验解释抽象的数学理论，让学生真正理解数学概念的本质意义，增强概括抽象能力.”通过数学实验操作，学生能直观、具体地感受到数学概念的产生过程，体验概念生成的自然性、合理性.

案例3：有理数的加法法则.

有理数的加法法则非常抽象，又蕴含着分类讨论的数学思想，可以借助“笔尖在数轴上的移动”的实验活动来帮助学生建立有理数的加法法则，也可以让学生利用正负数的意义在南北方向或东西方向运动的实验来归纳总结有理数的加法法则，感悟有理数加法的意义.规定向北为正，向南为负，让一名学生在教室的前面按南北方向走（步幅大小相同，实验者走路的步幅尽量相同），其余学生记录过程并计算结果.

（1）第1组实验：让学生从讲台中间先向北走3步，再向北走2步，此时他相对于出发点的位置为（+3）+（+2）=+5；让学生从讲台中间先向南走3步，再向南走2步，此时他相对于出发点的位置为（-3）+（-2）=-5；让学生从讲台中间先向南走5步，再向南走6步，此时他相对于出发点的位置为（-5）+（-6）=-11；再让学生换一组数实验并尝试着从定“和的符号”和求“和的结果”的角度归纳总结.

（2）第2组实验：让学生从讲台中间先向北走3步，再向南走2步，此时他相对于出发点的位置为（+3）+（-2）=+1；让学生从讲台中间先向北走3步，再向南走5步，此时他相对于出发点的位置为（+3）+（-5）=-2；让学生从讲台中间先向北走3步，再向南走3步，此时他相对于出发点的位置为（+3）+（-3）=0；再让学生换一组数实验并尝试着从定“和的符号”和求“和的结果”的角度归纳总结.

（3）第3组实验：让学生从讲台中间先向北走3步，再向北（南）走0步，此时他相对于出发点的位置为（+3）+0=+3；让学生从讲台中间先向南走3步，再向北（南）走0步，此时他相对于出发点的位置为（-3）+0=-3；再让学生换一组数实验并尝试着从定“和的符号”和求“和的结果”的角度归纳总结.

利用“在南北方向走路的实验”，既可以帮助学生直观地理解有理数的加法法则，又可以避免抽象语言带来的理解上的困难，还能培养学生归纳概括的能力，又能渗透有理数的加法的意义，引领学生解决生活中的问题.

在实验教学过程中，教师要让学生在观察、操作、探索、发现、归纳、概括等活动中完成数学法则的形成、建构和完善.

章建跃老师说：“课堂教学中，‘自然的过程’来源于数学知识发生、发展过程和学生认知过程的融合，具体表现为对数学概念、原理的不断归纳和概括的过程.”因此，教师首先要充分理解数学，挖掘数学概念、法则形成过程中所蕴含的数学思想，在教学设计中，以问题为载体，通过设计有效的活动和助学策略引导，将凝结在数学概念中的数学思维活动打开，引导学生展开学习，使数学概念、法则的“生成”更加自然、更加合理.