具有p-Laplacian算子的高阶差分方程的周期解

旷菊红，石艳香，袁利国

（1.五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020；2.山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006；3.华南农业大学 数学与信息学院数学系，广东 广州 510642；4.玉林师范学院 复杂系统优化与大数据处理广西高校重点实验室，广西 玉林 537000）

1 引言与主要结果

本文主要研究一类具有p-Laplacian算子的高阶差分方程

的周期解，这里n为确定的正整数，p为大于1的常数，对所有的是一个正的T周期序列，这里T是一个正整数.f:Z×R→R，对第一变量是T周期的，对第二变量连续的.Δ是差分算子：

差分方程出现在很多领域[1-2]，比如经济学、计算机科学等. 近十年来，离散p-Laplacian问题已经成为热点问题[3-12]，其中采用的方法有上下解的方法、不动点理论、山路引理和环绕定理等. 最近临界点理论有一些新的研究成果[7,13-19]，其中G.Bonanno[13]在研究变分泛函为无下界的情形时，得到最少存在两个不同的临界点.

Deng[8]研究了非线性项f在无穷远点和零点都是超p次时，式（1）周期解的存在性，我们[12]用山路引理结合周期逼近也研究了非线性项f在无穷远点和零点都是超p次时，式（1）同宿解的存在性. 然而，当非线性项f在零点处是次p次时，山路引理不能直接使用，受文献[5]、[7]和[12]的启发，本文要研究当非线性项在零点处是p次时，式（1）的周期解问题.

在本文中，我们假设以下两个条件总是满足：

（q）q（k）＞0且对所有的k∈ℤ ,q（k+T）=q（k）.和q*分别表示｛q（k）｝的最大值和最小值.

（f）f（k,u）关于第一变量是T周期的，关于第二个变量连续的，且.

下面首先介绍本文的主要结果.

定理1假设条件（q）和（f）成立，且对所有的x＜0 ,k∈[1,T]都有f（k,u）≥ 0 ，

其中

则对每一个λ∈Λ1，

式（1）至少存在两个非零周期解uλ1和uλ2.

推论 1假设条件（q）和（f）成立，且对所有的x＜0 ,k∈[1,T]都有f（k,u）≥ 0 ，如果对所有的k∈[1 ,T]，

则对每一个λ∈Λ*，

这里c为任意正数，式（1）至少存在两个非零周期解.

例1取p= 2 ,n= 1 ,T= 2 ，对所有的k∈[1,T]，都有q（k）=1和

定理2假设条件（q）和（f）成立，如果存在两个正常数a和ρ，使得

而且存在两个正常数c*,d*，并满足d*＜c*和

其中

式（2）至少存在两个非零周期解uλ1和uλ2.

注1假设定理2所有的条件满足，而且对任意的k∈ℤ,f（k,u）关于u是奇函数，则式（1）至少存在四个非零周期解±uλ1和±uλ2.

推论2假设条件（q）和（f）成立，对任意的k∈ℤ ,f（k,u）关于u是奇函数，且对任意的k∈[1,T]，有

则对每一个λ∈Λ*，

这里c为任意正数，式（1）至少存在四个非零周期解.

例2取p=2 ,n=1 ,T= 2，对所有的k∈[1,T]，都有和

容易证明，对任意的λ∈（0,13），推论2的所有条件都满足，所以式（1）至少存在四个非零周期解.

2 变分框架

本节我们将建立与方程式（1）相应的变分框架，并给出证明主要结论所需的引理.令

定义S的子集E为

显然E是S的一个线性子空间，与RT同构. 在E中定义范数如下：

在E上定义泛函

由于

所以

在E上我们又定义范数如下：

又定义泛函ψ（u），

容易证明 Φ,ψ∈C1(E,R)，且Frechet导数为

由于

所以

且

由（13）、（14）和（16）可知，Iλ在E上的临界点是式（1）的周期解.

定义1假设是一个序列，如果是有界的且随着j→+∞，我们称｛xj｝是I的Palais-Samale序列（P.S序列）. 如果I的任意一个P.S序列都有一个收敛的子列，我们称I满足P.S条件.

为证明主要结论，我们需要下面的引理.

引理1[4]X是实Banach空间，且 Φ,ψ∈C1（X,R），均满足. 假设存在r∈R,u*∈X，使得0＜Φ（u*）＜r和

且对任意的

泛函Iλ=Φ-λψ满足P.S条件且是无下界的. 则对每一个Iλ至少存在两个非零的临界点uλ1和uλ2，且满足Iλ（uλ1）＜Iλ（uλ2）.

3 主要结果的证明

引理2假设，且对所有的x＜0 ,k∈[1,T]，都有f（k,x）≥ 0 ，则对任泛函Iλ满足P.S条件且是无下界的.

引理2的证明假设序列是E中的一个序列，且满足随着j→+∞. 对任意的k∈ℤ，定义｝，则，，且对任意的.

且

所以

由上式可知，存在正常数M＞0使得对所有的k∈[1,T] ,j∈ℤ+，都有，所以，即

然后，我们证明｛uj｝是有界的. 用反证法，假设｛uj｝是无界的，也就是是无界的，由可得，存在正常数δ＞0，使得对所有的s＞δ和k∈[1,T]，都有F（k,s）＞lsp. 定义

再由F（k,u）的周期性和式（20），容易证明

因此，对任意的j∈ℤ+，

定理1的证明因为Φ和ψ分别如式（8）和（11）所定义，易证Φ和ψ满足引理1的所有假设，为了应用引理1，下面只需证明式（17）即可.

任取u∈Φ-1（-∞,r]，则

则

且

这里

则易证 Φ （u*）＜r且

再由式（23）和（3），可得式（17）. 所以由引理1得，对任意的λ∈Λ1，方程（1）至少有两个非零的解. 证毕.

定理2的证明首先证明，对任意的，泛函Iλ满足 P.S条件且是无下界的.

假设序列｛uj｝是E中的一个序列，且｛Iλ（uj）｝是有界的，即存在M*使得

定义

易证，

结合式（9）可得，对任意的j∈ℤ+