概念图与思维导图在微积分教学中的融合应用

周巧娟

摘要：微积分课程不仅仅要传授学生微积分的内容，也要在学习的过程中培养学生各种思维能力和解决问题的能力。概念图和思维导图在知识网络的构建和理清思维脉络中各自发挥着重要的作用。在微积分的教与学的过程中，将概念图和思维导图融合应用可以发挥各自的优势，激发学生的学习积极性，提高教学质量。

关键词：概念图；思维导图；微积分教学；融合应用

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2019.01.016

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1671-1580（2019）01-0072-04

一、概念图和思维导图的区别与联系

（一）概念图及思维导图的由来

概念图是由美国康奈尔大学诺瓦克教授等人1984年在学习如何学习中提出的，概念图又称概念构图，它是一种工具，能够表示知识体系中概念以及概念之间固有联系。

思维导图最初是20世纪60年代英国人托尼·巴赞创造的一种笔记方法，他认为：传统的草拟和笔记方法有埋没关键词、不易记忆、浪费时间和不能有效刺激大脑四大不利之处，

而简洁、效率和积极的个人参与对成功的笔记有至关重要的作用。在草拟和笔记的办法成效越来越小的情况下，需要一种可以不断增多回报的办法，这种办法就是思维导图。

（二）概念图与思维导图的区别

1.表现形式不一样

概念图可以完整地表示某一主题的概念网络，由此形象地说明概念的内涵、外延和相互联系，不同人根据自己不同的理解可以得到不同结构的概念图。概念图由三个部分组成，节点、连线和连接词语，节点表示概念和命题，连线表示两个概念之间的联系，用箭头表示指示方向，连接词语表示两个概念或命题之间的关系，将节点和连接词语放在一起读起来就是一句话。

思维导图是对发散性思维的表达，也是人类思维的自然功能。思维导图有一个中心主题，从中心主图出发向四周放射，每一个分支是一个子主题，从每个子主题出发又可以放射出多个子主题。从同一层次的子主题的数目能看到思维的广度，从一个分支的长度能看到思维的深度。

2.作用不一样

概念图的作用是建构一个清晰的知识网络，有利于直觉思维的形成。通过概念图可以快速地把握一个概念体系。

思维导图不仅仅是一种笔记方法，更是用来呈现思维过程的工具，可以通过思维导图理清思维的脉络，回顾整个思维过程。

（三）概念图和思维导图的联系

黎加厚教授认为“人类使用的一切用来表达自己思维的图示方法都是概念图，思维导图的称呼直接说明这是引导人们思维的图，把这种图示方法的意义挑明了，我认为这种说法也很好”_3]。其实，在对概念图和思维导图的使用过程中可以发现，两者之间是有一些联系的，比如在绘制概念图时，概念之间的先后关系，逻辑关系也体现了人们的思维过程；同样，思维导图的绘制过程中避免不了涉及各个层次的概念，将各层次的概念相互连起来也就形成了一张广义的概念图。

概念图和思维导图在教学过程中的应用有很多，不少教师分别将概念图和思维导图运用到不同的教学领域，比如赵秋等将概念图应用在高等数学教学，彭文军等将概念图作为概率统计教学的新途径，刘淑芹等将思维导图运用在高等数学教学过程中。

二、概念图和思维导图在教学过程中的融合应用

（一）利用概念图理清教学思路，做好微观设计

概念图能够构建一个清晰的知识网络，有利于教师组织教学材料，也更有利于教师对教学内容进行微观的设计，同时通过制作概念图可以将自己的一些想法和灵感形象地表现出来。

以导数的概念这节内容为例，微观设计之前教师应该了解学生的学习基础，大多数学生在高中的时候也学习过导数，可是仅仅局限在导数的计算，不太清楚导数的具体内涵，会影响学生对导数的应用，因此教学的重点和难点均是导数概念的理解。

教师能将头脑中的教学内容、讲解的思路以可视化的形式表现出来（图1）。由“两个实例”抽象出“特殊的极限形式”，从而给出“导数概念”。同时抓住“特殊形式的极限”，化解本次课的难点——导数概念的内涵，即函数的瞬时变化率。

运用概念图做教學微观设计的方法不仅可以使得教师能够提纲挈领，更有效地组织教学内容，也使得教师更容易看清教学的重难点，从而在讲解过程中突出重点，化解难点。讲解过程中，每一章节的知识点均可以绘制出一张概念图，随着知识点的增加，各节知识点之间的联系也可使概念图变得越来越大，最后可以从一章，甚至一本书中体会各知识点之间的关系，扩充概念图的过程也是整体分析知识点结构，思考讲解方法和手段的过程。

（二）运用概念图构造清晰的知识网络，促使新旧知识的同化

在课堂教学过程中，教师总是希望学生能够顺利接受新的知识点，但事实上很多学生课上不太容易接受新知识或者新旧知识衔接不上，出现学了后面又忘了前面的情况。原因是学生的知识架构出了问题，这就需要教师在课堂教学中帮助学生列出知识点，指出其重点、难点，这时板书是一种非常重要的教学手段。

