离散哈密顿系统在极限圆型下的自伴扩张的等价刻画

刘 妍

（河海大学常州校区 基础学部，江苏 常州213022）

近年来，随着科学技术的飞速发展和电子计算机的广泛应用，出现了越来越多的以离散哈密顿系统为支撑的数学模型，因而，吸引了大批学者对离散哈密顿系统进行研究。这些研究涉及离散哈密顿系统的特征值问题、亲结构、Weyl-Titchmarsh理论以及自伴扩张等［1-8］。REN G.J.和 SHI Y.M.等［6］给出了一类一端奇异离散线性哈密顿系统在极限圆型时其最小子空间的任一自伴子空间扩张的表达式。在此基础上，笔者运用线性关系理论，利用离散哈密顿系统的解，导出了一类一端奇异离散线性哈密顿系统在极限圆型时其最小子空间的任一自伴子空间扩张的等价刻画。

1 基础知识

本文将研究如下奇异离散哈密顿系统：

P(t)可以表示为如下分块矩阵：

为了保证系统（1）的初值问题解的存在唯一性，给出假设1）：对任意的是可逆矩阵。

下面引入系统的最大、最小子空间，并给出系统（1）解的一些性质。

定义空间

和半纯量积

由系统（1）生成的自然差分算子为

为了得出系统（1）解的确定性条件，再给出假设2）：存在有限子区间使得对某个和系统（1）的任意非平凡解有

REN G.J.等［8］证明了假设 2）成立的充要条件是对任意的存在唯一的使得其中故对任意的也可以记为

2 几个引理

引理 1［6］：若假设 1）和 2）成立，则对任意满足的有限区间和存在，使得边值问题

引理2［6］：若 假 设 1）和 2）成 立 ，在处为极限圆型，对任意的系统（1）有个线性无关解且满足

且有

3 主要结果

定理1：若假设1）和2）成立，的一个自伴子空间扩张当且仅当

其中由

确定。