如何进行初中代数中“四个性质”的教学

陈林香

（浙江省台州市椒江区第二中学）

代数学的根源在于代数运算.学好代数，运算能力是重中之重.数与式教学的一个重要任务是对学生运算能力的培养与提高.除了运算法则、运算律外，初中代数中的四个重要性质——等式、不等式、分式、根式的性质，作为式子变形和化简的依据，在数学运算中占据着非常重要的地位.对这些性质的教与学是否充分到位，是用对性质、用好性质的关键，是后续正确运算的基础和保障.那么，教师应该如何进行这些性质的教学，促进学生的深度理解与正确运用呢？

一、四个性质的研究内容和研究方法

1.四个性质的研究内容是代数运算的不变性

初中阶段的运算有加、减、乘、除、乘方、开方等.对数或表示数的字母施行不同的运算就产生了不同的代数式，如施行加、减、乘运算产生了整式，对两个整式施行除法运算（除式中含有字母）产生了分式，对非负数施行开平方运算得到了二次根式.数量的本质是多与少，因此对代数式的一项重要研究是大小比较，并等价转化为它们的差与0的大小比较，其中的关键是“作差”、是运算，由其相等和不等关系出现了等式和不等式.因此等式、不等式、分式、根式的性质源于运算，运算贯穿于性质的构建过程，它们的共通之处都是在研究代数运算的不变性.等式的性质研究在等式两边同时进行加、减、乘、除运算后，等式是否仍然成立；不等式的性质研究在不等式两边同时进行加、减、乘、除运算后，不等式是否仍然成立；分式的性质研究对分式的分子、分母进行加、减、乘、除运算后，分式的值是否不变；根式的性质研究根式如何进行加、减、乘、除运算.

2.四个性质的研究方法是归纳法

对四个性质的研究方法是“算算看”，即通过设置情境或从一系列的算式中抽象、归纳性质.例如，对于等式性质的得出，人教版、浙教版、北师大版、苏科版、北京版等大部分教材都设置了类似等式平衡的天平，如此设置主要是考虑到七年级上学期学生的年龄特征.七年级下学期时，学生的理解和抽象能力已有一定程度的发展，人教版教材对不等式性质的探索路径是类比等式的性质，提出开放性的探究问题“不等式是否也有类似等式的性质呢？”，然后给出一些具体的算式，要求用“＞”或“＜”填空，并总结其中的规律，接着教材提示：换一些其他的数，验证这个发现.

可以看出，人教版教材对不等式的性质进行了两个层次的归纳，先是有目的地分类列出不同算式，根据不同算式的共同点初步归纳不等式的三个性质，然后从一般性角度验证归纳，得到最终的不等式性质.分式性质是类比分数的性质，给出一些具体的实例，通过数式类比得到的.二次根式的性质也是通过一系列算术平方根的计算抽象、归纳得到的.因此，归纳法是研究这些性质的基本方法.实际上，归纳法是研究整个代数学的基本方法.

二、四个性质教学的一般过程

虽然是四个不同的性质，但由于研究内容和研究方法的共通性，不同版本的教材基本上都是按如下编排探究过程：发现性质—得出性质—表示性质—运用性质.在这样一条主线下，具体教学实施可概括为以下四个过程：发现规律，猜想性质—验证猜想，得到性质—明确内涵，表示性质—解决问题，巩固性质.

过程1：发现规律，猜想性质

“发现规律”往往是通过设置情境或者是给出一系列的算式.在具体教学设计时，教师要思考：设置怎样的情境，算式是怎样给出的？例如，等式性质中的天平情境，以及人教版教材在发现不等式性质环节中直接给出算式.作为课程形态的教材，尽管在编写时已尽可能去除了学术形态的“冰冷”，但与“课堂中的数学”仍有较大距离和区别.数学课堂的重要使命是培养学生的思维能力，那么，如何让学生自己去发现这些性质，让学生学到有生长力的知识呢？考虑到不等式的性质是在学生学习了等式性质的基础上学习的，教师可以进行适当引导后给出时间放手让学生探索.学生通过“算一算”，当发现在不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数与同时乘以（或除以）同一个负数结果不同时，自主地进行分类讨论，在此基础上猜想不等式的性质.而对数进行正数、0、负数的分类讨论则是解决数式问题并得到结果的重要方法和策略.通过自主探究，分类讨论意识就固化到学生的认知中.由于二次根式没有可类比的对象，可以由教师给出算式，学生观察、归纳得出猜想.

