格点图上的数学问题设计与课后反思

毛 健，孙琪斌，郑 瑄

（同济大学附属实验中学；上海市嘉定区教育学院；浙江省宁波市江北区教研室）

一、教学素材的来源

题目图1是由4×4个大小完全一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形已经被涂成阴影.试在图1中再选择三个小正方形并涂成阴影，使得图中的五个小正方形组成的阴影部分分别成为：（1）轴对称图形；（2）中心对称图形.

图1

二、阅卷期间的思考

上述题目选自上海市嘉定区七年级第一学期期末教学质量检测第24题.制定评分标准时，关于轴对称图形，命题者罗列了很多方法，学生在试卷上的答案也是多种多样.究竟有多少种方法？如何不重不漏、有序找出符合题意的所有答案？如何引导课堂从“以知识掌握为核心”走进“以思维交流为核心”的境界？如何让学困生与优等生都能够在课堂上获得不同程度的发展？

带着这些问题，上海市同济大学附属实验中学毛健老师以“格点图上的对称问题”为题执教了一节试卷讲评课（区级公开课）.在此基础上，孙琪斌老师将该节课进行了教学再设计，并在中国教育学会中学数学教学专业委员会举办的首届“中学数学名师工作室工作研讨与培训会”上作为研究课进行了学术交流.

三、教学设计

1.教学目标及教学重、难点

教学目标：（1）借助格点图直观设计轴对称图形；（2）经历从一个方法到一类方法的探究过程；（3）感受理性思考的需要与必要.

教学重点：在格点图上设计轴对称图形的算法与算理.

教学难点：在格点图上自主设计新问题.

2.活动设置

为了便于交流，使用字母对格点图中的小正方形进行如图2所示的编码.

图2

活动1：小组探究.

（1）找到一个方法；（2）寻找某种规律；（3）提炼通性、通法；（4）思维可视化（清晰、简明地表述思考过程）.

学生以小组为单位尝试完成活动1.

活动2：抽签提问.

问题1：你是先想到了符合题意的图形，再尝试寻找其对称轴的，还是先寻找对称轴，再尝试发现符合题意的图形？

活动2是利用抽签的方式随机选择一个小组，展示小组合作学习成果.

追问：以图3中的直线l为对称轴，可以有序地说出符合题意的所有图形吗？可以用最简洁的语言表达这个思考过程吗？

图3

预设思维分解过程如图4所示（思维可视化表达）.

图4

在尝试翻折的过程中，拟以图3为例，重点突出理性思考的过程，引导学生寻找第3个阴影小正方形与第4个小正方形.第3个小正方形或者在对称轴上，或者不在对称轴上.

（1）如果第3个小正方形在对称轴（图3中的直线l）上，那么其关于直线l的对称图形就是它自己.为此，需要寻找第4个小正方形.第4个小正方形如果在直线l上，需要继续寻找第5个小正方形.因为每行每列都只有4个方格，所以第5个小正方形不可能与前四个正方形出现在同一列，一旦第5个小正方形出现在直线l之外，那么必定存在与其对称的第6个小正方形（不符合题意，舍去）；由此，第4个小正方形只能出现在直线l之外.

（2）如果第3个小正方形在对称轴（直线l）外，那么必定存在第4个小正方形与之对称.第5个小正方形必定出现在对称轴上.

是否每名学生都能够理性寻找符合题意的图形呢？如何组织已经学会的学生主动帮助暂时尚未学会的学生？如何让每名学困生都能够得到真实有效的帮助，为此拟利用随机抽签确定小组发言人的方式组织第二次教学.

活动3：组织学生在小组内互教互学；利用随机抽签的方式检测合作学习的效果.

问题2：如果再指定一条直线作为对称轴，小组内的每名学生是不是都可以有序地找出符合题意的所有答案？

依据教学情况，随机选择一种情况（如图5），与学生一起交流，促进更多学生达成教学目标.

图5

活动4：应用拓展.

问题3：在解决问题2时，为寻找符合题意的所有图形，你们还可以有序地理性呈现各自的思考过程吗？试设计能够解决问题的具体策略并进行可视化表达.

预设思维分解过程如图6所示（思维可视化表达）.

图6

活动5：自主命题，求变创新.

问题4：以如图1所示的4×4个大小完全一样的小正方形组成的方格纸为背景，提出一个新的数学问题.

分组展示各个小组设计的数学问题.

活动6：当堂检测.

问题5：如图7，要求只移动其中的一个阴影小正方形，只移动一次，且每次只移动一个方格（可以前后左右移动，也可以沿正方形的对角线的方向移动），使得移动后的阴影小正方形所组成的图形依然是一个轴对称图形.

图7

四、教学反思

1.忘记基于教学预设的展示，顺应学情，在学中教，因势利导

面对一个具体真实的学习内容，学生的思维水平、思维速度和思维能力均存在客观差异，因此学生不可能以相同的速度、用相同的学习方式同时达成教学目标.因此在教学过程中，在无法规避差异的前提下，教师要充分发挥率先学会的学生身上的资源，将生生之间的差异视为第二次教学的有效资源.教师通过设计问题链，组织学生小组合作探究，将每一个学生当堂达标视为教学目标，引导学生经历真实的学习过程.

