空间中点到直线距离的几种求法

王茗 李媛媛

摘 要：当我们在解决空间中点到直线距离的题目时，我们通常会套用文献[1]的公式，但是一旦出题者变换出题方式时，我们便不知所措。首先我将此类问题转化为求两点间的距离，然后我利用直线与平面的位置关系、两点间的距离公式、两条直线的位置关系的知识来解决此类问题，为我们解决此类问题增加了途径，使我们做题时思维变得更加灵活。

关键词：垂直;距离;方向向量;法向量

1 引言

在空间中，点到直线的距离又非常重要的理论意义与应用价值，因此许多文献对此问题进行了探讨。如文献[1]

给出了一个计算空间中点到直线的距离公式，还有其他的文献利用平面束来解决相关问题。本文我将利用我们很熟悉的数学知识来解决此类问题，比如两点间的距离最小问题、两直线垂直、平面与直线的位置关系，依据这些知识系统地总结了解决空间中点到直线距离的三种算法，并且结合。

2点到直线求解方法

例題 求点M0（2，3，-1）到直线L：2x-2y+z+3=0，3x-2y+2z+17=0的距离。

解：先将直线L化为标准式方程。因为直线L是两个平面相交所得，所以可以用两个平面的法向量做叉乘得到直线l的方向向量;然后求过直线l的一点，这样就可以写出直线L的标准式方程。

平面2x-2y+Z+3=0的法向量记为a，a={2，-2，1};平面3x-2y+2z+17=0的法向量记为b， b={3，-2，2};a×b=-2i-j+2k，所以直线L的方向向量v={-2，-1，2}，因为点M（1，-5，-15）满足两个平面的方程，所以点M在直线上，那么可得直线l的标准式方程x-1-2=y+5-1=z+152。

解法一

造一个平面π，使得此平面的法向量就是所给直线l的方向向量，并且平面π过点M0，直线l交平面π于M1一点。如图所示。

那么将法向量和点M0代入平面的一般方程Ax+By+Cz+D=0可求出平面π的方程为2x+y-2z-9=0，将直线L的标准式方程化为参数方程x=1-2t，y=-5-t，z=2t-15，因为点M1在直线L上，所以满足参数方程。那么M1（1-2t，-5-t，2t-15），因为点M1又在平面π上，所以满足平面π的方程。将点代入方程，可求得t=2，那么点M1的坐标为（-3，-7，-11），因此点M0线L的距离就是点M0和点M1之间的距离，运用两点间的距离公式可求得d=15。

解法二

此题可以通过点M0向直线l作垂线，交直线l于点M3。如图所式。

将直线L的标准式方程化为参数方程x=1-2t，y=-5-t，z=2t-15，因为点M3在直线L上，所以点M3的坐标为（1-2t，-5-t，2t-15）。那么向量M0M3={1-2t，-5-t，2t-15}

直线L的方向向量v={-2，-1，2}，因为M0M3与L垂直所以M0M3，与v点乘为零，利用这个公式求出t=2，那么点M0到直线L距离就是点M0和点M3之间的距离，利用两点间的距离公式可求出d=15。

3结束语

由上述例题可知，解法一采用构造平面的方法使问题变得更加直观，虽然涉及的知识面较广泛，计算量大，但是做题思路很流畅;解法三也是转换了解题思维，通过已知点向直线作垂线，交直线与另外一点，那么点到直线的距离就是这两点间的距离，再利用两点所形成的向量与直线的方向向量垂直，点乘为零，就可以求出此点，用到的方法和知识十分容易理解，解题过程很清晰。所以具体问题具体分析，选择最合适的方法进行运算。

[参考文献]

[1]吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社.2006.5.

[2]姜乃斌，代万基.高等数学习题全解全析[M].大连：大连理工大学出版社，2004.

[3]杨开春，张富林，赵临龙.高等数学[M].西安：陕西人民出版社，2003.

（江汉大学 数学与应用数学系，湖北 武汉 430056）