过程2：验证猜想，得到性质

由于数学本身的严谨性，由有限的几个例子猜想得到的性质其可靠性有待验证.例如，可以利用数轴的数形结合验证不等式的性质1，而不等式的性质2和性质3，虽然运用数轴验证有困难，但可以进行如下说理：因为a＞b，则a-b＞0（不等式的性质1）.若c＞0，则(a-b)c＞0（两个正数的积为正数），因此ac-bc＞0（分配律）.从而得ac＞bc（不等式的性质1）.性质3类似可得（此处不等式的性质1，2，3均参照人教版教材）.只有教师的正确示范与一贯的严格要求，才能逐步培养学生思维的严谨性，这也是对学生进行基本数学思想的熏陶、理性精神的培养.

过程3：明确内涵，表示性质

性质的表示通常有文字语言和符号语言.学生虽然会“依葫芦画瓢”地用字母表示数，但是可能对字母内涵缺乏透彻理解，导致不会用或用错性质.在四个性质中，都提到了作用于等式（不等式）两边，或分式的分子、分母可以是数，也可以是式子.有些学生可能会不明白，在过程1给出算式时都是数，为什么又可以是式子？这种不理解与代数的发展进程和学生的认知过程有关.在数学发展史上，“字母表示数”经历了三个阶段：词语阶段—简略阶段—符号阶段；从内在的认知角度，可以划分为四个进程：字母表示某种意义或某个事物（词语阶段）—字母表示确定量—字母表示未知量（简略阶段）—字母表示一般量或一类量（符号阶段）.历史上，从丢番图用缩写的字母表示数到韦达用字母表示一般意义的数，用了整整1 200年.学生对某一数学概念的认知过程和数学概念的历史发展过程具有相似性.对学生而言，要在短时期内用字母表示数，并且理解字母的意义、内涵，其难度可想而知.在性质的表示过程中，不但要让学生尝试用字母表示数，还要让学生在运用中逐步感悟用字母表示数所具有的简明性、一般性，即字母仅仅是一个符号，可以表示具体的数，也可以表示式子.当式子中的字母取特定的数时，式子也就对应了一个数.从中体会“字母代数”的优越性，进而产生一种自觉的符号意识，即当类似算式写不尽、算不完时，能自觉地想到用字母表示.随着自觉的符号意识的形成，学生也就深刻理解了数与式的这种特殊与一般关系、对应的关系，以及数式通性.

过程4：解决问题，巩固性质

性质的内化需要通过例题的示范引导和问题解决训练.例题的设置最好有多种解法，且不同解法能体现不同的解题原理，以便反映不同层次的学生对性质的理解和掌握情况.教师可以按照对性质的理解到运用分层设置习题.以不等式的性质教学为例，可以设置如下练习题.

练习1：填空.

（1）将2a-5＜3两边都加上5，变形为____；

（2）设a＞b，则a-3____b-3，-4a____-4b.（填“＞”或“＜”.）

三、教学建议

1.用联系的观点树立代数学的整体观

从数到式，从整式到分式到根式，从比较式子的大小关系到考查代数式与字母的对应关系，逐渐产生了方程、不等式与函数，构建起完整的代数知识结构的大厦.在性质的教学中，要注意数与式、式与式之间的联系.例如，实数与整式，实数的分类与不等式性质的分类；分数与分式，两者基本性质的关联；算术平方根与二次根式.由算术平方根的意义可以直接得出从联系的角度看，上述性质还可以看成是二次根式的乘法法则在a=b时的特例.从式与式的角度，分式和根式运算中对于整式运算的迁移，不等式的性质与一次函数的单调性联系等.四个性质作为解方程、解不等式、分式运算、根式运算的出发点和重要依据，体现了数学逻辑的连贯性；将运算作为性质研究的指导思想，体现了数学思想方法的一致性.由此得到了代数性质教学的一般套路.延伸开去，知道了研究式，就要研究式子的定义、性质和运算法则.这种整体一致的研究内容的过程和方法有利于学生遇到新问题时有依据地思考、创造性地发现，从而提升学生的数学学科核心素养，发展理性思维.

2.加强归纳法，使学生经历从特殊到一般的认识过程

教材在具体编排四个性质的内容时，一以贯之地用“从具体数字的运算中观察规律，归纳得出性质”的方式展开，对运算法则的编排也是如此.读透教材编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等数学活动，经历从特殊到一般的过程，归纳得出有关结论，逐步积累活动经验.要特别强调的是，归纳法的内涵是“归纳地去探索、发现，然后归纳地定义，再归纳地论证”，唯有这样才是完整的归纳法教学，才能真正做到将教材中的代数公式、性质、法则和定理返璞归真.也唯有如此，才能让学生“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”，才能把性质和法则的教学教得平实、扎实、深入.如果仅仅是“拿来”性质和定理，然后简要验证或简便论证后便开始解题训练，那是只教后半段的不完整的归纳法，这种囫囵吞枣知识的过程将不利于学生对性质的系统学习和深入理解.