教师经常会采用大纲形式的板书，虽然板书可以将课堂中所讲授的主要内容罗列出来，但不便于学生掌握，特别是学生所学习的知识有一定比较意义或是严格的逻辑结构时，学生不希望看到罗列在黑板上的一个一个独立的知识点，更希望看到的是知识之间的联系，或者是新知识和旧知识的联系。概念图可以很快地构造一个清晰的知识网络，便于学生在课堂中快速地把握概念体系，有助于学生掌握整章或整节知识架构。因此在教学中，新的概念的引入和新的章节开始的时候可以运用概念图。

上课开始，教师给学生呈现概念图（图2），引入定积分概念时，先呈现给学生不定积分部分的概念图，由两者的一字之差引导学生意识到两者之间必定既有区别又有联系，进而给出所要学习的定积分的概念图。由不定积分和定积分的概念图的比较，学生可以清楚地认识到两者之间的区别，也可以认识到前面所学习的不定积分的内容在定积分中有哪些应用，由此促进新旧知识的同化。同时，学生在新旧概念的有意义的联系中接受新的概念，这样的学习更有效。教师通过新的章节的概念图的引入，学生对一章的知识结构有了清晰的认识，在介绍的时候可以画出重点和难点，便于学生抓住重难点，建立起知识的框架，在后续的学习中，学生会有目的地、准确地在框架中添砖加瓦。

（三）运用思维导图体现思维过程

目前的微积分教材基本上是一个严格的演绎体系，由“概念、公式、定理、范例”构成，学生通过教材很难看到思维过程。教师在教学过程中不应只重视知识、结论的传授而忽视知识的形成过程，所以在微积分的教学中要更多地对思想和方法进行归纳和总结，这时思维导图可以更好地发挥其优势，体现思维过程。比如，对洛必达法则的有关内容构建思维导图，如图3。

通过图3，学生不仅可以看到未定式的形式及各未定式之间的转化关系，也清楚地看到了在理解未定式的极限时的思维过程。通过这种方法讲解未定式的极限，极大地避免了学生生搬硬套洛必达法则的情况，通过不同的未定式的判别采用不同的转化方法，既容易记忆，用起来也不容易发生错误。

（四）运用思维导图开展启发式教学以促进数学思维的培养

图4定积分思维导图

启发式教学的关键在于调动学生的主动性、启发学生独立思考，发展学生的逻辑思维能力。而思维导图是一种利用图像和联想进行思维的工具，利用这一工具可以在课堂教学中更好地开展启发式教学。还以定积分这一章为例，学完这一章以后，教师可以从定积分这一概念出发，启发学生思考，提到定积分，你会想到什么？学生根据以往学习的内容，可能会想到不定积分、两个引例、定积分的本质、性质、计算、应用等，这就得到了思维导图的若干二级子主题。从每个子主题出发，引导学生思考由每个子主题可以想到什么相关的内容，以此类推可以绘制出思维导图（图4）。通过思维发散的过程，可以让学生从多个角度，多个方面以各种观点观察、分析和思考问题，扩充思维领域，从而可以培养学生思维的灵活性和创新能力。

三、概念图和思维导图在学生学习过程中的融合应用

（一）运用概念图构建知识框架以促进先后知识的整合

概念图以简明扼要的形式把相关概念或原理表示出来，是一种对知识高度的浓缩。学生在预习过程中通过概念图促进先后知识的整合，建构章节的知识框架。首先，学生确定先前所学概念和即将要学习的概念，并从中确定主要概念、次要概念和具体的概念；其次，确定这些概念的背景、含义以及概念之间的从属关系；再次，将上述各概念分层，最具概括性的概念放顶层，根据从属关系确定下面各层概念，并用有箭头的连线连接。学生预习不定积分绘制的概念图如图5。

从图5中，可以看出要理解不定积分的概念，最关键的是要理解什么是原函数，而原函数和导数有关，所以学生在预习的时候应该先复习导数的概念及其运算这些先行概念，再预习不定积分等概念，從而促进新旧知识的整合。随着学习的不断深入，学生随时可以重新考虑自己所绘制的概念图，比如在上述三级概念的基础上继续深入，添加四级概念。概念之间的横向联系也可以继续加入，不断完善自己的知识结构。

（二）运用思维导图整理知识、理清思路

通过课上再学习，学生对知识点有了进一步的理解，对知识点之间的关系也理解得更为清晰，复习过程中可以利用概念图对所学知识进行整合，也可以在概念图的基础上利用思维导图进行整理（图6）。

由图6可见，学生学习完不定积分这一章后，由不定积分这一概念出发，能够思考到的内容要比预习的时候多很多，概念之间的联系更加清晰，对积分方法的本质及方法的使用理解更加深入。通过思维导图，学生不仅是整理这一章的概念，也是在记录学习过程中的思维方式。随着学习的深入，这种发散式的图式可以不断得到修改和完善，学生的思维也会随着思维导图的扩展变得更深，更广。

四、结束语

概念图和思维导图有着显著的区别，但又有着紧密的联系。在课程的教与学的过程中合理选择概念图与思维导图，将二者融合应用可以充分发挥各自的优势，激发学生的学习积极性，提高课程的教学质量和学习效率。

[责任编辑：韩璐]