在第一次教学（探究问题）的过程中，首先，让学生自主阅读，解决问题，按照例题回答出一种答案；其次，让学生以小组为单位进行交流，搭建“低起点，高水平”的问题链，引导学生将问题层层剥离，尝试从找到一个方法到发现某种规律，再到找到一类方法.在组内合作的过程中，形成思维碰撞，引导学生清晰、简明地表述方法和结果；最后，选择一个小组进行交流分享，其他小组进行补充，深化思维过程，引导学生找到问题的突破口——对称轴.

将小组互助互学、抽签展示、深度追问作为提升二次教学效果的教学改进策略，在学中教，异步达标.在基于教学目标样题的达标检测环节，东莞市东华初级中学九年级301班的学生给出了超出教学预设之外的精彩方法.

对于问题5，学生给出的部分答案如下：将图7中的字母N所在的小正方形移动到字母K所在的位置，即得到符合题意的图形（预设之中的答案）.将图7中的字母D所在的小正方形移动到字母H所在的位置，得到符合题意的图形（预设之中的答案）.将字母D所在的小正方形移动到格点图的外面，也可以得到符合题意的图形（预设之外的答案）.将字母D所在的小正方形移动到字母G所在的位置，均可以得到符合题意的图形（预设之外的答案）.

学生将其中的一个小阴影正方形移动到与图中现有的小正方形重合，可以视为“只移动一次，只移动一个方格”，即视为符合题意；从另外一个层面，也可以视为删除了其中的一个小正方形.由于题目要求“只移动其中的一个阴影小正方形，只移动一次，且每次只移动一个方格”，没有限制移动的阴影图形一定要有五个小阴影正方形，所以，学生当堂给出的方法，其实也是抓住了题目设计的漏洞，或者说巧妙利用这个漏洞.从这个意义上说，学生给出的解答，其实就是一种创新，也就是方法的创新、思维方式的创新.

2.从“以知识掌握为核心”走进“以思维分享为核心”，着重引导学生经历理性思考的过程

在教学过程中，我们借助如图8～图10所示的思维导图，重点引导学生经历理性思考的过程.

图8

图9

图10

教师通过提出问题“你是怎样思考的？”实事求是地呈现学生的思考过程，通过问题“为什么这样思考？”引导学生理性分析算法背后的算理，通过问题“还有其他的方法吗？”引导学生求变创新，求美求简（如图11）.

图11

该节课较好地呈现了章建跃博士提倡的“数学课堂的终极目标是培养学生的数学核心素养，而数学核心素养的灵魂在于培养学生的逻辑思维，提高推理能力”“课堂教学应当立足于发挥数学的内在力量，发展学生的数学思维能力，培养学生的理性精神”等教学主张.

五、点评

本节课的课堂让人耳目一新，深感震撼！

执教教师是激情万丈的热能源头.执教教师以真诚而独特的人格魅力、鼓励的表情语言、充满教育智慧的扶持与敦促引领着学生一起走进数学的殿堂.本节课中，学生经历从找一个、找一类、最终找到所有的数学活动过程；经历从感性（直觉）走向理性（逻辑）的数学探究过程；经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，并且不断往复升华的数学研究过程.起初还比较腼腆和拘谨的学生，在执教教师营建的磁场中，脑洞大开，积极主动地各抒己见.执教教师把整个课堂全然交给学生，使得这节探究活动课的氛围达到了高潮.在短短的几十分钟内，执教教师多次令学生爆发出畅然的笑声、自发的掌声，更有台下数百名听课教师由衷热烈的赞美声.一切始于自然，一切始于忘我，一切始于对数学问题的追求、沉醉与痴迷.

执教教师是循循善诱的心灵捕手.课堂中素昧平生的师生，不同寻常的教学素材，无论于教师、于学生都具有一定的挑战性.上课伊始，课堂显得平静又有些许疏离.此时执教教师开始发问：你是怎样想的？你会怎么做？事实上，在课堂上，经常能听见执教教师这样的发问.执教教师引导学生从“发现一个方法”，到思考“发现一类方法”，再理性获得“确定对称轴、翻折、审题检验”的可视化思维路径.他给予学生充足的时间进行独立思考，继而小组讨论，而后小组汇报.同时，又提出新的要求：你们是怎样思考的？为什么这么思考？并让学生给出解题思维的理性简洁的表述.对于学生的表述，执教教师继续不断地追问：你是怎么发现的？你是怎么找到第3个小正方形的位置的？其他小组还有补充吗？六个小组代表均上台发言后，执教教师还要再追问：还有没有其他方法？直到感性散漫的找寻，抵达理性有序的探求.

执教教师是立德树人的榜样楷模.求真、专注、执着、自省、合作、互助……，这些都是教师在课堂中非常关注而崇尚的.当他发现学生的学与他的教并不同步时，当他发现学生学的结果与教学目标不那么一致时，他会退到一个适当的位置，不断地调整反省.在教学中，执教教师认为应该给学生提供学的平台，让他们在学习中暴露自己的问题，教师应该针对学生的问题和困难，进行有针对性地引导，让学生在坚持中，从失败走向成功.同时，执教教师十分注重团队协同合作的力量.显然，在探索、研究的过程中，一些学生会先行理解数学的真谛，执教教师就会让他们去带动那些还不甚理解的学生.每一次团队的共同讨论、互动交流、陈述表达，都是理性、人性、友情、亲情的融融相合.

这样的磁场，谁能舍得离开？

愿所有的教师，都能营建一如执教教师般的磁场，让学生内心的火种能够被点燃，热情激昂，生生不息.